力學 物理奧賽培訓 2011年5月福建福州 廈門大學物理學系蘇國珍 gzsu 一 質點運動學二 牛頓運動定律三 動量定理動量守恒定律四 動能定理機械能守恒定律五 質心運動定律六 角動量定理角動量守恒定律七 剛體的平衡八 萬有引力與天體運動九 簡諧振動 一 質點運動學 一 基本知識 1 質點運動的一般描述 1 1運動方程與軌道方程 軌道方程 運動方程 1 2速度 反映質點運動的快慢和方向的物理量 瞬時速度沿軌道切線方向 1 3加速度 反映速度 大小和方向 變化快慢的物理量 加速度與速度的方向一般不同 2 拋體運動 速度 運動方程 軌道方程 推論 3 1圓周運動的加速度 3 圓周運動 3 2圓周運動的角量描述 角位置 t 角速度 角加速度 3 3角量和線量的關系 4 相對運動 4 1運動描述與參照系 對物體運動的描述與參照系有關 位移 速度 加速度的測量與參照系有關 4 2不同參照系間位移 速度和加速度的變換 二 拓展知識 1 一般曲線運動 1 1一般曲線運動中的加速度 1 2曲率半徑的物理求法 橢圓的曲率半徑 軌道方程 對應運動方程 A點 同理 拋物線的曲率半徑 軌道方程 對應運動方程 其中 2 連體運動問題 解題方法一 運動的分解 情形1 兩物體通過剛性細桿或不可伸長的繩子相連 他們在連線方向的位移 速度和加速度相等 解 情形2 兩剛性物體接觸點的速度沿法向分量相等 v1 v2 P 例1 2如圖示 一半徑為R的半圓柱體沿水平方向以速度v0作勻速運動 求桿與半圓柱體的接觸點P的角位置為 時豎直桿運動的速度 解 R O 練習 頂桿AB可在豎直滑槽K內滑動 其下端由凸輪M推動 凸輪繞過O點的水平軸以角速度 轉動 在圖示的瞬時 OA r 凸輪輪緣與A接觸處法線n與OA夾角為 試求此瞬時頂桿AB的速度 參考答案 情形3 兩直線相交點的運動等于各直線沿對方直線方向運動的合運動 例1 3水平直桿AB在半徑為R的固定圓圈上以勻速v0豎直下落 如圖所示 試求套在該直線和圓圈的交點處小環M的速度 解 練習 如圖 一平面內有兩根夾角為 細桿l1和l2 兩細桿各自以垂直于自己的速度v1和v2在該平面內運動 試求兩細桿交點P的速率 A對B 解題方法二 運動的合成 相對運動 一個物體同時參與兩種運動實質上是參照系的轉換 B對地 A對地 例1 4如圖 纏在線軸上的繩子一頭搭在墻上的光滑釘子A上 今以恒定速度v拉繩 當繩與豎直方向夾角為 時 求線軸中心O的運動速度v 設線軸的外半徑為R 內半徑為r 線軸沿水平面作無滑動滾動 解 情況1 線軸座逆時針方向轉動 設轉動角速度為 B點相對于地面的速度 B點相對O的速度大小 由式 3 可知 情況1出現的條件為 情況2 線軸座順時針方向轉動 同理可得 出現情況2的條件為 例1 5續例11 求重物上升的加速度 以地面為參照系 A的加速度 以O點為參照系 繩子末端A作圓周運動 其加速度沿繩子方向的分量 即向心加速度大小為 解 例1 6續例12 求豎直桿運動的加速度 P R O 以圓心O為參照系 P點作圓周運動 其速度大小為 P點相當于地面的加速度 向心加速度 關鍵 找出各物體間位移間的關系 進而得到速度 加速度之間的關系 解題方法三 微積分 解 P v0 vP 例1 8如圖示 一半徑為R的半圓柱體沿水平方向以速度v0作勻速運動 求桿與半圓柱體的接觸點P的角位置為 時豎直桿運動的速度和加速度 y R x O A 解 例1 9水平直桿AB在半徑為R的固定圓圈上以勻速v0豎直下落 如圖所示 試求套在該直線和圓圈的交點處小環M的速度和加速度 解 二 牛頓運動定律 一 基本知識 第一定律 定性反映了物體的運動與其受力之間的關系 引入慣性參照系的概念 第二定律 定量性反映了物體的運動規律與其受力之間的關系 第三定律 反映了力的來源 力來自物體間的相互作用 正是由于物體間的相互作用使得物體的運動狀態不斷發生改變 使得自然界不斷地變化發展 1 牛頓運動定律 2 自然界中的力 2 1萬有引力 任何物體之間都存在的相互吸引力 2 2重力 使物體產生重力加速度的力 重力來源于地球對物體的引力 若忽略地球的慣性離心力 則 重力加速度與物體質量無關 比薩鐵塔落體實驗 邏輯推理 2 3彈力 物體由于形變而對引起形變的物體產生的作用力 2 4摩擦力 相互接觸的物體間產生的一對阻止相對運動或相對運動趨勢的力 滑動摩擦力 摩擦力總是阻止相對運動 摩擦力總是阻止相對運動 一人被困在冰面上 冰面水平光滑 無法離開 請你替他想一個辦法使他能夠離開該冰面 自行車在粗糙的水平面上起動時 前輪和后輪所受的摩擦力方向如何 二 拓展知識 接觸面 沿法線方向 1 關于彈力 1 1彈力的大小 微小形變 微小振動為簡諧振動 1 2彈力的方向 彈力的方向總是與形變方向相反 桿 較復雜 繩子 沿繩子方向 1 3彈簧的串聯與并聯 2 關于摩擦力 2 1摩擦力的大小 兩接觸物體相對滑動的條件 fs N 無滑動 決定于物體的運動和所受的其他力 有滑動 摩擦力的方向總是沿接觸面切線方向 2 2摩擦力的方向 無滑動 決定于物體的運動和所受的其他力 有滑動 與相對運動速度方向相反 解 解 2 3摩擦力的作用時間 可能有兩種情況 例2 3一質量為M的平板沿光滑水平面以速度V0運動 質量為m的小球從h處落下 與平板發生碰撞后彈起 已知小球彈起時沿豎直方向的分速度大小與碰撞前速度大小之比為e 球與平板間的摩擦系數為 求小球碰撞后的速度與水平方向的夾角 解 情況1 tf tN tf tN的條件 vx V 即 情況2 tf tN tf tN的條件 3 四種基本力 宏觀世界里除了重力來源于萬有引力外 其它的力幾乎都源于電磁力 4 非慣性參照系的動力學問題 4 1慣性參照系與非慣性參照系 4 2非慣性參照系中的牛頓第二定律 m M 解1 解1 三 典型題解 例2 5在光滑的水平桌面上有質量為m的小車C 車上有質量為4m和m的立方塊A和B 它們與小車表面之間的摩擦系數 0 5 今用一恒力F沿水平方向作用在滑輪上 求A B C的加速度 A B C 解 第一種情況 A B與小車間均無相對滑動 A B與小車間無相對滑動的條件 結論 A O a 解 無滑動條件 f N 為使大 小環間始終無滑動 以上不等式對任意 都要成立 因此 令 根據牛頓第二定律可得 兩式相除 有三角形相似可知 解 依題意 由此可得 例2 8如圖所示 長為2l的輕繩 兩端各系一個質量為m的小球 中央系一個質量為M的小球 三球均靜止于光滑的水平桌面上 繩處于拉直狀態 三球在一條直線上 今給小球M以一個沖量 使它獲得水平速度v0 v0的方向與繩垂直 求 1 M剛受沖量時繩上的張力 2 在兩端的小球發生碰撞前瞬間繩中的張力 解 1 以M為參照系 m繞M作以速度v0作圓周運動 M剛受沖量時 繩子對M的作用合力為零 M為慣性參照系 因此 2 以M為參照系 m繞M以速度v 作圓周運動 此時M有加速度aM 為非慣性參照系 三 動量定理動量守恒定律 一 基本知識 1 質點的動量定理 1 1牛頓第二定律的普遍形式 1 2質點的動量定理 動量定理反映了力對時間的積累效應 2 質點系的動量定理 內力只是使系統內各質點產生動量的交換 但不改變質點系的總動量 3 動量守恒定律 若系統在某一方向所受的合力的沖量為零 則該方向動量守恒 二 拓展知識 1 變力的沖量 2 動量定理 定理守恒定律與參照系 動量定理 動量守恒定律只適用于慣性參照系 在非慣性參照系中使用動量定理 需計入慣性力的沖量 在非慣性參照系中 動量守恒定律的適用條件為外力與慣性力的合力為零 3 碰撞問題 3 1碰撞的物理過程 3 2一般碰撞 3 3完全彈性碰撞 3 4完全非彈性碰撞 三 典型題解 例3 1一機槍質量為M 放置于光滑水平面上 內裝有n顆質量為m的子彈 當它在水平方向射出子彈時 子彈的出口相對速度為u 假定在1min內連續發射了這n顆子彈 試求 1 發射結束后機槍的后退速度 2 如果nm M 試討論上述結果的近似值 解 1 2 例3 2如圖所示 有一列N節 含機車 的火車 車廂之間由完全非彈性的車鉤相連接 機車與每節車廂的質量均為m 機車與每節車廂所受的阻力均為自身重量的 倍 火車以恒定牽引力啟動 1 若啟動時各節間的車鉤已拉緊 求啟動火車所需的最小牽引力 2 若啟動前每一車鉤間隙等于L 則啟動火車所需的最小牽引力為多少 1 k k 1 F N 1 k k 1 F N vk 1 k 1 k 2 F N vk 1 a b c 解 1 2 例3 3如圖所示 四個相等質量的質點由三根不可伸長的繩子依次連接 置于光滑水平面上 三根繩子形成半個正六邊形保持靜止 今有一沖量作用在質點A 并使這個質點速度變為u 方向沿繩向外 試求此瞬間質點D的速度 u A的速度或B的速度在B A連線方向的分量u1 B或C的速度在C B連線方向的分量u2 D的速度或C的速度在D C連線方向的分量 解 B球 C球 D球 聯立以上各式 解得 解 根據 1 5 可得 系統落地時的速度 解 1 2 四 動能定理機械能守恒定律 一 基本知識 1 質點的動能定理 動能定理反映了力對空間的積累效應 2 質點系的動能定理 內力所做的總功一般不為零 即內力一般要改變系統的總動能 例 內力可以改變系統的總動能 3 勢能 3 1保守力 做功只與物體的始 末位置有關 而與物體的運動路徑無關的力 幾種常見保守力的勢能 4 功能原理機械能守恒定律 4 1功能原理 4 2機械能守恒定律 封閉保守系統 二 拓展知識 1 變力做功 x0 x xi xi xi t F O 2 功 能與參照系 動能定理 機械能守恒定律只適用于慣性參照系 在非慣性參照系中使用動能定理 需計入慣性力所做的功 在非慣性參照系中 機械能守恒定律的適用條件為外力 非保守內力及慣性力所做的總功為零 力做功一般與參照系 即使是慣性系 有關 但成對相互作用力做功與參照系無關 例4 6 在某一過程中 動能的增量一般與參照系 即使是慣性系 有關 但勢能的增量 與成對保守力做功相聯系 與參照系無關 所以相同的過程對某一參照系機械能守恒 但對另一參照系卻可能不守恒 一質量為m的小球與一勁度系數為k的彈簧相連組成一體系 置于光滑水平桌面上 彈簧的另一端與固定墻面相連 小球做一維自由振動 試問 若視彈簧和物體m為一個體系 則在一沿此彈簧長度方向以速度u作勻速運動的參考系里觀察 此體系的機械能是否守恒 并說明理由 三 典型題解 解 1 以地面為參照系 A的加速度 以O點為參照系 A作圓周運動 其加速度沿繩子方向的分量 即向心加速度大小為 2 先計算A B加速度之間的關系 O L 2L B A vA vA vA aB aA 再求繩子中的張力 練習如圖所示 質量為m 半徑為R 表明光滑的圓柱體B放在光滑的水平桌面上 有一質量也等于m的細長直桿A 被固定的光滑套管C約束在豎直方向 A可自由上下運動 初始時 桿的下端正好與圓柱體頂點接觸 系統保持靜止狀態 因受一微小擾動 使A B從靜止開始運動 求 1 當桿A與圓柱面接觸點的連線和豎直方向夾角為 時 桿A的速度 2 此時桿A與圓柱體將的相互作用力 參考答案 解 1 以上不等式有解 即開始上升時 M m v R V 解 脫離球面的條件 N 0 則 解 m2剛好能被提起的條件 機械能守恒 解 1 考察物體第n次來回運動 物體停止在位置x n的條件 物體最終停止的位置為 2 根據功能原理 3 物體來回一次的時間 因此可得物體從開始運動到最終停止所經歷的時間 1 物塊滑到斜面底端的速度 解 物塊在斜面上滑動的加速度 以傳輸帶為參照系 物塊滑到傳輸帶的初速度大小 運動方向與傳輸帶邊緣的夾角 滿足 物塊在傳輸帶上作減速運動 加速度大小 當物塊與傳輸帶相對靜止時在傳輸帶上運動的距離 物塊不超過傳輸帶寬的邊緣對應的最小摩擦系數 2應滿足 物塊對傳輸帶的摩擦力大小 單位時間內物塊對傳輸帶所做的功 2 傳輸帶上與傳送帶間存在相對滑動的貨物質量 單位時間內傳輸帶對物塊所做的功 或 以地面為參照系 單位時間內摩擦力對傳輸帶和物塊所做的功分別為 以傳送帶為參照系 單位時間內摩擦力對傳輸帶和物塊所做的功分別為 力做功一般與參照系 即使是慣性系 有關 但成對相互作用力做功與參照系無關 五 質心運動定理 一 基本知識 1 質心 2 質心運動定理 系統質心加速度的大小與于所受的合外力大小成正比 與系統的總質量成反比 加速度的方向沿合外力的方向 內力不影響系統質心的運動 二 拓展知識 1 柯尼希定理 質點系動能等于質心動能與體系相對于質心系的動能之和 此結論稱為柯尼希定理 特別地 兩質點構成的質點系統的總動能為 推論 質心參照系中兩質點構成的質點系統的總動能為 在討論孤立質點系的運動時 采用質心系是方便的 在質心系里 體系的動量恒為零 且孤立體系的質心系是慣性系 功能定理和機械能守恒定律都能適用 2 質心參照系 取質心為坐標原點建立的參考系稱為質心參考系或質心系 即使討論非孤立體系的運動 采用質心系也是方便的 可以證明 當質心系為非慣性參考系時 功能定理和機械能守恒定律也仍然正確 這是因為在質心參照系中 作用在各質點上的慣性力所做的總功為零 三 典型題解 例5 1如圖 求當人從小車的一端走到另一端時 小車相對與地面移動的距離 解 M m R O 解 解 例5 4一輪船質量為M 以速度V0行駛 船上一人以相對輪船的速度v 向前投擲一質量m的球 問需做功多少 圖a 若向后投擲情況又如何 圖b 解1 向前拋 向后拋 成對相互作用例所做的總功與參照系無關 解2 不管向前或先后拋 六 角動量定理角動量守恒定律 一 基本知識 1 力矩 質點對參考點O的角動量定義為 2 質點的角動量 3 質點的角動量定理和角動量守恒定律 質點的角動量守恒 角動量守恒 動量未必守恒 4 質點系的角動量定理和角動量守恒定律 質點系的角動量守恒 內力不改變系統的總角動量 二 典型題解 解 例6 2如圖所示 質量為m的小球B放在光滑的水平槽內 現以一長為l的細繩連接另一質量為m的小球A 開始時細繩處于松弛狀態 A與B相距為l 2 球A以初速度v0在光滑的水平地面上向右運動 當A運動到圖示某一位置時細繩被拉緊 試求B球開始運動時速度vB的大小 l 2 l B A A 300 解 機械能守恒 角動量定理 1 解 對小球1 同理對小球2 初速度的方向與水平線的夾角 得任意t時刻球2的位置坐標 球2脫離細桿時 解 1 螺旋環的角動量 角動量守恒 2 根據角動量守恒和機械能守恒定律 解得 另解 1 2 七 剛體的平衡 一 基本知識 1 剛體平衡條件 1 物體受力的矢量和為零 2 對矩心的合力矩為零 2 剛體平衡的穩定性 滿足平衡條件的剛體 若受到擾動 便離開平衡位置 若它會自動回到平衡位置 則稱為穩定平衡 若它會更遠離平衡位置 則稱為不穩定平衡 若平衡位置的周圍仍是平衡位置 則稱為隨遇平衡 二 典型題解 例7 1勻質桿OA重P1 長為l1 能在豎直平面內繞固定鉸鏈O轉動 此桿的A端用鉸鏈連另一重為P2 長為l2的均勻桿AB 在AB桿的B端加一水平力F 求平衡時此兩桿與水平線所成的角度 與 的大小 以及OA與AB間的作用力 解 以AB為研究對象 有 1 以OA AB為研究對象 有 以AB為研究對象 其所受的合力為零 因此 2 N的方向與水平線的夾角 滿足 解 設任一小突起Ai對其的壓力為Pi 則 i 2 6 考慮薄片A6B6 根據力矩平衡條件可得 例7 3用20塊質量均勻分布的相同光滑積木塊 在光滑水平面上一塊疊一塊地搭成單孔橋 如圖所示 已知每一積木塊的長度為l 橫截面是邊長為h l 4的正方形 要求此橋具有最大跨度 即橋孔底寬 試計算跨度與橋孔高度的比值 解 例7 4有一半徑為R的圓柱A 靜止在水平地面上 并與豎直墻面相接觸 現有另一質量與A相同 半徑為r的較細圓柱B 用手扶著圓柱A 將B放在A的上面 并使之與墻面相接觸 如圖所示 然后放手 己知圓柱A與地面的靜摩擦系數為0 20 兩圓柱之間的靜摩擦系數為0 30 若放手后 兩圓柱體能保持圖示的平衡 問圓柱B與墻面間的靜摩擦系數和圓柱B的半徑的值各應滿足什么條件 B A r R 對A球 對B球 解 聯立 1 6 解得 1 2 3 4 5 6 圓柱B與墻面的接觸點不發生滑動 圓柱A在地面上不發生滑動 兩圓柱的接觸點不發生滑動 綜合上述結果 可得到r滿足的條件 八 萬有引力與天體運動 一 基本知識 1 開普勒三定律 第一定律 行星圍繞太陽運動的軌道為橢圓 太陽在橢圓軌道的一個焦點上 第二定律 行星與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積 第三定律 各行星繞太陽運動的周期平方與軌道半長軸立方之比值相等 2 萬有引力與引力勢能 2 1萬有引力 2 2引力勢能 開普勒定律角動量守恒機械能守恒 3 解題技巧 二 典型題解 解 r S r 例8 2地球和太陽的質量分別為m和M 地球繞太陽作橢圓運動 軌道的半長軸為a 半短軸為b 如圖所示 試求地球在橢圓頂點A B C三點的運動速度大小及軌跡在A B C三點的曲率半徑 M m A C O b a A 解 A B兩點 A C兩點 例8 3質量為M的宇航站和對接