2020屆浙江省嘉興市高三上學期期末考試數學試題一、單選題1已知全集，集合，則（ ）ABCD【答案】A【解析】先求得，再求得，由此得出正確選項.【詳解】依題意，所以.故選：A【點睛】本小題主要考查集合補集、并集的運算，屬于基礎題.2已知是虛數單位，則（ ）A1B2CD【答案】A【解析】利用復數的除法運算求得，再求的模.【詳解】依題意，所以.故選：A【點睛】本小題主要考查復數的除法運算，考查復數的模的計算，屬于基礎題.3設曲線在點處的切線與直線垂直，則（ ）ABC3D-3【答案】B【解析】求得曲線在點處的切線的斜率，根據切線與直線垂直列方程，由此求得的值.【詳解】依題意，由于曲線在點處的切線與直線垂直，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查利用導數求切線的斜率，考查兩條直線垂直的條件，屬于基礎題.4函數，則滿足，且為整數的實數的個數為（ ）A3B4C17D18【答案】C【解析】利用導數求得在區間上的單調性，由此求得在區間上的值域，進而求得為整數的實數的個數.【詳解】在區間上，所以在區間上的單調遞增.而，所以在區間上的值域為，其中有共個整數.由于為一一對應，所以滿足，且為整數的實數的個數為.故選：C【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查一一對應，屬于基礎題.5設，則“”是“”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】C【解析】研究函數的單調性，結合充分、必要條件的知識選出正確答案.【詳解】由于，畫出的圖像如下圖所示，由圖可知在上遞增.所以，所以“”是“”的充要條件.故選：C【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.6已知，滿足條件，若的最大值為0，則實數的值為（ ）AB-2CD2【答案】B【解析】畫出可行域，對分成三種情況，結合的最大值為，求得的值.【詳解】畫出可行域如下圖所示.其中，.當時，目標函數為，由圖可知，可行域內的最大值也即是的最大值為，不符合題意.當時，向上平移基準直線到可行域邊界位置，由此可知在點取得最大值，即不符合.當時， 向上平移基準直線到可行域邊界位置，由此可知在點取得最大值，即符合.所以的值為.故選：B【點睛】本小題主要考查線性規劃根據目標函數的最值求參數，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.7如圖是某三棱錐的正視圖和俯視圖（單位：），則該三棱錐側視圖面積是（ ）（單位：）A2BCD【答案】D【解析】根據側視圖和正視圖、俯視圖的關系，判斷出側視圖三角形的底邊長和高，由此求得側視圖的面積.【詳解】由于幾何體為三棱錐，所以它的側視圖為三角形.根據三視圖“長對正、高平齊、寬相等”可知，側視圖的底邊長和俯視圖的寬相等，即側視圖的底邊長為；側視圖的高和主視圖的高相等，即側視圖的高為.所以側視圖的面積為.故選：D【點睛】本小題主要考查三視圖面積的計算，屬于基礎題.8等差數列滿足：，.記，當數列的前項和取最大值時，（ ）A17B18C19D20【答案】C【解析】根據已知條件求得的關系，由此求得的表達式，根據判斷的符號，由此求得數列的前項和取最大值時的值.【詳解】設等差數列的公差為，依題意，則，即.所以數列的通項公式為.所以.由于，所以當時，當，當時，.由于，所以當時，取得最大值.故選：C【點睛】本小題主要考查等差數列通項公式的基本量計算，考查分析、思考與解決問題的能力，屬于中檔題.9已知，是橢圓：短軸的兩個端點，點為坐標原點，點是橢圓上不同于，的動點，若直線，分別與直線交于點，則面積的最小值為（ ）ABCD【答案】D【解析】設出點坐標，由直線的方程以及，求得兩點的坐標，由此求得的表達式，求得的最小值，進而求得面積的最小值.【詳解】設，則，即.依題意.則直線的方程分別為，令，得.則.而，表示點和點之間連線的斜率的倒數.設過的直線與橢圓相切，由消去并化簡得，判別式，.所以，所以，所以.也即的最小值為，所以三角形面積的最小值為.故選：D【點睛】本小題主要考查橢圓的幾何性質，考查直線方程，考查三角形面積最值的計算，考查直線與橢圓的位置關系，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.10如圖，中，邊的垂直平分線分別與，交于點，若是線段上的動點，則的值為（ ）A與角有關，且與點的位置有關B與角有關，但與點的位置無關C與角無關，但與點的位置有關D與角無關，且與點的位置無關【答案】D【解析】將表示為含有的表達式，結合向量加法、減法和數量積運算，化簡求得的值.【詳解】由于，所以依題意.所以.所以的值與角無關，且與點的位置無關.故選：D【點睛】本小題主要考查平面向量加法、減法、數量積的運算，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.二、填空題11已知是角的終邊上一點，則_，角的最小正值是_.【答案】 【解析】根據三角函數的定義，求得的值，進而確定角的最小正值.【詳解】由于是角的終邊上一點，所以.由于，所以在第四象限，也即是第四象限角，所以，當時，取得最小正值為.故答案為：（1）；（2）【點睛】本小題主要考查三角函數的定義，考查特殊角的三角函數值，考查終邊相同的角，屬于基礎題.12已知箱中裝有10個不同的小球，其中2個紅球、3個黑球和5個白球，現從該箱中有放回地依次取出3個小球.則3個小球顏色互不相同的概率是_；若變量為取出3個球中紅球的個數，則的方差_.【答案】 【解析】利用排列數公式、相互獨立事件概率計算公式，計算出“從該箱中有放回地依次取出個小球.則個小球顏色互不相同的概率”.利用二項分布方差計算公式，計算出.【詳解】設抽取一次，抽到到紅球、黑球、白球的事件分別為，則.則“從該箱中有放回地依次取出個小球.則個小球顏色互不相同”的事件有種情況，每種情況的概率都為，所以“從該箱中有放回地依次取出個小球.則個小球顏色互不相同的概率”為.依題意可知變量，所以.故答案為：(1). (2). 【點睛】本小題主要考查相互獨立事件概率的計算，考查二項分布方差的計算，屬于基礎題.13已知的展開式中的各二項式系數的和比各項系數的和小240，則_；展開式中的系數最大的項是_.【答案】4 【解析】分別求得二項式系數的和、各項系數的和，由此列方程組，解方程求得的值.結合二項式展開式的通項公式，求得展開式中的系數最大的項.【詳解】的展開式中的各二項式系數的和為.令，則各項系數的和為，依題意，.所以二項式為，其展開式的通項公式為，所以展開式中的系數為，令，得系數的取值為:，所以展開式中的系數最大的項是.故答案為：(1). 4 (2). 【點睛】本小題主要考查二項式展開式的二項式系數和、各項系數之和、系數最大的項，屬于基礎題.14在中，角，所對的邊分別為，.是內切圓的圓心，若，則_；_.【答案】 【解析】利用等面積法計算出內切圓的半徑，利用向量加法和減法的運算求得，由此求得的值.【詳解】依題意是內切圓的圓心，是切點，由于，所以，是中點，在上.設內切圓的半徑為，則.由三角形的面積公式得，即，解得.所以.所以.所以，所以.故答案為：(1). (2). 【點睛】本小題主要考查三角形內切圓有關計算，考查用基底表示向量，考查向量加法、減法和數乘運算，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.15已知，實數，滿足，則的最小值為_.【答案】【解析】由求得的關系式，求得的表達式，并利用基本不等式求得的最小值.【詳解】依題意.由，得，即，即，即.所以，將代入上式得，當且僅當時等號成立，即，即時取得最小值.故答案為：【點睛】本小題主要考查利用基本不等式求最小值，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查運算求解很強，屬于難題.16已知兩定點，位于動直線的同側，集合點到直線的距離之和等于，.則集合中的所有點組成的圖形面積是_.【答案】【解析】根據點到直線的距離之和等于，判斷出原點到直線的距離為，由此判斷出集合是圓的所有切線組成，故集合表示圓內的點，由此求得集合中的所有點組成的圖形面積.【詳解】畫出圖像如下圖所示，由于點到直線的距離之和等于，結合圖像，由中位線的性質可知，到的距離為，所以集合是圓的所有切線組成，所以集合表示圓內的點，故集合中的所有點組成的圖形面積為.故答案為：【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關系，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.17已知矩形，、分別為邊、的中點.沿直線將翻折成，在點從至的運動過程中，的中點的軌跡長度為_.【答案】【解析】判斷出沿直線將翻折成，在點從至的運動過程中，點的軌跡.根據三角形的中位線，確定翻折過程中點的軌跡，由此計算出的軌跡長度.【詳解】設與相交于，由于在矩形中，分別是的中點，且，所以四邊形是正方形. 沿直線將翻折成，在點從至的運動過程中，不變，故點的軌跡是以為圓心，半徑為的半圓.設是的中點，由于是的中點，所以是三角形的中位線，所以,.由于在翻折過程中，兩點的位置不變，所以點的位置不變，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的半圓.所以的軌跡長度為.故答案為：【點睛】本小題主要考查空間中的點的軌跡問題，考查空間想象能力，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.三、解答題18設函數.（1）若，求的單調遞增區間；（2）在中，且為鈍角，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用兩角和的余弦公式、降次公式和輔助角公式化簡，再根據三角函數單調區間的求法，求得的單調遞增區間.（2）利用求得，由余弦定理求得，再由正弦定理求得.【詳解】（1），當時，.當，即時，是增函數.所以在上的單調遞增區間為.（2）在中，由，得或.因為為鈍角，所以.由余弦定理得.又由正弦定理，得.【點睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查三角函數單調區間的求法，考查正弦定理和余弦定理解三角形，屬于基礎題.19如圖，在四棱柱中，底面為等腰梯形，.平面平面，四邊形為菱形，.（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】方法一（幾何法）：（1）通過證明，證得平面，由此證得；（2）作出直線與平面所成角，利用兩角差的正切公式，求得線面角的正切值，再轉化為正弦值.方法二（向量法）：（1）取中點，連接，證得底面，由此以為原點建立空間直角坐標系，通過計算，證得.（2）由（1）計算出直線的方向向量和平面的法向量，由此計算出與平面所成角的正弦值.【詳解】方法一、（1）連接、，取中點，連接、.等腰梯形中，.，.又在菱形中，.又平面平面，交線為，底面.，四邊形為平行四邊形，.底面，又，相交，平面，.（2）取中點，連接，相交于點，連接，顯然平面平面.平面，平面平面，平面平面，交線為，為與平面所成角.，由解得.與平面所成角的正弦值為.方法二、（1）取中點，連接.四邊形為菱形，.又平面平面，交線為，底面.以為原點如圖建立空間直角坐標系，則，.，.（2），設平面的法向量為，則，取，.與平面所成角的正弦值為.【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查線面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20已知數列的前項和為，.（1）求數列的通項公式；（2）若，為數列的前項和.求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】（1）利用求得數列的通項公式.（2）先將縮小即，由此結合裂項求和法、放縮法，證得不等式成立.【詳解】（1），令，得.又，兩式相減，得.（2）.又，.【點睛】本小題主要考查已知求，考查利用放縮法證明不等式，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.21設點，的坐標分別為，直線和相交于點，且和的斜率之差是1.（1）求點的軌跡的方程；（2）過軌跡上的點，作圓：的兩條切線，分別交軸于點，.當的面積最小時，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）設出點坐標，根據和的斜率之差是列方程，化簡后求得點的軌跡的方程.注意排除斜率不存在的情況.（2）設出切線的斜率，由點斜式寫出切線方程，利用圓心到切線的距離為列方程，化簡后寫出關于切線、的斜率，的根與系數關系，求得兩點的坐標，進而求得的面積的表達式，化簡后利用基本不等式求得的面積的最小值以及此時對應的值.【詳解】（1）設，由題意得.化簡得點的軌跡的方程為：.（2）由點所引的切線方程必存在斜率，設為.則切線方程為，即.其與軸的交點為，而圓心到切線的距離，整理得：，切線、的斜率分別為，則，是方程的兩根，故，而切線與軸的交點為，故，又，將代入得，而點在上，故，當且僅當，即時等號成立.又，故當點坐標為，時，.【點睛】本小題主要考查軌跡方程的求法，考查圓的切線方程，考查拋物線中三角形面積的最值的求法，考查運算求解能力，屬于難題.22已知函數有極小值.（1）試判