第8章 整式的乘法一、單元設計總體分析本章教學內容本章是繼七年級代數式中學習了整式及其加減運算后，進一步學習整式的乘除，是七年級的延續和發展。本章的主要內容有同底數冪的乘法和除法，冪的乘方和積的乘方，以及單項式與單項式相乘、單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘，單項式除以單項式、多項式除以單項式、因式分解等運算，整式的乘除法既是七年級上冊整式的加減的后續學習，也是分式學習的基礎，因此，本章內容的地位也至關重要。多項式的乘法運算最終都轉化為同底數冪的乘法進行，因此同底數冪的乘法是整式乘法的基礎，所以同底數冪的運算法則和整式的乘法是本章教學的重點。而其中多項式與多項式相乘的運算要綜合運用乘法分配律、交換律及冪的運算法則，是本章教學的難點。因式分解這部分內容的難點是因式分解的兩種基本方法，即提公因式法和公式法，在教學中一定要讓學生牢固地掌握。因式分解是整式乘法的逆向變形，教材中兩種因式分解方法的引入，都緊緊扣住這一關鍵，采用對比的方法，從多項式乘法出發，根據相等關系得出因式分解公式和方法。本章教學目標1、了解正整數指數冪的運算法則，會進行正整數指數冪的計算。2、探索了解單項式與單項式、單項式與多項式、多項式與多項式相乘的法則，會進行簡單的整式乘法運算。3、會由整式的乘法推導乘法公式：；，了解公式的幾何背景，并能進行簡單計算。4、通過從冪的運算到整式乘法，再到乘法公式的學習，了解乘法公式來源于整式乘法，又應有于整式乘法的辯證過程，并初步認識到事物發展過程中“特殊一般特殊”的一般規律。5、探索了解單項式與單項式、多項式與單項式的法則，會進行簡單的整式除法運算。6、了解因式分解的意義及與整式的乘法之間的關系，從中體會事物之間可以相互轉化的辯證思想。7、會用提公因式法、公式法直接用公式不超過兩次進行因式分解。8、讓學生主動參與到一些探索過程中去，逐步形成獨立思考、主動探索的習慣，培養思維的批判性、嚴謹性和初步解決問題的愿望與能力。二、課時安排本章的教學時間為22課時，建議分配如下：13.1 冪的運算-4課時13.2 整式乘法-4課時13.3 乘法公式-4課時13.4 整式除法-2課時13.5 因式分解-2課時復習-2課時課題學習-2課時三、 本章教學策略1、同底數冪的乘法課本首先從計算引出數學運算或處理現實世界中數量之間的關系時，經常會碰到同底數冪相乘的問題，由此引導學生進行合作學習，探索同底數冪相乘的規律，得出同底數冪的乘法法則。之后，又安排第2、第3課時，讓學生繼續通過合作學習，進一步探索冪的乘方與積的乘方的運算法則。在這三個法則的探索過程中，對乘方意義的理解和運用是關鍵，其中積的乘方法則的得出還需用到乘法交換律。同底數冪的除法可以引導學生通過填空，由同底數冪的乘法的逆運算，推導歸納同底數冪相除的法則。同底數冪的乘法法則、冪的乘方法則、積的乘方法則以及同底數冪相除的法則和整式的除法法則都是從“數”的相應運算入手，類比、過渡到到“式”的運算，從中探索、歸納“式”的運算法則，使新的運算規律自然而然地順應到原有的知識之中，使原有知識得到擴充、發展。2、單項式的乘法，課本從一個實際例子，引出單項式的乘法，并引導學生思考兩個單項式相乘的運算方法和依據（兩個單項式相乘運算的依據主要是乘法交換律和同底數冪的乘法法則），并在此基礎上引導學生歸納得出單項式與單項式相乘的法則。之后引導學生從面積的不同表示和乘法分配律兩個方面探索單項式與多項式相乘的運算規律，得出單項式與多項式相乘的法則。多項式的乘法，對多項式與多項式相乘的法則，課本也是通過對圖形面積的不同表示直觀得出的，這樣處理方便學生理解，符合初中學生形象思維豐富的特點。之后讓學生想一想，用乘法分配律解釋法則，提高學生對多項式相乘法則的理性理解。整式的乘法運算規律的探索，從最簡單的同底數冪的乘法運算規律的探索開始，步步深入研究冪的乘方、積的乘方、兩個單項式的乘法、單項式與多項式的乘法，逐步過渡到多項式與多項式的乘法，使學生感到，每一個新規律的探索，都可以用原有知識進行（冪的意義、乘法的交換律、分配律），只需歸納其中的規律，使原有知識不斷豐富、完善。在這里，用原有知識探索發現新的規律，新發現的規律又是下一個新規律探索的基礎，學習層次得到不斷提高。整式除法的學習也是同樣，從同底數冪相除運算法則的探索開始，到單項式與單項式相除、多項式與單項式相除的運算規律探索，步步深入。3、乘法公式，實際是兩個特殊的多項式相乘及其所得的結果，由于在數學運算中經常用到，就把它們作為公式。課本采用引導學生觀察相乘的兩個多項式的系數和字母的特點，以及所得多項式的系數和字母的特點，比較它們之間的關系，得出平方差公式和兩數和的完全平方公式。對于兩數差的完全平方公式則采用代換的方法得出，這是一種重要的思想方法。課本還分別安排了讓學生嘗試用圖形的面積直觀驗證平方差公式和兩數和的完全平方公式成立，目的使學生了解公式的幾何背景。課本在平方差公式之后安排例2，用平方差公式進行兩個特殊數值的相乘計算，說明乘法公式還可用于簡便計算。4、整式的除法是整式乘法的逆運算，引導學生考慮兩個單項式相乘的法則，并得出單項式除以單項式的法則。之后安排做一做，引導學生將數的除法類比到式的除法，然后歸納多項式除以單項式的運算方法，得出運算法則。5、因式分解這部分內容的難點是因式分解的兩種基本方法，即提公因式法和公式法，在教學中一定要讓學生牢固地掌握。因式分解的理論比較多(如因式分解的因子存在性與唯一性)，分解因式的方法很多；變化技巧較高，這是本部分知識的難點，教學時一定要按照教學要求教學，防止隨意拓寬內容和加深題目的難度。因式分解是整式乘法的逆向變形，教材中兩種因式分解方法的引入，都緊緊扣住這一關鍵，采用對比的方法，從多項式乘法出發，根據相等關系得出因式分解公式和方法。因式分解是整式乘法的逆運算，課本安排學生自己進行體驗、探索與認識，有利于學生知識的遷移，形成新的知識結構。四、課時教學8.1 冪的運算同底數冪的乘法一、素質教育目標1理解同底數冪乘法的性質，掌握同底數冪乘法的運算性質2能夠熟練運用性質進行計算3通過推導運算性質訓練學生的抽象思維能力4通過用文字概括運算性質，提高學生數學語言的表達能力5通過學生自己發現問題，培養他們解決問題的能力，進而培養他們積極的學習態度二、學法引導1教學方法：嘗試指導法、探究法2學生學法：運用歸納法由特殊性推導出公式所具有的一般性，在探究規律過程中增進時知識的理解三、教學重點難點：（）重點冪的運算性質（二）難點有關字母的廣泛含義及“性質”的正確使用四、課時安排一課時五、師生互動活動設計1復習冪的意義，并由此引入同底數冪的乘法2通過一組同底數冪的乘法的練習，努力探究其規律，在探究過程中理解公式的意義3教師示范板書，學生進行鞏固性練習，以強化學生對公式的掌握六、教學步驟 1創設情境，復習導入 表示的意義是什么？其中 、 、 分別叫做什么？ 師生活動：學生回答（ 叫底數， 叫指數， 叫做冪），同時，教師板書 個 提問：1） 表示什么？ 可以寫成什么形式？_ 2）計算： 【教法說明】此問題的提出，目的是通過回憶舊知識，為完成下面的嘗試題和學習本節知識提供必要的知識準備2嘗試解題，探索規律（）式子的意義是什么？（2）這個積中的兩個因式有何特點？ 學生回答：（）與的積（2）底數相同 （2）式子怎樣計算？學生活動：學生自己思考完成，然后一個（或幾個）學生回答結果同樣的：（3）計算：（1） （2） （3）師生共同總結： （ 都是正整數） 請同學們試著用文字概括這個性質：同底數冪相乘，底數不變、指數相加3嘗試反饋，理解新知例1 計算： （1） （2） （3） 練習： 課本：P49 練習1、2題計算：（1） （2）（3）注意引導學生符號的確定和整體思想的培養；4知識拓展：例3 （1） （2） （3）已知：，求 5學習小結： 學生總結本節所學內容： （ 都是正整數） 同底數冪相乘，底數不變、指數相加 6布置作業：略冪的乘方 一、教學目標1理解冪的乘方性質并能應用它進行有關計算2通過推導性質培養學生的抽象思維能力3通過運用性質，培養學生綜合運用知識的能力4通過用文字概括運算性質，提高學生數學語言的表達能力5通過學生自己發現問題，培養他們解決問題的能力，進而培養他們積極的學習態度二、學法引導1教學方法：引導發現法、嘗試指導法2學生學法：關鍵是準確理解冪的乘方公式的意義，只有準確地判別出其適用的條件，才可以較容易地應用公式解題三、教學重點難點（）重點準確掌握冪的乘方法則及其應用（二）難點同底數冪的乘法和冪的乘方的綜合應用四、課時安排一課時五、師生互動活動設計1復習同底數冪乘法法則并進行計算，從而引入新課，在探究規律的過程中，得出冪的乘方公式，并加以充分的理解 2教師舉例進行示范，師生共練以熟悉冪的乘方性質3設計錯例辨析和練習，通過不同的題型，從不同的角度加深對公式的理解六、教學過程1復習引入（1）敘述同底數冪乘法法則并用字母表示（2）計算： 2探索新知，講授新課（1）引入新課：計算：（1） （2） （3） 由上述練習猜想：？（2）冪的乘方法則字母表示： （ ， 都是正整數） 語言敘述：冪的乘方，底數不變，指數相乘推導過程按課本，讓學生說出每一步變形的根據3嘗試反饋，理解新知例1 計算： （1） （2） 練習： 課本：P46 練習1、2題4知識拓展：1、計算： （2） 2、錯例辨析：下列各式的計算中，正確的是（）A B C D 5知識小結： 1、 冪的乘方： （ ， 都是正整數） 語言敘述：冪的乘方，底數不變，指數相乘2、同底數冪的乘法與冪的乘方性質比較： 冪運算種類指數運算種類同底冪乘法乘法加法冪的乘方乘方乘法6布置作業：略整式的乘除之積的乘方蒙城縣板橋中學 方明一、教學目標1進一步理解積的乘方的運算性質，準確掌握積的乘方的運算性質，熟練應用這一性質進行有關計算2通過推導性質進一步訓練學生的抽象思維能力，通過完成例2，培養學生綜合運用知識的能力3培養實事求是、嚴謹、認真、務實的學習態度4滲透數學公式的結構美、和諧美二、學法引導1教學方法：引導發現法、探究法、講練法2學生學法：本節主要學習冪的乘方性質和積的乘方性質，到現在為止，我們共學習了冪的三個運算性質進行冪的運算，關鍵是熟練掌握冪的三個運算性質，深刻理解每種運算的意義，避免互相混淆，有時逆用冪的三個運算性質，還可簡化運算三、教學重點、難點（）重點準確掌握積的乘方的運算性質（二）難點用數學語言概括運算性質四、課時安排一課時五、師生互動活動設計1通過絳習，以達到復習同底數冪的乘法、冪的乘方這兩個性質的目的，讓學生互問互答2推導積的乘方的公式，在推導過程中讓學生說出每一步的理由，以便于學生對公式的準確理解3通過舉例來說明積的乘方性質應如何正確使用，師生共練以達到熟練掌握4多種題型的設計，讓學生能從不同的角度全面準確地理解和運用該性質六、教學過程1創設情境，復習導入前面我們學習了同底數冪的乘法、冪的乘方這兩個寨的運算性質，請同學們通過完成一組練習，來回顧一下這兩個性質：填空：（1） （2） （3） （4） 學生活動：4個學生說出答案，同桌同學給予判斷【教法說明】通過完成本練習，進一步鞏固、理解同底數冪的乘法，冪的乘方，同時也為順利完成本節例2做個鋪墊2探索新知，講授新課我們知道 表示 個 相乘，那么 表示什么呢？（注意： 中 具有廣泛性）學生回答時，教師板書 這又根據什么呢？（學生回答乘法交換律、結合律） 也就是 請同學們回答的結果怎樣？那么 （ 是正整數）如何計算呢？ ；_個 運用了_律和_律_個 _個 學生活動：學生完成填空 （ 是正整數）剛才我們計算的 、 是什么運算？（答：乘方運算）什么的乘方？（積的乘方）通過剛才的推導，我們已經得到了積的乘方的運算性質請同學們用文字敘述的形式把它概括出來學生活動：學生總結，并要求同桌相互交流，互相糾正補充達成一致后，舉手回答，其他學生思考，準備更正或補充【教法說明】通過學生自己概括總結，既培養了學生的參與意識，又訓練了他們歸納及口頭表達能力教師根據學生的概括給予肯定或否定，糾正后板書積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘3嘗試反饋，理解新知例1 計算： （1） （2） （3） （4） 練習： 課本：P48 練習1、2題4知識拓展：（一）提出問題：這個性質對于三個或三個以上因式的積的乘方適用嗎？如學生活動：在運算的基礎上給出答案（3） （4） 學生活動：每一題目均由學生說出完整的解題過程解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 （二）（2）下面的計算對不對？如果不對，應怎樣改正？ （三） 計算：（1） （2） 學生活動：學生分成兩組，每組各做一題，各派一個學生板演 【教法說明】學生已具備綜合運用性質的能力，讓學生嘗試解題，目的是訓練學生分析問題的能力分組練習，不僅能激發學生的興趣，同時也可培養學生的集體榮譽感學生對知識的印象會更深刻5知識小結： 學生總結所學的三個公式： （ 都是正整數） （ ， 都是正整數） （ 是正整數）6布置作業：略同底數冪的除法一、教學目標1掌握同底數冪的除法運算性質.2運用同底數冪的除法運算法則，熟練、準確地進行計算.3通過總結除法的運算法則，培養學生的抽象概括能力.4通過例題和習題，訓練學生的綜合解題能力和計算能力.二、學法引導1教學方法：引導發現法、探究法、講練法2學生學法：1根據除法是乘法的逆運算，從具體的同底數的冪的除法，逐步歸納出同底數冪除法的一般性質.讓學生自己歸納出同底數的冪的除法法則.2性質歸納出后，不要急于講例題，要對法則做幾點說明、強調，以引起學生的注意.（1）要強調底數 是不等于零的，這是因為，若 為零，則除數為零，除法就沒有意義了.（2）本節不講零指數與負指數的概念，所以性質中必須規定指數 都是正整數，并且 ，要讓學生運用時予以注意.三、教學重點難點1重點準確、熟練地運用法則進行計算2難點根據乘、除互逆的運算關系得出法則三、 教學過程1創設情境，復習導入前面我們學習了同底數冪的乘法，請同學們回答如下問題，看哪位同學回答得快而且準確（1）敘述同底數冪的乘法性質（2）計算： 學生活動：學生回答上述問題 （m，n都是正整數）【教法說明】 通過復習引起學生回憶，鞏固同底數冪的乘法性質，同時為本節的學習打下基礎2提出問題，引出新知思考問題：怎樣計算同底數冪的除法？：（1） （2） （3）學生回答。問：答案如何計算出來的？方法如下：（1） 那么，根據除法是乘法的逆運算可得（2）直接計算： （3） （4）由練習結果猜想：如果： .那么 ，當m，n都是正整數時，如何計算呢？（板書） 學生活動：同桌研究討論，并試著推導得出結論師生共同總結： 教師把結論寫在黑板上（注閱讀課本P22，用除法是乘法的逆運算來說明）請同學們試著用文字概括這個性質： 【公式分析與說明】 提出問題：在運算過程當中，除數能否為0？學生回答：不能（并說明理由）由此得出：同底數冪相除，底數 教師指出在我們所學知識范圍內，公式中的m、n為正整數，且mn，最后綜合得出：一般地， 這就是說，同底數冪相除，底數不變，指數相減. 4嘗試反饋，理解新知例1 計算：（1） （2） （3）由3個學生板演完成之后，由學生判斷板演是否正確練習： 1、 課本：P49練習1、2題 2、 課本：P50習題5知識小結： 這就是說，同底數冪相除，底數不變，指數相減. 6布置作業：略82 整式的乘法整式的乘法（一）教學目標：知識與技能1、在具體情境中了解單項式乘法的意義；2、理解單項式乘法法則；3、會利用法則進行單項式的乘法運算。過程與方法1、驗算探索單項式乘法運算法則的過程，理解算理，體會乘法交換律和結合律的作用和轉化的思想；2、發展學生有條理的思考能力和語言表達能力。情感、態度與價值觀體驗探求數學問題的過程，體驗轉化的思想方法，獲得成就感，提升學習動力源。教學重點：單項式乘法法則及其應用。教學觀點：理解運算法則及其探索過程。教學過程：一、問題引入：1、現有長為x米，寬為a米的矩形，其面積為 平方米。2、長為x米，寬為2a米的矩形，面積為 平方米。3、長為2x米，寬為3a米的矩形，面積為 平方米。教師活動學生活動在這里，求矩形的面積，會遇到 這是什么運算呢？因式都是單項式，它們相乘，是單項式與單項式相乘。二、探索單項式乘單項式的運算法則：對于引例中的問題，我們可以借助于圖示幫助得出結果。 三、過手訓練：例1：計算：教師活動學生活動（寫出完整解答）一、點評： 1、先確定結果的符號；2、系數對系數，指數對指數，系數相乘，指數相加。3、每個單項式相乘，法則仍適用，結果必為單項式。運用單項式乘以單項式的運算法則，完成解答。課堂練習： 1、計算：2、一個長方體形儲貨倉長為4103，寬為3103，高為5102，求這個貨倉的體積。3、討論、探究： 四、小結：利用乘法交換律和綜合律及同底數冪的乘法探索出單項式乘以單項式的運算法則。五、課后作業：P58 習題1132整式的乘法(二)教學目標: 1、在具體情境中了解單項式與多項式乘法的意義；2、理解單項式乘以多項式的運算法則；3、會利用法則進行單項式與多項式的乘法運算。教學重點：單項式與多項式的乘法運算。教學難點：體會乘法分配律的作用和轉化的數學思想。教學過程：一、復習引入：1、復習單項式與單項式的乘法法則：計算： 2、問題：如圖所示，求圖中陰影部分的面積：陰影部分是矩形，其面積可表示為平方單位。這里的 表示一個單項式與一個多項式的乘積。二、探索單項式與多項式的法則：教師活動學生活動啟發學生討論 進而引導學生解釋，并用數學 描述單項式乘以多項式的運算法則。討論上述問題中陰影部分面積的求法：1）直接用陰影部分矩形的實際長和寬來求，即表達式為：2）把陰影部分面積轉化為大矩形的面積減去兩塊空的矩形的面積，即：解釋成立式子變形的理由乘法分配律。 用自己的語言描述單項式與多項式相乘的運算法則。三、過手訓練： 1、例1：計算：（寫出完整解答）師生互動點評：（1）、多項式每一項要包括前面的符號；（2）、單項式必須與多項式中每一項相乘，結果的項數與原多項式項數一致；（3）、單項式系數為負時，改變多項式每項的符號。2、隨堂練習：（1）計算：3、解答題： （3）計算圖中的陰影部分的面積： （4）求證對于任意自然數n代數式 n(n+7)-n(n-5)+6的值都能被6整除。 四、課時小結： 1、單項式乘以多項式的乘法法則及注意事項；2、轉化的數學思想。五、課后作業：P62 習題3,4 132整式的乘法（三）教學目標：1、在具體情境中了解多項式與單項式的相乘的意義；2、理解多項式與單項式相乘的運算法則；3、會進行多項式與多項式的乘法運算。過程與方法1、經歷探索多項式與單項式相乘的乘法法則的過程，體會乘法分配律的作用以及“整體”和“轉化”的數學思想；2、通過對乘法法則的探索，歸納與描述，發展有條理思考的能力和語言表達能力；情感、態度與價值觀,在探究乘法法則的過程中，體會“整體”和“轉化”的思想，體驗學習和把握數學問題的方法，樹立學好數學的信心，培養學習數學的興趣。教學重點：多項式的乘法法則及其應用。教學難點：探索多項式的乘法法則，靈活地進行整式的乘法運算。教學過程：一、復習引入： 1、復習單項式乘以多項式的法則：計算： 2、問題引入： 求各個圖示給出的矩形的面積。學生活動：圖（1）所示的矩形面積為m(a+n)=ma+mn 圖（2）所示的矩形面積為b(a+n)=ba+bn 圖（3）所示的矩形面積為(m+b)(a+n)二、探索多項式乘以多項式的運算法則：師生互動：呈接上問，另一方面，圖（3）所示的矩形面積是圖（1）、（2）所示矩形面積之和。所以有：學生小結：這是多項式乘以單項式，這一過程，可以看成是把第二個多項式看成一個整體，用第一個多項式里各項分別去乘以第二個多項式。教師啟發學生用數學式子或用自己的語言歸納、描述多項式乘以多項式的運算法則。如：利用乘法分配律，用一個多項式里的各項分別去乘以另一個多項式里的每一項，再把所得的積相加。三、過手訓練： 1、例1、計算： 解：（寫出完整解答）師生點評：（1）、用一個多項式的每一項乘遍另一個多項式的每一項，不要漏乘，在沒有合并同類項之前，兩個多項式相乘展開后的項數應是原來兩個多項式項數之積。 （2）、多項式里的每一項都必須是帶上符號的單項式。 （3）、展開后看有同類項要合并，化成最簡形式。隨堂練習：（1）、計算： （2）、若 求m、n、已知的結果中不會成項，求b的值。（3）、梯形的上底為厘米，下底為厘米，高為 厘米，求梯形的面積。為了參加學校的攝影大賽，小明把全班同學參加植樹活動的照片放大為長a，寬為a的大小，又精心地在四周加上了2寬的木框，問小明的這幅作品的面積為多少？四、課時小結： 1、知識與技能：多項式與單項