姓名：張燕香 編號：（教師不填）教學基本信息課題數學廣角鴿巢問題學科數學學段第二學段年級六年級相關領域綜合應用教材書 名：六年級下冊數學出版社：人民教育出版社出版日期：2017.1指導思想和理論依據義務教育數學課程標準（2011年版）在“學段目標（第二學段）”中提出：“會獨立思考，體會一些數學的基本思想。”，“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果。”，“經歷與他人合作交流解決問題的過程，嘗試解釋自己的思考過程。”。為了有效落實這一總體目標，人教版小學數學在在六年級下冊的“數學廣角”安排了“鴿巢問題”。所謂“鴿巢問題（抽屜原理）”，實際上是一種解決某種特定結構的數學或生活問題的模型，體現了一種數學的思想方法。讓學生經歷將具體問題數學化的過程，初步形成模型思想，體會和理解數學與外部世界的緊密聯系，發展抽象能力、推理能力和應用能力。教學背景分析1、 教材分析：鴿巢問題是義務教育課程標準實驗教科書數學六年級下冊第五單元數學廣角的教學內容。“抽屜原理”是數學的重要原理之一，在數論、集合論和組合論中有很多應用。它也被廣泛地應用于現實生活中，如招生錄取、就業安排、資源分配、職稱評定等方面，我們經常會看到隱含在其中的“抽屜原理”。本節課教材借助把4支筆放進3個筆筒中的操作情境，介紹了一類較簡單的“抽屜原理”，即把m個物體任意分放進n個空抽屜里（mn，n是非0自然數），那么一定有一個抽屜中放進了至少2個物體。教材中，有三處孩子們不好理解的地方“總有一個”、“至少”這兩個關鍵詞的解讀。為了達到“至少”而進行“平均分”的思路。把什么看做物體，把什么看做抽屜，這樣一個數學模型的建立。二、學情分析：學生在生活中常常能遇到“鴿巢問題”的實例，學生在現實生活中已積累了一定的感性經驗，但并不能有意識地從數學的角度來理解和運用“鴿巢問題”。教學時可以充分利用學生的生活經驗，放手讓學生自主思考，先采用自己的方法進行“證明”，然后再進行交流，在交流中引導學生對“枚舉法”、“反證法”、“假設法”等方法進行比較，使學生逐步學會運用一般性的數學方法來思考問題，發展學生的抽象思維能力。教學目標(含重、難點)教學目標：1.通過操作、觀察、比較、推理等活動，讓學生進一步經歷“鴿巢問題”的探究過程， 會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。2.會用“鴿巢問題”解決生活中簡單的實際問題，培養學生有根據、有條理地進行思考和推理的能力。3.使學生經歷將具體問題“數學化”的過程，培養學生的“模型”思想。4.通過“鴿巢原理”的靈活應用讓學生感受到數學的魅力，并培養學生對數學的學習興趣。教學重點：經歷“鴿巢問題”的探究過程，初步了解“抽屜原理”。教學難點：理解“鴿巢問題”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。 教學流程示意游戲導入，激發興趣自主操作，探究新知。總結規律比較優化交流討論法自主思考觀察猜測數學文化的滲透靈活應用，解決問題課堂小結，總結提升 本教學設計與以往或其它教學設計相比的特點（300-500字數)本節課是通過幾個直觀例子，借助實際操作，引導學生探究“抽屜原理”，初步經歷“數學證明“的過程，并有意識的培養學生的“模型思想。1.借助直觀操作，經歷探究過程。教師注重讓學生在操作中，經歷探究過程，感知、理解抽屜原理。2.教師注重培養學生的“模型”思想。通過一系列的操作活動，學生對于枚舉法和假設法有一定的認識，加以比較，分析兩種方法在解決抽屜原理的優超性和局限性，使學生逐步學會運用一般性的數學方法來思考問題。3.在活動中引導學生感受數學的魅力。本節課的“抽屜原理”的建立是學生在觀察、操作、思考與推理的基礎上理解和發現的，學生學的積極主動。特別以游戲引入，又以游戲結束，既調動了學生學習的積極性，又學到了抽屜原理的知識，同時鍛煉了學生的思維。在整節課的教學活動中使學生感受了數學的魅力。教 學 過 程一、游戲導入，激發興趣1孩子們，我們來做個游戲，老師這里有一副撲克牌，除去大小王還有52張牌。現在我請5名同學到前面來，每人任選一張牌，不要讓別人看到。我猜至少有2名同學的花色是一樣的。你們信嗎？好！讓我們一起來見證奇跡的發生吧！請亮牌。再請5名同學來配合表演，誰愿意？2.大家覺得這個游戲有意思嗎？那這個游戲的奧秘在哪呢，今天的數學廣角我們就能揭秘了。板書課題數學廣角。【設計意圖：教學從學生熟悉和喜愛的游戲引入，可以激活學生的生活經驗，讓學生利用已有的經驗初步感知抽象的“抽屜原理”，將數學學習與現實生活緊密聯系，提高學生的學習興趣。】二、自主操作，探究新知。回顧一下，以往我們學習數學廣角時一般是怎樣研究的？今天我們還是化繁為簡，先來研究一個數據小、容易理解的例子。請看1.出示：例1把4支筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有1個筆筒里至少有2支筆。解釋：“總有”和“至少”這兩個詞是什么意思？你覺得這句話說得對嗎？2、自主思考（1）獨立思考：怎樣解釋這一現象？（2）小組合作，拿筆和筆筒實際擺一擺、畫一畫、寫一寫等方法，把自己的想法表示出來。小組內進行操作。教師巡視，參與學生的操作和討論，找出有代表性的幾種“證明”方法。【設計意圖：先讓學生觀察、猜想，然后自己想辦法“證明”自己的猜想。這樣設計，給學生自主思考的時間和空間。在獨立思考的基礎上，再小組合作，把動腦思考與動手操作有機結合，把獨立思考與小組合作有機結合。有利于提高探索活動的實效性。】3、交流討論學生匯報是用什么辦法來解釋這一現象的。學情預設：第一種情況 第二種情況 第三種情況 第四種情況第一種：枚舉法。用實物擺一擺，把所有的擺放結果都羅列出來。學生展示把4支筆放進3個盒子里的幾種不同擺放情況，教師根據學生擺的情況，有序板書：（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）第二種：假設法。教師請只擺了一種或沒有擺放就能解釋的同學說說自己的想法。師：其他學生是否明白他的想法呢？引導學生在交流中明確：可以假設先在每個筆筒中放1支筆，3個筆筒里就放了3支筆。還剩下1支，放入任意一個筆筒，那么這個筆筒中就有2支筆了。也就是先平均分，每個筆筒中放1支，余下1支，不管放在哪個盒子里，一定會出現總有一個筆筒里至少有2支筆。怎樣用算式表示這種方法？43=1（支）1（支）【設計意圖：尊重學生個性的思考，尊重學生的差異，給學生充分的展示交流的空間，教師針對學生的不同情況，作出不同的指導，充分發揮教師作為課堂教學的組織者、引導者的作用。】4.比較優化。請學生繼續思考：如果把5支筆放進4個筆筒里，結果是否一樣呢？怎樣解釋這一現象？【學情預設：學生可能會擺一擺、放一放，羅列出所有情況，（5，0，0 ,0）、（4，1，0 ,0）、（3，2，0 ,0）、（3，1，1 ,0）、（2，2，1,0），（2，1，1, 1），每一種擺放情況，都一定有一個筆筒中至少有2支筆；也可能會用假設法來解釋，先假設在每個筆筒中放入1支筆，4個筆筒就放了4支筆，剩下的1支不論放入哪個筆筒里，一定會出現總有一個筆筒中至少有2支筆。不論學生用哪種方法，教師都給予肯定。】如果把6支筆放進5個筆筒里呢？【學情預設：大部分學生可能會意識到用操作的方法把所有的情況都列舉出來太麻煩了,于是用假設法進行解釋。】教師引導學生比較這兩種證明方法：第一種（枚舉）方法有什么優點和局限性？第二種（假設）方法有什么優點？請學生繼續思考：把7支筆放進6個筆筒里呢？把8支筆放進7個筆筒里呢？把100支筆放進99個筆筒里呢?你發現了什么？引導學生發現：只要放的筆數比筆筒的數量多1，不論怎么放，總有一個筆筒里至少放進2支筆。監控：怎么得到的兩支？（每個里面各有1支再加上余下來的一支）師：這是同學們的想法，是不是這樣，我們接著研究。【設計意圖：在學生自主探索的基礎上，教師進一步比較優化，讓學生逐步學會運用一般性的數學方法來思考問題。在有趣的類推活動中，引導學生得出一般性的結論，讓學生體驗和理解“抽屜原理”的最基本原理，當物體個數大于抽屜個數時，一定有一個抽屜中放進了至少2個物體。這樣的教學過程，從方法層面和知識層面上對學生進行了提升，有助于發展學生的類推能力，形成比較抽象的數學思維。】5.總結規律最后總結學生的發言，得到結論：當鉛筆數除以筆筒數有余數時，總有一個筆筒至少放了“商+1”個。今天我們研究的數學問題就是鴿巢問題，板書課題。【新課標指出：學生是學習的主體。特別是這種原理的學習，更應是教師創造條件，讓學生初步經歷“數學證明”的過程，逐步提高學生的邏輯思維能力。】三、數學文化的滲透同學們剛才研究的就是著名的“鴿巢原理”，“鴿巢原理”又稱“抽屜原理”， 最先發現這些規律的人是誰呢？他是德國數學家“狄里克雷”，后人們為了紀念他從這么平凡的事情中發現的規律，就把這個規律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鴿巢原理”，還把它叫做“抽屜原理”。抽屜原理有兩個經典案例，一個是把10個蘋果放進9個抽屜里，總有一個抽屜里至少放2個蘋果，所以這個原理又稱為“抽屜原理”；另一個是6只鴿子飛進5個鴿巢，總有一個鴿巢至少飛進2只鴿子，所以也稱“鴿巢原理”。剛才往筆筒里放筆的問題里，誰是鴿子，誰是巢？【設計意圖：數學小知識的介紹，鴿巢原理、抽屜原理的由來，增加一些數學文化氣息。】四、靈活應用，解決問題1.第68頁“做一做”。（1）課件出示：6只鴿子飛回5個鴿舍，至少有2只鴿子要飛進同一個鴿舍里。為什么？（2）學生獨立思考，自主探究。（3）交流，說理。2.某校足球隊共有13名學生，一定至少有2名學生的生日在同一個月。（1）學生理解題意，明白一年有12個月，共有13名學生。（2）學生獨立思考。（3）交流。【學情預設：這個問題相對來說比較抽象，可以利用多媒體計算機直觀出示十二個月的月歷，引導學生將十二個月作為“巢”，把13個人作為“鴿子”，化抽象為直觀，幫助學生思考說理。】 3.回到游戲：從撲克牌中取出兩張王牌，在剩下的52張中任意抽出5張，至少有2張撲克是同花色的。試一試，并說明理由。（1）幫助學生理解題意：剩下的52張撲克有4種花色。（2）學生思考，可以動手試一試。（3）交流。【學情預設：學生難以找到這個問題與“抽屜原理”之間的聯系。教師可在多媒體計算機上直觀出示4個方格，分別顯示紅桃、黑桃、梅花、方片四種撲克牌花色，讓學生借助直觀圖形進行說理。也可以拿出撲克牌，借助實物進行操作驗證。】4.生活中有哪些鴿巢問題呢？請舉例說明。【設計意圖：“抽屜問題”的變式很多，應用更具靈活性。本節課的練習設計有層次，有坡度。第1題，學生可以利用例題中的方法遷移類推，加以解釋。第2、3題學生需要經歷將具體問題“數學化”的過程，有利于培養學生的數學思維能力，讓學生在運用新知靈活巧妙地解決實際問題的過程中進一步體驗數學的價值，感受數學的魅力