第八講 年齡問題第八講 年齡問題年齡問題是一類以“年齡為內容”的數學應用題。年齡問題的主要特點是：二人年齡的差保持不變，它不隨歲月的流逝而改變；二人的年齡隨著歲月的變化，將增或減同一個自然數；二人年齡的倍數關系隨著年齡的增長而發生變化，年齡增大，倍數變小。根據題目的條件，我們常將年齡問題化為“差倍問題”、“和差問題”、“和倍問題”進行求解。例1 兒子今年10歲，5年前母親的年齡是他的6倍，母親今年多少歲？分析與解：兒子今年10歲，5年前的年齡為5歲，那么5年前母親的年齡為5630（歲），因此母親今年是305=35（歲）。例2 今年爸爸48歲，兒子20歲，幾年前爸爸的年齡是兒子的5倍？分析與解：今年爸爸與兒子的年齡差為“4820”歲，因為二人的年齡差不隨時間的變化而改變，所以當爸爸的年齡為兒子的5倍時，兩人的年齡差還是這個數，這樣就可以用“差倍問題”的解法。當爸爸的年齡是兒子年齡的5倍時，兒子的年齡是（4820）（51）7（歲）。由20713（歲），推知13年前爸爸的年齡是兒子年齡的5倍。例3 兄弟二人的年齡相差5歲，兄3年后的年齡為弟4年前的3倍。問：兄、弟二人今年各多少歲？分析與解：根據題意，作示意圖如右：由上圖可以看出，兄3年后的年齡比弟4年前的年齡大53412（歲），由“差倍問題”解得，弟4年前的年齡為（534）（31）6（歲）。由此得到弟今年6410（歲），兄今年10515（歲）。例4 今年兄弟二人年齡之和為55歲，哥哥某一年的歲數與弟弟今年的歲數相同，那一年哥哥的歲數恰好是弟弟歲數的2倍，請問哥哥今年多少歲？分析與解：在哥哥的歲數是弟弟的歲數2倍的那一年，若把弟弟歲數看成一份，那么哥哥的歲數比弟弟多一份，哥哥與弟弟的年齡差是1份。又因為那一年哥哥歲數與今年弟弟歲數相等，所以今年弟弟歲數為2份，今年哥哥歲數為21=3（份）（見下頁圖）。由“和倍問題”解得，哥哥今年的歲數為55(3+2)3=33(歲)。例5 哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等，哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲，請問二人今年各多少歲？分析與解：由“哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等”可知兄妹二人的年齡差為“45”歲。由“哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲”，可知兄妹二人今年的年齡和為“9728”歲。由“和差問題”解得，兄（9728）（45）248（歲），妹（9728）-（45）2=39（歲）。例6 1994年父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的4倍。2000年，父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的2倍。問：父親出生在哪一年？分析與解：如果用1段線表示兄弟二人1994年的年齡和，則父親1994年的年齡要用4段線來表示（見下頁圖）。父親在2000年的年齡應是4段線再加6歲，而兄弟二人在2000年的年齡之和是1段線再加2612（歲），它是父親年齡的一半，也就是2段線再加3歲。由1段12歲=2段3歲，推知1段是9歲。所以父親1994年的年齡是9436（歲），他出生于1994361958（年）。例7今年父親的年齡為兒子的年齡的4倍，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍。問：父子今年各多少歲？解法一：假設父親的年齡一直是兒子年齡的4倍，那么每過一年兒子增加一歲，父親就要增加4歲。這樣，20年后兒子增加20歲，父親就要增加80歲，比兒子多增加了802060（歲）。事實上，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍，根據剛才的假設，多增加的60歲，正好相當于20年后兒子年齡的（42）2倍，因此，今年兒子的年齡為（20420）（42）2010（歲），父親今年的年齡為10440（歲）。解法二：如果用1段線表示兒子今年的年齡，那么父親今年的年齡要用4段線來表示（見下圖）。20年后，父親的年齡應是4段線再加上20歲，而兒子的年齡應是1段線再加上20歲，是父親年齡的一半，也就是2段線再加上10歲。由1段20=2段10，求得1段是10歲，即兒子今年10歲，從而父親今年40歲。例8 今年爺爺78歲，長孫27歲，次孫23歲，三孫16歲。問：幾年后爺爺的年齡等于三個孫子年齡之和？分析：今年三個孫子的年齡和為272316=66（歲），爺爺比三個孫子的年齡和多786612（歲）。每過一年，爺爺增加一歲，而三個孫子的年齡和卻要增加1113（歲），比爺爺多增加312（歲）。因而只需求出12里面有幾個2即可。解：78（272316）（1111）6（年）。答：6年后爺爺的年齡等于三個孫子年齡的和。習題八1父親比兒子大30歲，明年父親的年齡是兒子年齡的3倍，那么今年兒子幾歲？2王梅比舅舅小19歲，舅舅的年齡比王梅年齡的3倍多1歲。問：他們二人各幾歲？3小明今年9歲，父親39歲，再過多少年父親的年齡正好是小明年齡的2倍？4父親年齡是女兒的4倍，三年前父女年齡之和是49歲。問：父女兩人現在各多少歲？5一家三口人，三人年齡之和是74歲，媽媽比爸爸小2歲，媽媽的年齡是兒子年齡的4倍。問：三人各是多少歲？6今年老師46歲，學生16歲，幾年后老師年齡的2倍與學生年齡的5倍相等？7已知祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡之和為82歲，明年祖父的年齡恰好等于孫子年齡的5倍。問：祖孫三人各多少歲？8小樂問劉老師今年有多少歲，劉老師說：“當我像你這么大時，你才3歲；當你像我這么大時，我已經42歲了。”你能算出劉老師有多少歲嗎？習題八解答1.14歲。 2.9歲；28歲。3.21年。4.父親44歲，女兒11歲。5.爸爸34歲，媽媽32