圓盤定理及其應用摘要：給除了矩陣特征值的定義及確定特征值范圍的圓盤定理，并對特征值估計和定位的圓盤定理進行了深入的研究，同時對對角占優實矩陣給出了更加精確的估計和定位特征值的方法。由于圓盤定理對估計特征值有其它方法不可替代的優勢，所以圓盤定理在各個行業得到了廣泛的應用。在集成電路加工工藝中，有一種工藝是離子注入，它可比較精確的控制離子的注入量和注入位置。但離子注入后會對半導體的晶格結構造成影響，為了讓破壞的晶格得到修復，在離子注入后要對半導體進行退火的加工工藝。本文就利用圓盤定理，基于模擬退火法提出了一種新的算法，新算法用于解決實特征值的求解問題，具有通用姓，并且具有很高的穩定性。在精確度要求極高的集成電路退火工藝中，一定會有很好的應用。關鍵字：圓盤定理 矩陣特征值 集成電路退火工藝 退火算法一 引言設，如果存在，且0，滿足，則稱復數為方陣A特征值，x為對應于的特征向量。我們知道對每一個方陣在復數域內有n個特征值。特征值理論及應用滲透到數學和其他科學的很多領域。其主要方面是如何求出n個特征值。求方陣n個特征值從理論上講是求：，即的根。當n時，特征方程沒有一般的求根公式。因此，關于特征值的研究轉入兩方面內容：第一，近似求特征值；第二，特征值的估計和定位。事實上，在很多應用方面往往不必精確求出特征值，而是只要一個粗略的估計就可以了。例如在微分方程和自動控制理論研究中，通過估計矩陣A的特征值是否均為負實部，便可判定系統的穩定性；與差分方法的穩定性有關的問題、與線性方程組迭代法求解有關問題，需要估計矩陣特征值是否均落在單位圓內等。因此，特征值的估計和定位一直是人們關注的課題。現階段各個行業對矩陣論中特征值的應用也不必精確求出，只要一個估計和定位即可，所以，目前研究階段處在對特征值估計和定位上。在集成電路加工工藝中，有一個重要的工序就是退火，退火的目的是為了把上一步加工工序中離子注入引起的晶格缺陷修復。在模擬退火的算法中，矩陣特征值的估計和定位也尤其顯得重要。對于矩陣特征值的估計和定位，一個很好的定理在其中得到了普遍的作用。它就是圓盤定理，它很好的解決了上述一系列的問題。二 預備知識1 矩陣特征值的定義: 設，如果存在，且0，滿足，則稱復數為方陣A特征值，x為對應于的特征向量。2 Gerschgorin圓盤定理設，則A的所有特征值（可相重）都落在復平面的n個圓盤 其中 的并集中，其中。并A的n個圓盤中S個圓盤構成一個連通域G，與其余n-s個圓盤互不相交，則A中僅有S個特征值落在G內。3 Ostrowski圓盤定理設，為A的任一特征值，則至少有一個i，使得其中 ，即A的n個特征值都落在下面n個圓盤 其中 的并集中。Gerschgorin定理是用方陣本身的元素及其的簡單函數估計A的特征值的位置的基礎定理。從定理可以得到：（1） 孤立的氏圓盤中含有且僅含有一個特征值，而S個連通的氏圓盤中恰含有S個特征值，而不保證每個圓盤都一定會有A的特征值；（2） 如果A的n個圓盤兩兩不相交，則A有n個互異的特征值，且每一種特征值恰好在孤立的圓盤內。因此，通過不斷縮小圓盤半徑，孤立各圓盤就可以近似估計和定位A的特征值。三 圓盤定理的應用圓盤定理最早是由Gersgorin在1931年提出的，是特征值估計中最古老，最簡單和最優美的結果之一。由于圓盤定理對特征值估計和定位的優越性，在后來的發展中，圓盤定理出現了各種推理和改進的定理。在此基礎上，各個行業對圓盤定理的的應用也越來越廣泛。本文就對圓盤定理在對角占優實矩陣的特征值估計和模擬退火算法在矩陣實特征值中的求解問題進行了分析和討論。1 對角占優實矩陣的特征值估計由兩個圓盤定理出發，可以得到實用性較強的其它幾個定理來估計和定位矩陣的特征值。可是，不論哪個定理，都是選取主對角元為圓心，以一定的半徑的圓盤來定位特征值。這種方法的確是一種很不錯的方法，但是在實際應用中我們注意到，用這種方法去估計所有矩陣的特征值的整體分布是很好的，但是它很難估計出每個特征值的具體大小。經過深入的研究發現，產生這一問題的根本原因是圓盤圓心的選擇。比如用圓盤去覆蓋特征值，如果與相差較大，則定會產生圓盤半徑較大的現象，由于相當于的偏移量不同，所以在很多情況下，連個圓盤很難僅僅通過調整半徑的方法達到孤立。因此，相當于的偏移量將直接影響該方法的可行性和實用性。但是對于對角占優矩陣，它的主對角元相當于 的偏移量不會太大。故通過作簡單相似變換的方法來適當縮小圓盤半徑就可以達到孤立圓盤的目的。下面我們就可以研究在簡單相似變換下，對角占優矩陣的一些性質。（1）對角占優矩陣：設，若 i=1，2，n。則稱A是行對角占優的矩陣。類似地，可以定義列對角占優矩陣。（2）圓盤定理基礎上對對角占優的矩陣進行更精確的定位和估計：設，有n個數b0 (i=1,2,n)，令= （i=1,2,n)）。選擇b的原則就是使變換后的連通區域變成孤立區域，則特征值分布在n個不同的孤立圓盤中，這樣就使得對特征值的估計和定位更加精確。參考文獻1 蔣正新等.矩陣論及其應用.北京,北京航空學院出版社