小學三年級奧數(shù) 17數(shù)陣圖本教程共30講第17講 數(shù)陣圖(二)上一講我們講了僅有一個“重疊數(shù)”的輻射型數(shù)陣圖的填數(shù)問題，這一講我們講有多個“重疊數(shù)”的封閉型數(shù)陣圖。例1 將18這八個數(shù)分別填入右圖的中，使兩個大圓上的五個數(shù)之和都等于21。分析與解：中間兩個數(shù)是重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次，所以兩個重疊數(shù)之和為212-(1+2+8)=6。在已知的八個數(shù)中，兩個數(shù)之和為6的只有1與5，2與4。每個大圓上另外三個數(shù)之和為21-6=15。如果兩個重疊數(shù)為1與5，那么剩下的六個數(shù)2，3，4，6，7，8平分為兩組，每組三數(shù)之和為15的只有2+6+7=15和3+4+8=15，故有左下圖的填法。如果兩個重疊數(shù)為2與4，那么同理可得上頁右下圖的填法。例2 將16這六個自然數(shù)分別填入右圖的六個內(nèi)，使得三角形每條邊上的三個數(shù)之和都等于11。分析與解：本題有三個重疊數(shù)，即三角形三個頂點內(nèi)的數(shù)都是重疊數(shù)，并且各重疊一次。所以三個重疊數(shù)之和等于113-(1+2+6)=12。16中三個數(shù)之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。如果三個重疊數(shù)是1，5，6，那么根據(jù)每條邊上的三個數(shù)之和等于11，可得左下圖的填法。容易發(fā)現(xiàn)，所填數(shù)不是16，不合題意。同理，三個重疊數(shù)也不能是3，4，5。經(jīng)試驗，當重疊數(shù)是2，4，6時，可以得到符合題意的填法(見右上圖)。例3 將16這六個自然數(shù)分別填入右圖的六個中，使得三角形每條邊上的三個數(shù)之和都相等。分析與解：與例2不同的是不知道每邊的三數(shù)之和等于幾。因為三個重疊數(shù)都重疊了一次，由(1+2+6)+重疊數(shù)之和=每邊三數(shù)之和3，得到每邊的三數(shù)之和等于(1+2+6)+重疊數(shù)之和3=(21+重疊數(shù)之和)3=7+重疊數(shù)之和3。因為每邊的三數(shù)之和是整數(shù)，所以重疊數(shù)之和應是3的倍數(shù)。考慮到重疊數(shù)是16中的數(shù)，所以三個重疊數(shù)之和只能是6，9，12或15，對應的每條邊上的三數(shù)之和就是9，10，11或12。與例2的方法類似，可得下圖的四種填法：每邊三數(shù)之和=9 每邊三數(shù)之和=10 每邊三數(shù)之和=11 每邊三數(shù)之和=12例4將29這八個數(shù)分別填入右圖的里，使每條邊上的三個數(shù)之和都等于18。分析與解：四個角上的數(shù)是重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次。所以四個重疊數(shù)之和等于184-(2+3+9)=28。而在已知的八個數(shù)中，四數(shù)之和為28的只有：4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。又由于18-9-8=1，1不是已知的八個數(shù)之一，所以，8和9只能填對角處。由此得到左下圖所示的重疊數(shù)的兩種填法：“試填”的結果，只有右上圖的填法符合題意。以上例題都是封閉型數(shù)陣圖。一般地，在m邊形中，每條邊上有n個數(shù)的形如下圖的圖形稱為封閉型m-n圖。與“輻射型m-n圖只有一個重疊數(shù)，重疊次數(shù)是m-1”不同的是，封閉型m-n圖有m個重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次。對于封閉型數(shù)陣圖，因為重疊數(shù)只重疊一次，所以已知各數(shù)之和+重疊數(shù)之和=每邊各數(shù)之和邊數(shù)。由這個關系式，就可以分析解決封閉型數(shù)陣圖的問題。前面我們講了輻射型數(shù)陣圖和封閉型數(shù)陣圖，雖然大多數(shù)數(shù)陣問題要比它們復雜些，但只要緊緊抓住“重疊數(shù)”進行分析，就能解決很多數(shù)陣問題。例5把17分別填入左下圖中的七個空塊里，使每個圓圈里的四個數(shù)之和都等于13。分析與解：這道題的“重疊數(shù)”很多。有重疊2次的(中心數(shù)，記為a)；有重疊1次的(三個數(shù)，分別記為b，c，d)。根據(jù)題意應有(1+2+7)+a+a+b+c+d=133，即 a+a+b+c+d=11。因為1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分別為2，3，4才符合題意，填法見右上圖。練習171.把18填入下頁左上圖的八個里，使每個圓圈上的五個數(shù)之和都等于20。2.把16這六個數(shù)填入右上圖的里，使每個圓圈上的四個數(shù)之和都相等。3.將18填入左下圖的八個中，使得每條邊上的三個數(shù)之和都等于15。4.將18填入右上圖的八個中，使得每條直線上的四個數(shù)之和與每個圓周上的四個數(shù)之和都相等。5.將17填入右圖的七個，使得每條直線上的各數(shù)之和都相等。6.把1，3，5，7，9，11，13分別填入左圖中的七個空塊中，使得每個圓內(nèi)的四個數(shù)之和都等于34。答案與提示練習17每個圓周的四數(shù)之和=12每個圓周的四數(shù)之和=13每個圓周的四數(shù)之和=14每個圓周的四數(shù)之和=15每個圓周的四數(shù)之和=163.提示：四個頂點數(shù)之和為154(128)=24，四個頂點數(shù)有3，6，7，8和4，5，7，8兩種可能。經(jīng)試驗只有左下圖一個解。4.提示：每條直線或每個圓周上的四個數(shù)之和都等于(128)718。填法見右上圖。(填法不唯一)5.提示：頂上的數(shù)重疊2次，其它數(shù)都重疊1次。(127)2