第二節導數的應用 知識點一導數與函數的單調性 極值 1 函數的單調性與導數 在某個區間 a b 內 如果f x 0 那么函數y f x 在這個區間內單調遞增 如果f x 0 那么函數y f x 在這個區間內單調遞減 2 函數極值的概念 1 判斷f x0 是極值的方法一般地 當函數f x 在點x0處連續時 如果在x0附近的左側 右側 那么f x0 是極大值 如果在x0附近的左側 右側 那么f x0 是極小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 2 求可導函數極值的步驟 求f x 求方程的根 檢查f x 的方程的根的左右兩側導數值的符號 如果左正右負 那么f x 在這個根處取得 如果左負右正 那么f x 在這個根處取得 3 極大值點 極小值點統稱為極值點 極大值 極小值統稱為極值 f x 0 f x 0 極大值 極小值 利用導數解決單調性問題 1 求函數的單調區間 函數f x x2 2lnx的單調遞減區間為 答案 0 1 2 利用單調性求參數的取值范圍 函數f x x3 ax在 1 上是增函數 則實數a的取值范圍為 解析f x 3x2 a 則3x2 a 0在 1 上恒成立 即a 3x2在 1 上恒成立 所以a 3 且a 3時 f x 不恒為0 答案 3 有關極值的兩個易混點 極值點 取極值條件 3 極值點是f x 取得極值時的x值 函數f x x3 3x2的極小值點是 解析f x 3x2 6x 3x x 2 由f x 0得x 0或x 2 當0 x 2時f x 0 當x 2時 f x 0 所以x 2是f x 極小值點 答案2 4 f x0 0是函數f x 在x x0處有極值的必要不充分條件 若函數f x x2 alnx在x 1時取得極值 則a 答案 2 知識點二導數與函數的最值及在實際生活中的應用 1 函數的最值 1 在閉區間 a b 上連續的函數f x 在 a b 上必有最大值與 2 若函數f x 在 a b 上單調遞增 則f a 為函數的最小值 f b 為函數的 若函數f x 在 a b 上單調遞減 則f a 為函數的最大值 f b 為函數的最小值 3 設函數f x 在 a b 上連續 在 a b 內可導 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步驟如下 求f x 在 a b 內的極值 將f x 的各極值與比較 其中最大的一個是最大值 最小的一個是最小值 最小值 最大值 f a f b 2 解決優化問題的基本思路 利用導數求函數最值 5 若為閉區間 可直接比較函數值 若為閉區間注意 利用函數單調性求解 函數f x x3 12x 8在 0 3 上的最小值為 解析f x 3x2 12 由f x 0得x 2 又f 0 8 f 2 8 f 3 1 所以f x 最小值為 8 答案 8 突破利用導數研究函數單調性的方法 利用導數求函數單調區間的步驟 1 求函數f x 的定義域 2 求導函數f x 3 在定義域內解不等式f x 0和f x 0 若不等式中帶有參數時 可對參數進行分類討論 4 確定函數f x 的單調區間 由函數的單調性求參數的取值范圍的方法 1 可導函數在某一區間上單調 實際上就是在該區間上f x 0 或f x 0 f x 在該區間的任意子區間內都不恒等于0 恒成立 然后分離參數 轉化為求函數的最值問題 從而獲得參數的取值范圍 2 可導函數在某一區間上存在單調區間 實際上就是f x 0 或f x 0 在該區間上存在解集 這樣就把函數的單調性問題轉化成了不等式問題 3 若已知f x 在區間I上的單調性 區間I中含有參數時 可先求出f x 的單調區間 令I是其單調區間的子集 從而可求出參數的取值范圍 例1 已知函數f x ex ax 1 1 求f x 的單調增區間 2 是否存在a 使f x 在 2 3 上為減函數 若存在 求出a的取值范圍 若不存在 請說明理由 解f x ex a 1 若a 0 則f x ex a 0 即f x 在R上單調遞增 若a 0 ex a 0 ex a x lna 因此當a 0時 f x 的單調增區間為R 當a 0時 f x 的單調增區間是 lna 2 f x ex a 0在 2 3 上恒成立 a ex在x 2 3 上恒成立 又 2 x 3 e 2 ex e3 只需a e3 當a e3時 f x ex e3在x 2 3 上 f x 0 即f x 在 2 3 上為減函數 a e3 故存在實數a e3 使f x 在 2 3 上為減函數 點評 1 利用導數的符號來判斷函數的單調性 2 已知函數的單調性求函數范圍可以轉化為不等式恒成立問題 3 f x 為增函數的充要條件是對任意的x a b 都有f x 0且在 a b 內的任一非空子區間上f x 0 應注意此時式子中的等號不能省略 否則漏解 導數與極值 最值 的求解方略 求函數f x 極值的步驟 1 確定函數的定義域 2 求導數f x 3 解方程f x 0 求出函數定義域內的所有根 4 列表檢驗f x 在f x 0的根x0左右兩側值的符號 如果左正右負 那么f x 在x0處取極大值 如果左負右正 那么f x 在x0處取極小值 若遇極值點含參數不能比較大小時 則需分類討論 求函數f x 在區間 a b 上的最值的方法 1 若函數在區間 a b 上單調遞增或遞減 f a 與f b 一個為最大值 一個為最小值 2 若函數在閉區間 a b 內有極值 要先求出 a b 上的極值 與f a f b 比較 最大的是最大值 最小的是最小值 可列表完成 1 求f x 在區間 1 上的極小值和極大值點 2 求f x 在 1 e e為自然對數的底數 上的最大值 點評 求極值 最值時 要求步驟規范 表格齊全 含參數時 要討論參數的大小 求函數單調區間與函數極值時要養成列表的習慣 可使問題直觀且有條理 減少失分的可能 利用導數求解不等式恒成立問題突破方略 利用導數證明不等式的方法 1 證明f x g x x a b 可以構造函數F x f x g x 如果F x 0 則F x 在 a b 上是增函數 同時若F a 0 由增函數的定義可知 x a b 時 有F x 0 即證明了f x g x 利用導數研究不等式問題的關鍵是函數的單調性和最值 各類不等式與函數最值關系如下 注 上述的大于 小于改為不小于 不大于 相應的與最值對應關系的不等式也改變 如果函數沒有最值 則上述結果可以用函數值域相應的端點值表述 例3 設函數f x x ax2 blnx 曲線y f x 過P 1 0 且在P點處的切線斜率為2 1 求a b的值 2 證明 f x 2x 2 當00 當x 1時 g x 0時 g x 0 即f x 2x 2 點評 1 運用導數證明不等式f x g x 成立的一般步驟 第一步 構造h x f x g x 第二步 求h x 第三步 判斷h x 的單調性 第四步 確定h x 的最小值 第五步 證明h x min 0成立 第六步 得出所證結論 2 利用導數知識證明不等式是導數應用的一個重要方面 也是高考的一個新熱點 其關鍵是構造適當的函數 判斷區間端點對應的函數值與0的關系 實際就是利用求導的方法去研究函數的單調性 并通過單調性證明不等式 導數與函數的綜合問題 利用導數研究方程的根 函數的零點和圖象交點問題 是高考題的典型題型 該類問題一般可通過導數研究函數的單調性 極值 變化趨勢等 根據題目要求 畫出函數圖象的走勢規律 然后分析觀察 列出相應不等式 或方程 求解 要注意轉化與化歸 函數與方程 數形結合 分類討論思想的應用 1 求f x 的單調區間與極值 2 若函數f x 的圖象與函數g x 的圖象在區間 0 e2 上有公共點 求實數a的取值范圍 答題模板 第一步 確定函數定義域并