三排序不等式 對應學生用書p351順序和、亂序和、反序和設a1a2an，b1b2bn為兩組實數，c1，c2，cn為b1，b2，bn的任一排列，稱a1b1a2b2anbn為這兩個實數組的順序積之和(簡稱順序和)，稱a1bna2bn1anb1為這兩個實數組的反序積之和(簡稱反序和)稱a1c1a2c2ancn為這兩個實數組的亂序積之和(簡稱亂序和)2排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又稱為排序不等式)設a1a2an，b1b2bn為兩組實數，c1，c2，cn為b1，b2，bn的任一排列，則有a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn，等號成立(反序和等于順序和)a1a2an或b1b2bn.排序原理可簡記作：反序和亂序和順序和說明排序不等式也可以理解為兩實數序列同向單調時，所得兩兩乘積之和最大；反向單調(一增一減)時，所得兩兩乘積之和最小 對應學生用書p35例1已知a，b，c為正數，且abc，求證：.思路點撥分析題目中已明確abc，所以解答本題時可直接構造兩個數組，再用排序不等式證明即可證明ab0，于是，又c0，從而，同理，從而.又由于順序和不小于亂序和，故可得.所以原不等式成立利用排序不等式證明不等式的技巧在于仔細觀察、分析所要證明的式子的結構，從而正確地構造出不等式中所需要的帶有大小順序的兩個數組1已知0(sin 2sin 2sin 2)證明：0，且ysin x在為增函數，ycos x在為減函數，0sin sin cos cos 0.sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)2設x1，求證：1xx2x2n(2n1)xn.證明：x1，1xx2xn.由排序原理得12x2x4x2n1xnxxn1xn1xxn1即1x2x4x2nn(n1)xn.又因為x，x2，xn,1為1，x，x2，xn的一個排列由排序原理得：1xxx2xn1xnxn11xnxxn1xn1xxn1得xx3x2n1xn(n1)xn將相加得1xx2x2n(2n1)xn.用排序不等式證明不等式(對所證不等式中的字母大小順序作出假設)例2在abc中，試證：思路點撥可構造abc的邊和角的有序數列，應用排序不等式來證明證明不妨設abc，于是abc.由排序不等式，得aabbccaabbcc，aabbccbacbac，aabbcccaabbc.相加，得3(aabbcc)(abc)(abc)(abc)，得.在排序不等式的條件中需要限定各數值的大小關系，對于沒有給出大小關系的情況，要根據各字母在不等式中地位的對稱性，限定一種大小關系3設a，b，c都是正數，求證：abc.證明：由題意不妨設abc0，由不等式的單調性，知abacbc，.由排序不等式，知abacbcabacbc，即所證不等式abc成立4設a1，a2，an是1,2，n的一個排列，求證：.證明：設b1，b2，bn1是a1，a2，an1的一個排列，且b1b2bn1；c1，c2，cn1是a2，a3，an的一個排列，且c1c2且b11，b22，bn1n1，c12，c23，cn1n.利用排序不等式，有.原不等式成立 對應學生用書p361有一有序數組，其順序和為a，反序和為b，亂序和為c，則它們的大小關系為()aabcbacbcabc dacb解析：由排序不等式，順序和亂序和反序和知；acb.答案：b2若axxx，bx1x2x2x3xn1xnxnx1其中x1x2，xn都是正數，則a與b的大小關系為()aab ba0，則ab0，由排序不等式2(aabb)a(ab)b(ab)(ab)，aabb(ab)答案：aabb(ab)8設a1，a2，a3為正數，求證：(aaa)(a1a2a3)3a1a2a3.證明：不妨設a1a2a30，于是，a2a3a3a1a1a2，由排序不等式：順序和亂序和，得a2a3a3a1a1a2a3a1a2，即3a1a2a3(aaa1)2(a3a2a1)9某學校舉行投籃比賽，按規則每個班級派三人參賽，第一人投m分鐘，第二人投n分鐘，第三人投p分鐘，某班級三名運動員a，b，c每分鐘能投進的次數分別為a，b，c，已知mnp，abc，如何派三人上場能取得最佳成績？解：mnp，abc，且由排序不等式知順序和為最大值，最大值為manbpc，此時分數最高，三人上場順序是a第一，b第二，c第三10設x，y，z為正數，求證：xyz.證明