332 簡單的線性規劃（基本概念）29*學習目標*1了解線性規劃的意義以及約束條件、目標函數、可行解、可行域、最優解等基本概念；2了解線性規劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的最值問題*要點精講*1. 研究一個問題:設，式中變量滿足下列條件。求的最大值和最小值w!w!w.!x!k!b!1.com分析：從變量x、y所滿足的條件來看，變量x、y所滿足的每個不等式都表示一個平面區域，不等式組則表示這些平面區域的公共區域ABC.作一組與直線:2x+y=0平行的直線:2x+y=t,tR（或平行移動直線），從而觀察t值的變化： 從圖上可看出，點（0，0）不在以上公共區域內，當x=0，y=0時，t=2x+y=0.點（0，0）在直線：2x+y=0上.作一組與直線平行的直線（或平行移動直線):2x+y=t,tR.可知，當在的右上方時，直線上的點（x,y)滿足2x+y0, 即t0.而且，直線往右平移時，可以發現t隨之增大.在經過不等式組所表示的公共區域內的點且平行于的直線中，以經過點B（5，2）的直線所對應的t最大，以經過點A（1，1）的直線所對應的t最小.所以： =25+2=12，=21+3=3。2. 目標函數, 線性目標函數線性規劃問題，可行解，可行域, 最優解：諸如上述問題中，不等式組是一組對變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關于x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件。t=2x+y是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，我們把它稱為目標函數.由于t=2x+y又是關于x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標函數另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題.例如：我們剛才研究的就是求線性目標函數z=2x+y在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規劃問題那么，滿足線性約束條件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域.在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區域.其中可行解（5，2）和（1，1）分別使目標函數取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優解*范例分析*例1給出下列命題：線性規劃中最優解指的是使目標函數取得最大值或最小值的變量或的值；線性規劃中最優解指的是目標函數的最大值或最小值；線性規劃中最優解指的是使目標函數取得最大值或最小值的可行域；線性規劃中最優解指的是使目標函數取得最大值或最小值的可行解. 其中正確的是( )A. B. C. D.例2已知變量滿足約束條件。求的最大值和最小值。例3（1）已知變量滿足約束條件，。若目標函數 (其中)僅在點處取得最大值，則a的取值范圍是 。（2）已知平面區域D由以為頂點的三角形內部邊界組成。若在區域D上有無窮多個點可使目標函數zxmy取得最小值，則等于（ ）A2 B1 C1 D4例4設實數x、y滿足不等式組（1）求點(x,y)所在的平面區域；（2）設，在（1）所求的區域內，求函數的最值規律總結1用圖解法解決簡單的線性規劃問題的基本步驟：（1）首先，要根據線性約束條件畫出可行域（即畫出不等式組所表示的公共區域）;（2）設t=0，畫出直線 （3）觀察、分析，平移直線，從而找到最優解（4）最后求得目標函數的最大值及最小值2已知變量滿足約束條件，當時，將直線向上平移時，目標函數的越來越大；當時，將直線向上平移時，目標函數的越來越小。*基礎訓練*一、選擇題1在約束條件下，則目標函數的最優解是（ ）A（0，1），（1，0） B（0，1），（0，-1）C（0，-1），（0，0） D（0，-1），（1，0）2設變量滿足約束條件則目標函數的最大值為（）4 11 12 143設變量、滿足約束條件，則目標函數的最小值為（ ）A B C D 4設R為平面上以A（4，1），B（1，6），C（3，2）為頂點的三角形區域（包括邊界），則z=4x3y的最大值與最小值分別為（ ） A、最大值14，最小值18 B、最大值14，最小值18 C、最大值18，最小值14 D、最大值18，最小值14x k b 1 . c o m5如圖所示的坐標平面的可行域（陰影部分且包括邊界）內，目標函數 取得最小值的最優解有無數個，則為（ ）A、 B、2 C、 D、6二、填空題6已知, 則4a2b取值范圍是 。7已知實數、滿足則的最大值是 。8設、滿足約束條件則使得目標函數的最大的點 是 。三、解答題9求目標函數的最大值及對應的最優解，約束條件是10求的最大值和最小值，其中滿足約束條件。四、能力提高11在約束條件下，當時，目標函數的最大值的變化范圍是（ ）A. B. C. D. 12己知滿足條件：且 (1)試畫出點的存在范圍；(2)求的最大值.332 簡單的線性規劃（基本概念）29例1解：選D。注意對概念的辨析。例2分析：從變量x、y所滿足的條件來看，變量x、y所滿足的每個不等式都表示一個平面區域，不等式組則表示這些平面區域的公共區域ABC.作一組與直線：平行的直線：（或平行移動直線），從而觀察t值的變化： 從圖上可看出，點（0，0）不在以上公共區域內，當x=0，y=0時，t=2x+y=0.點（0，0）在直線：2x+y=0上.作一組與直線平行的直線（或平行移動直線):.因為直線化成，斜率為，在軸的截距為，當直線往右平移時，軸的截距為隨之增大，因此隨之減小。在經過不等式組所表示的公共區域內的點且平行于的直線中，以經過點B（5，2）的直線所對應的t最大，以經過點的直線所對應的最小.所以： ，。例3（1）解：變量滿足約束條件 在坐標系中畫出可行域，如圖為四邊形ABCD，其中A(3，1)，目標函數（其中） 中的z表示斜率為a的直線系中的截距的大小，若僅在點處取得最大值，則斜率應小于，即，所以的取值范圍為(1，+)。（2）依題意，令z0，可得直線xmy0的斜率為，結合可行域可知當直線xmy0與直線AC平行時，線段AC上的任意一點都可使目標函數zxmy取得最小值，而直線AC的斜率為1，所以m1，選C。例4解：（1）已知的不等式組等價于解得點所在的平面區域為所示的陰影部分（含邊界） 其中，（2）表示直線在y軸上的截距，且直線與（1）中所求區域有公共點, 當直線過頂點C時，最大C點的坐標為（-3，7）， 的最大值為如果-12，那么當直線過頂點A（2，-1）時，最小，最小值為-1-2.如果2，那么當直線過頂點B（3，1）時，最小，最小值為1-3評注：由于直線的斜率含參數，所以在求截距的最值時，要注意對參數進行討論，方法是直線動起來*參考答案*1A；2B；3B；提示：設變量、滿足約束條件在坐標系中畫出可行域ABC，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，則目標函數 的最小值為3，選B. 4A；5A；提示：當目標函數移動到與直線重合時，取得最小值的最優解有無數個，67已知實數、滿足在坐標系中畫出可行域，三個頂點分別 是A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)， 的最大值是4.8(2,3).；來源:學*科*網9. 解：作出其可行域如圖所示，約束條件所確定的平面區域的五個頂點為（0，4），（0，6），（6，0）（10，0），（10，1）， 作直線l0：10 x +15 y =0，再作與直線l0平行的直線l：10 x +15 y =z