對數學核心概念的思考對數學核心概念的思考 北京教育科學研究院 吳正憲 北京順義區教育研究考試中心 張秋爽 義務教育數學課程標準 2011 年版 提出了 10 個核心概念 它們是 數感 符 號意識 空間觀念 幾何直觀 數據分析觀念 運算能力 推理能力 模型思想 應用意 識和創新意識 與 實驗稿 相比 在這 10 個核心概念中 有一些是新增加的 運算能 力 模型思想 幾何直觀 創新意識 有一些是名稱或內涵發生了變化的 數感 符號意 識 數據分析觀念 有一些是保持了原有名稱 基本保持了原有內涵 空間觀念 推理 能力 應用意識 這 10 個核心概念可以分成三層 第一層 主要體現在某一內容領域的 核心概念 數感 符號意識 運算能力主要體現在數與代數領域 空間觀念主要體現在圖 形與幾何領域 數據分析觀念主要體現在統計與概率領域 第二層 體現在不同內容領域 的核心概念 包括幾何直觀 推理能力和模型思想 第三層 超越課程內容 整個小學數 學課程都應特別注重培養學生的應用意識和創新意識 下面就結合一些課堂實例對其中新增的四個核心概念 運算能力 模型思想 幾何直 觀 創新意識 的理解與大家交流 一 一 如何提高學生的運算能力如何提高學生的運算能力 運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力 培養運算能力有助 于學生理解運算的算理 尋求合理簡潔的運算途徑解決問題 一是指運算 二是指運算能 力 運算能力不僅僅會算和算正確 還包括對于運算的本身要有理解 比如運算對象 運 算的意義 算理等 提到運算的意義 我們覺得要讓學生積累運算的原型 不斷補充進而完善學生對于運 算含義的準確把握 運算的多種 原型 包括 加法可以作為合并 移入 增加 繼續往 前數等的模型 減法可以作為剩余 比較 往回數 減少或加法逆運算等的模型 乘法可 以作為相等的數的和 面積計算 倍數 組合等的模型 除法可以作為平均分配 比率或 乘法逆運算等的模型 提到算理和算法的關系 我們認為 法理 需要平衡 直觀演繹 清晰算法是外在模 型 算理是內在的魂 而現在的孩子在學習新知識之前不是一張白紙 他們往往學會了一 些所謂的計算方法 但是對于方法背后的道理卻是知之甚少或一無所知 怎樣引起他們對 算理的關注與探究呢 教學中可以借助直觀模型 架起算理與算法之間的一座橋梁 使學 生能夠直觀地感悟計算的道理 北京黃城根小學的史冬梅老師的一節 兩位數乘兩位數 結合三年級學生的思維特 點 借助直觀模型也很好地處理了算理與算法的關系 片段一 片段一 算對了算對了 就是真明白了嗎 就是真明白了嗎 教師出示問題 14 12 等于多少 在學生獨立試做并利用計算器驗證出結果后 全班學 生證明計算結果正確之后 老師說 既然我們已經認同了 14 12 168 是正確的 大家 又會計算過程 是不是就可以下課了呢 不能下課的呼聲頓時而起 媽媽教會我計算 但是我不知道為什么這樣計算 豎式計算方法為什么上下摞著寫 是誰發明這樣計算 的 人類怎么想到這種方法的 看似一句簡單的 是否可以下課 引發了學生的深度思 考 教師創設這樣的問題情境 沒有把學生的思維停留在計算的結果 而是為學生提供質 疑的空間 讓使學生帶著需求進入后續知識的研究 片段二 在點子圖上刻畫思維軌跡片段二 在點子圖上刻畫思維軌跡 我們除了用豎式計算和用計算器計算之外 同學們還有很多計算方法 例如 12 7 2 14 6 2 14 4 3 14 2 6 12 10 12 4 12 5 2 12 4 這樣計算 有道理嗎 學生開始疑惑和茫然 此時教師提供點子圖建議學生在圖中找答案 每行 有 14 個點 有這樣的 12 行 學生在點子圖中演繹計算道理 如下圖所示 學生在點子圖中找到計算的道理 并證明實以上幾種方法都是正確的 史老師接著追 問 哪個圖能恰當的體現豎式的計算過程 史老師在這節課上沒有將會寫 豎式 作為最終的教學目標 而是在學生已經能夠初 步掌握豎式計算方法的基礎上 提供給學生直觀的點子圖作為研究素材 使學生的種種思 維軌跡在點子圖上留下足跡 使學生豐富多彩的學習成果得以證明 學生計算的方法不完 全相同 但都是采用 先分后合 的思路 這一點恰恰就是乘法豎式計算的基本思路 其 中最后的追問也體現了直觀與抽象的關系 讓學生進一步理解計算的道理 片段三 在點子圖中 把抽象的算理和外顯的算法進行勾連片段三 在點子圖中 把抽象的算理和外顯的算法進行勾連 豎式計算中用到的四句口訣 二四得八 一四得四 一二得二 一一得一 計算的 是哪部分 為什么第二層的積要錯位寫 能在點子圖上找到豎式計算的過程并說明道理嗎 提出的問題引發學生思考 學生開始在點子圖上尋覓豎式計算的步驟 在點子圖中找每個算式對應的位置 如下圖所示 接著將點子圖抽象成矩形 并用數形結合表示計算的過程和道理 如下圖 然后 說明第二層積為什么要錯位書寫的道理 最后將所有的積相加 就是 12 14 的計算結果 在點子圖中尋覓豎式計算的足跡 幫助學生還原最簡單 最直觀的道理和方法 使算 理與算法融為一體 在進行學生前測時 多數學生掌握的是計算的流程 但是為什么這樣計算 豎式是怎 樣演變來的 人類為什么這樣規定計算流程 激發了學生的學習需求 點子圖將 冷冰冰 的算法和 神秘秘 的算理 揭示得如此透徹 讓學生清楚 法中見理 理中得法 原本 不可剝離 回顧以往的教學 不少老師認為計算教學沒什么道理可講 或者不重視引導學生探索 計算的過程 或者當學生剛剛探索出方法后 就立即引導學生學習豎式 在學生對豎式運 算的每個環節沒有真正理解的情況下就開始追求計算方法 這就很可能造成學生在沒有真 正理解道理的情況下 只能靠記憶法則來習得方法和技能 這顯然對學生的發展是不利的 而這節課恰恰體現了算理與算法有機融合的鮮活而典型的案例 因此 教師要給學生提供可以操作 圈畫的素材 促使學生有意識地審視自己的操作 過程 自覺地把操作過程中所獲得的認識進行整理提升 使抽象的算理變得直觀形象 使 學生在明理中順利 自然的掌握了算法 促進學生思維的發展 提高運算能力 二 如何建立模型思想二 如何建立模型思想 模型思想 是新增的核心概念 標準 指出 模型思想的建立是學生體會和理解 數學與外部世界聯系的基本途徑 建立和求解模型的過程包括 從現實生活或具體情境中 抽象出數學問題 用數學符號建立方程 不等式 函數等表示數學問題中的數量關系和變 化規律 求出結果 并討論結果的意義 這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想 提高學習數學的興趣和應用意識 標準 首先說明了模型思想的價值 即建立了數學與外部世界的聯系 小學階段有 兩個典型的模型 路程 速度 時間 總價 單價 數量 方程是個建模的過程 怎 樣幫學生建立好這個數學模型 從事件中尋找等量關系 列出方程 可以說是一種建立數學模型的過程 如何讓學生 更好的經歷這個建模的過程 使學生更輕松的接受這個模型 我認為單方面去讓學生經歷 從事件中提取還不能夠讓學生充分接受 數學源自生活 又回歸于生活 這就告訴我們 建立數學模型應該是提取加還原的過程 所以 在教學中 前期我們可以搜集較為豐富的 生活事件 引導學生不斷地經歷提取等量關系 列方程的過程 但在后期應讓學生面對方 程這個已有模型 讓學生去賦予它更多現實含義 當學生能夠把模型與生活建立聯系時 他才真的開始接受這個模型了 1 1 方程是個建模的過程方程是個建模的過程 下面以陳千舉老師 方程 一課的教學流程為例 說明如何在體現模型思想的同時 又滲透了從算術思維向代數思維的過渡 片段片段 1 1 借助天平建立方程借助天平建立方程 陳教師大膽地在教具上做文章 把過去由教室一手操作的電腦中的天平變成了孩 子們可以任意動手擺動得紙制天平 動態演示 直觀解讀 讓學生在直觀教具模型的 動態演示中感悟理解方程的意義 因此課堂上出現了學生可以自己可以動一動的天平 模型 隨著天平上物體的變化 學生把 未知的物體 作為 已知量 參與 尋找等量 關系 的探索 天平讓學生很容易認識到左右兩邊物體質量的關系 有利于直接尋找 到表示左右兩邊相等的式子 尋找等量關系對于建立方程概念顯得很是重要 動態天 平模型的出現 為學生理解 含有未知數的等式叫做方程 給與了重要的認知支持 片段片段 2 2 尋找內隱的天平尋找內隱的天平 并不是所有的情景都是稱質量 離開了天平情景 學生該怎么做呢 對 尋找心 中的天平 找出等量關系是關鍵 師 下面請同學們看圖 你能在此圖中找到一組相等的關系嗎 生 1 每塊月餅質量 4 380 師 每塊月餅質量不知道 我們可以用什么來表示 生 2 我們可以用字母表示 師 你能利用一個式子來表示這組相等的關系嗎 組織學生自己寫 生 3 4x 380 生 4 4A 380 師 沒有天平了 你們通過心中的天平也找到了等量關系 列出了方程 看來 天平 的威力還真不小 師 再看這幅圖 先說說圖意 其中的等量關系是什么 請用個式子表示這組相等的系 學生獨立思考 寫出答案后交流 生 5 一個大水壺能盛 2000 毫升水 剛好倒滿 2 個熱水瓶和 1 紙杯 紙杯的容量是 200 毫升 生 6 這幅圖的等量關系 兩個熱水瓶的盛水量 200 毫升 2000 毫升 相等關系可以用 2x 20 2000 師 你是用什么表示每個暖瓶的盛水量的 生 6 我是用 x 來表示的 師 生活情境中找到等量關系 就可以找到方程的影子 教師請一名學生和自己站在 一起 問 我們兩個在這兒一站 有方程嗎 1 指名讓學生為站在一起的老師和學生構造方程 師在其中有目的地追問相應的等 量關系 2 同學身高 x 厘米 我們兩個相差 32 厘米 陳老師身高 180 厘米 師 這次你都能列出哪些方程 x 32 180 180 x 32 180 32 x 教師創設看似尋常不過的情境 在學生尋找方程的過程中 讓學生不僅再一次加深了 對方程意義的理解 更重要的是讓學生感受到方程就在我們的身邊 生活中處處有方程 片段片段 3 3 在講故事中理解方程在講故事中理解方程 陳老師的課堂別開生面 學生在講故事中感悟理解方程的意義 也給我們帶來了新的 思考即 面對著抽象的數學概念 小學生需要什么樣的數學學習 20 x 100 賦予生活意義 講個故事 生 1 有 20 個黑雞蛋 黑雞蛋和白雞蛋共 100 個 白雞蛋多少個 生 2 有 100 個饅頭 陳老師吃了 20 個 還剩多少個 生 3 到超市買東西 付給售貨員 100 元 售貨員找回 20 元 花了多少元 生 4 叔叔要去 100 千米外的河北出差 還剩 20 千米 已經行了多少千米 生 5 一個動畫片兩集全場 100 分鐘 已經播了 20 分鐘 還剩多少分鐘就播完 從具體事件中尋找等量關系 列出方程 可以說是一種建立數學模型的過程 老師 讓學生親自經歷這個建模的過程 使學生自然接受這個數學模型 他引導學生從生活中提 取數學模型 又將數學模型回歸于生活他說 建立數學模型應該是提取加還原的過程 因此他在在教學中 引導學生搜集豐富的生活資源 不斷地經歷提取等量關系 列方程的 過程 從而理解方程得意義 最后把抽象的方程與生活情境建立聯系 讓學生換個思路理 解方程 為方程增添些許生命力 從而加深和豐富學生對方程意義地理解 2 2 乘法分配律是個建模的過程乘法分配律是個建模的過程 在學習乘法分配律時 我們可以先通過學生熟悉的生活情景 買套服 買桌椅 買套 餐等情景入手 體會乘法的意義 進一步列出算式 接著可以根據這些算式的特點 試著 寫幾個這樣的等式 通過計算驗證它們結果相等 最后分析算式的特點 進而總結出乘法 分配律 在學生理解運算律的過程中 將圖 式 數 情景進行溝通和聯系 體現多重表 達方式 除此之外 我們還可以利用圖形的直觀性 幫助學生理解乘法分配律 當然 在 學生理解了乘法分配律后還可以讓學生根據算式編故事 例如 北師大版教材的例題 給廚房貼瓷磚 正面是一個長方形 橫著貼 6 塊 豎著 貼 9 行 側面也是一個長方形 橫著貼 4 塊 豎著貼 9 行 一共需要多少塊瓷磚 方法 1 6 9 4 9 90 塊 方法 2 6 4 9 90 塊 對于解決生活中的實際問題 可以直接用平面圖形求面積和或面積差 應用的也是 乘法分配律 先讓學生說明每個算式的意義 接著讓學生在圖中指一指每個算式所對應的面積 最后把兩種方法書寫在一起 讓學生進行比較 進一步明確等式左邊和右邊的結構特點 這樣采用多種表征去認識乘法分配律 能夠加深學生對運算律的認識與把握 對于 乘法分配律 的內容 通過學習新知 學生有了理解 但如何真正內化理解 了呢 如何通過學習活動讓不同水平的學生各有所獲呢 于是 教學時教師便提出 你能 用 4 3 6 3 說一道實際問題 表達出乘法分配律的內容嗎 用自己喜歡的方式擺一 擺 畫一畫 寫一寫 可以用文字的 也可以用圖表的 怎樣把你的想法記錄下來 并讓 大家能一眼看懂 學生作品如下 文字式 實物圖式 圖文并茂式 抽象符號式 平面圖形式 線段圖式 總 結概括式 反饋時 依據思維程度的不同由低到高呈現學生的思考結果 讓學生交流幾種思路 這樣使不同思維層次的學生面臨不同的挑戰 促使學生經歷從實物抽象到用數學符號表示 的過程 這就是解構的過程 模型思想的建立需要一個循環往復的過程 從大量的生活實例 具體形象 舊知識 來 抽象出運算定律 再用自己的方式解讀 這也是一個建構和解構的過程 這兩個 過程缺一不可 共同承擔學生建立模型思想的全過程 除方程 乘法分配律這兩個學習內容能夠幫助學生建立模型外 教材中還有很多內容 植樹問題 雞兔同籠及一些基本的數量關系 函數等 建議大家從低年級開始就可以滲透 做到前有孕伏 后有照應 三 如何在教學中體現幾何直觀 三 如何在教學中體現幾何直觀 幾何直觀是 標準 中新增的核心概念 主要是指 利用圖形描述和分析問題 借助 幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明 形象 有助于探索解決問題的思路 預測結果 幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學 在整個數學學習過程中都發揮著重要作用 運 用圖來分析問題和解決問題 運用圖直觀表示正反比例關系 利用統計圖來直觀地描述數 據等 1 1 運用圖分析問題和解決問題運用圖分析問題和解決問題 把畫圖作為一種解決問題的策略 由于孩子年齡的局限 他們對符號 運算性質的 推理可能會發生一些困難 如果適時的 讓孩子們自己在紙上涂一涂 畫一畫 可以拓展 學生解決問題的思路 幫助他們找到解決問題的關鍵 因此我們認為 畫圖應該是孩子們 掌握的一種基本的解決問題的策略 為什么說畫圖很重要呢 主要是比較直觀 通過畫圖 能夠把一些抽象的數學問題具體化 把一些復雜的問題簡單化 如 這個問題是一道出現了不同單位 1 的分數應用題 對學生的思維具有挑戰性 利 用線段圖理解分數的意義 轉化單位 1 用份數來解答問題 這道題轉化為把 52 本書平均分成 13 份 姐姐占 3 份 妹妹占 10 份 通過畫線段圖 把這種復雜的數量關系變得簡單明了 將抽象的數學問題直觀化 可視化 解決問題的策 略也躍然紙上 2 2 運用圖像表示正反比例關系 運用圖像表示正反比例關系 函數是刻畫現實世界的一個重要數學模型 它刻劃的是變量與變量之間依賴關系的模 型 函數是聯結兩類對象的橋梁 體現了對應關系 函數有多種表示形式 解析式 表格 圖像 自然語言 這就是人們通常所說的函數的多重表示 多重表示的方法不僅可以加強 概念的理解 也是解決問題的重要策略 如下圖所示 圖 1 圖 2 用都采用了表格形式反應兩類對象之間的關系 圖 1 表示的 是總量一定 每杯盛水的數量與杯數之間的關系 學生能夠知道 每杯水的數量越多 杯 數越少 可以表示為 xy 600 圖 2 表示汽車行駛的速度與時間之間的關系 速度不變 時間越長 行的路程越長 可以表示為 y 90 x 圖圖 1 1 圖圖 2 2 圖像對于理解變量之間的關系具有十分重要的意義 函數關系用圖像來表示 它的直 觀性是其他表示方式所不能替代的 它是 看見 兩種量之間的關系和變化情況的途徑之 一 圖 3 圖 4 采用了圖像反應兩類對象之間的關系 圖 3 反應了正方形周長與邊長的 變化情況圖 隨著邊長的增加 周長也增加 而且它們之間總是 4 倍關系 圖像是一條直 線 圖 4 反應的是面積一定時 長與寬這兩類對象之間的關系 長增大 寬就減少 它們之間 的積是固定不變的 圖像是一條曲線 圖圖 3 3 圖圖 4 4 北京實驗一小郭雯硯老師執教的 成正比例的量 這節課上郭老師緊緊抓住了 圖 像 作為幫助學生認識和理解正比例的重要素材 圖像反應的是我們學校給住宿的同學買蘋果的情況 給出數據和具體的情境 師 給出數據后 你又能從圖中發現哪些信息 12 千克蘋果 48 元 你怎么看出 來的 生 1 從橫軸上找到 12 千克 向上找到直線上對應的點 再向左找到縱軸上的值 生 2 還能看出 40 元可以買 10 千克蘋果 生 3 還有每千克蘋果 4 元 師 學校又買來一些香蕉 哪個更貴呢 學生覺得兩幅圖像分開畫不太容易觀察 利用電腦把兩個圖像合在一起 這時 學生都認為香蕉更貴 表示香蕉購買情況的這條直線更陡一些 師 為什么直線越陡 價格就越貴 生 1 同樣的數量 比如都是 6 千克 從橫軸上 6 千克的位置向上看 香蕉的黃線在 蘋果的上面 說明香蕉的總價比蘋果的多 所以香蕉更貴 生 2 同樣的總價 比如都是 48 元 向右看可以買 10 千克香蕉或 12 千克蘋果 買 的蘋果比香蕉多 所以香蕉比蘋果貴 師 如果還買了一些橙子 我們已經知道橙子的價格比蘋果貴 你覺得這條直線應該 畫在哪里 生 3 畫在蘋果的上面 生 4 畫在香蕉的上面 生 5 畫在蘋果和香蕉之間 由此可以看出 圖像已經成為了學生分析變化關系 理解變化關系 呈現變化關系的 重要工具了 的確 圖像讓抽象的變化關系變得直觀 變得讓學生有更容易有 感覺 了 這是學生第一次接觸函數圖像 在此之前他們甚至都沒有見過圖像 不知道圖像是什 么樣的 教師應在這部分內容的教學中 大膽地為學生設計猜想 探究 實驗和驗證的活 動 讓學生有機會將已有的舊知識與新形式建立聯系 在圖像的觀察 繪制和分析中豐富 對變化的認識 讓零散的連起來 讓靜止的動起來 讓具體數變得抽象起來 這個過程就 是函數思想滲透的重要過程 3 3 利用統計圖直觀描述數據利用統計圖直觀描述數據 第二學段 標準 例 38 對全班同學的身高的數據進行整理和分析 說明 在上面的例子中 已經引導學生對全班同學的身高數據進行初步分析 在這個 學段中 要求學生結合以前積累的身高數據 進行進一步的整理 然后進行分析 整理的 目的是為了便于分析 例如 條形統計圖有利于直觀了解不同