第2課時導數與函數單調性的應用1.命題甲:對任意x(a,b),有f(x)0;命題乙:f(x)在區間(a,b)內遞增,則甲是乙的()a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充要條件d.既不充分也不必要條件答案:a2.已知函數f(x)=x3-ax-1的遞減區間是(-1,1),則a的取值范圍是()a.a3b.a0c.a=3d.a3解析:f(x)=3x2-a,由題意知-1與1是方程3x2-a=0的兩個解,所以a=3.答案:c 學 z 學 3.若函數f(x)=x3-ax2-x+6在區間(0,1)內遞減,則實數a的取值范圍是()a.1,+)b.a=1c.(-,1d.(0,1)解析:f(x)=3x2-2ax-1.f(x)在(0,1)內遞減,當x(0,1)時,f(x)0恒成立,即3x2-2ax-10恒成立.a3x2-12x=32x-12x.函數y=32x-12x在(0,1)上是增加的, 學 z 0y-f(x)恒成立.若常數a,b滿足ab,則下列不等式一定成立的是() a.af(b)bf(a)b.af(a)bf(b) 學 c.af(a)bf(b)d.af(b)-f(x),xf(x)+f(x)0, g(x)0,即g(x)在r上是增函數.又ab,g(a)g(b),即af(a)bf(b). 學 答案:b5.已知函數f(x)(xr)滿足f(1)=1,且f(x)的導函數f(x)12,則f(x)x2+12的解集為()a.x|-1x1b.x|x-1c.x|x1d.x|x1解析:構造函數g(x)=f(x)-x2-12. 學 則g(x)=f(x)-12. f(x)12,g(x)0,即g(x)在r上是減函數.g(1)=f(1)-1=0,g(x)過點(1,0)且遞減,g(x)1.答案:d 學 z 6.若函數y=-43x3+bx有三個單調區間,則b的取值范圍是.解析:若函數y=-43x3+bx有三個單調區間,則y=-4x2+b=0有兩個不相等的實數根,所以b0.答案:(0,+)7.設p:f(x)=ln x+2x2+mx+1在區間(0,+)上是增加的,q:m-4,則p是q的條件.解析:f(x)=ln x+2x2+mx+1在區間(0,+)上是增加的,可知在(0,+)上,f(x)=1x+4x+m0恒成立,而1x+4x4,當且僅當x=12時等號成立,1x+4xmin=4,故只需要4+m0,即m-4即可.故p是q的充要條件.答案:充要8.已知函數f(x)=2x2-ln x在定義域內的一個子區間(k-1,k+1)上不是單調函數,則實數k的取值范圍是. 學 解析:顯然函數f(x)的定義域為(0,+),f(x)=4x-1x=4x2-1x.由f(x)0,得函數f(x)的遞增區間為12,+;由f(x)0,得函數f(x)的遞減區間為0,12.因為函數在區間(k-1,k+1)上不是單調函數,所以k-112k+1,解得-12k32.又因為(k-1,k+1)為定義域內的一個子區間,所以k-10,即k1.綜上所述,1k32.答案:1k0,則2x3-ax20,x0,x3a2,即f(x)的遞增區間是3a2,+. 學 f(x)在2,+)上是增加的,3a22,a16.故a的取值范圍是(-,16.10.已知函數f(x)=x-(x+1)ln(x+1)(x-1).(1)求f(x)的單調區間;(2)證明:當nm0時,(1+n)m(1+m)n. z(1)解由f(x)=x-(x+1)ln(x+1),知f(x)=-ln(x+1).當-1x0;當x0時,f(x)0),則g(x)=x1+x-ln(1+x)x2=x-(1+x)ln(1+x)x2(1+x).由(1)知,f(x)=x-(1+x)ln(1+x)在(0,+)上是減少的, 故x-(1+x)ln(1+x)m0,所以g(n)g(m),得ln(1+n)nln(1+m)m,即mln(1+n)nln(1+m),故(1+n)m0知,f(x)與1-x+ex-1同號.令g(x)=1-x+ex-1,則g(x)=-1+ex-1.所以,當x(-,1)時,g(x)0,g(x)在區