初中數學總復習 第四章函數 二次函數的圖象和性質 一 二次函數的概念 1 一般的 如果y ax2 bx c a b c為常數 a 0 那么y叫做x的二次函數 注意 1 任何一個二次函數的解析式 都可以化成y ax2 bx c a b c為常數 a 0 的形式 因此把y ax2 bx c a b c為常數 a 0 叫做二次函數的一般式 2 二次函數的結構特征是 等號右邊是關于自變量x的二次多項式 知識點梳理 二 二次函數的性質和圖象 1 二次函數的圖象是一條關于 對稱的曲線 這條曲線叫拋物線 2 拋物線y ax2 bx c的幾個主要特征 開口方向 頂點 對稱軸 1 拋物線 的頂點在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2 求拋物線 3 的對稱軸 練習 4 2008 德州 若點A B C 為二次函數 的圖象上的三點 則y1 y2 y3的大小關系是 A B C D 三 二次函數圖象的畫法 五點法 其步驟 1 先根據函數解析式 求出頂點坐標和對稱軸 在直角坐標系中描出頂點M 并用虛線畫出對稱軸 2 求拋物線y ax2 bx c與坐標軸的交點 3 當拋物線與x軸有兩個交點時 描出這兩個交點A B及拋物線與y軸的交點C 4 再找到點C的對稱點D 5 將這五個點按從左到右的順序連接起來 并向上或向下延伸 就得到二次函數的圖象 當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時 描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D 由C M D三點可粗略地畫出二次函數的草圖 如果需要畫出比較精確的圖象 可再描出一對對稱點A B 然后順次連接五點 畫出二次函數的圖象 例2 已知函數 1 求其頂點坐標 對稱軸 與y軸的交點 并畫出草圖 2 由圖象指出它的增減性 當x為何值時 y有最大值或最小值 3 已知點A x1 y1 B x2 y2 且x1 x2 試判斷y1 y2的大小 四 二次函數圖象的幾何變換 1 二次函數圖象的平移二次函數圖象的平移規律 函數圖象左平移時自變量加 函數圖象右平移時自變量減 函數圖象向上平移時函數尾巴加 函數圖象向下平移時函數尾巴減 簡記為 左加右減 上加下減 最常見的有頂點式函數圖象的平移與一般式函數圖象的平移兩種 對于頂點式函數圖象的平移 應抓住兩個關鍵 平移前后函數解析式中的a值不變 找出平移后拋物線的頂點坐標 對于一般式的函數圖象的平移 通常有兩種方法 將一般式的函數解析式先化成頂點式 然后進行平移 直接將一般式的函數圖象按平移規律 函數圖象左移時自變量加 函數圖象右移時自變量減 函數尾巴加時向上移 函數尾巴減時向下移 進行平移 然后將平移后的解析式化簡 思考 將函數y x2 2x 3的圖象先向左平移 個單位再向下平移4個單位 求平移后函數圖象的解析式 2 二次函數圖象的軸對稱 思考 已知拋物線L1 y x2 4x與x軸交于A C兩點 拋物線L2與L1關于X軸對稱 求拋物線L2的解析式 常用的方法有三種 緊緊抓住對稱前后頂點的位置及拋物線開口方向的變化求解析式 通過找函數圖象上一些特殊點的對稱點求對稱后函數圖象的解析式 通常找的特殊點是拋物線的頂點以及拋物線與x軸的交點等 然后選用二次函數常見的三種形式 一般式 頂點式 交點式求解析式 對照坐標平面上的點關于x軸 y軸 對稱規律 可得到拋物線關于x軸 y軸 對稱規律 橫 x軸 對稱橫 坐標 不變 縱 坐標 為相反數 縱 y軸 對稱縱 坐標 不變 橫 坐標 為相反數 3 二次函數圖象的旋轉拋物線的旋轉中最常見的是繞其頂點旋轉180 解這類旋轉的關鍵是緊緊抓住頂點不變 開口大小不變 只是開口方向反向 思考 2010桂林 將拋物線y 2x2 12x 16繞它的頂點旋轉180 所得拋物線的解析式是 A y 2x2 12x 16B y 2x2 12x 16C y 2x2 12x 19D y 2x2 12x 20 五 函數y ax2 bx c中a b c符號與函數圖象關系 1 a決定拋物線的開口方向 a 決定拋物線的開口大小 a 越大 拋物線開口越小 2 a與b共同決定拋物線的對稱軸位置 當a與b同號時 對稱軸在y軸左側 當a與b異號時 對稱軸在y軸右側 簡記為 同左異右 3 c決定拋物線與y軸的交點位置 c 0時 拋物線與y軸的交點在原點上方 c 0時 拋物線過原點 c 0時 拋物線與y軸的交點在原點下方 4 b2 4ac決定拋物線與x軸的交點個數 當b2 4ac 0時 拋物線與x軸有兩個交點 當b2 4ac 0時 拋物線與x軸只有一個交點 當b2 4ac 0時 拋物線與x軸沒有交點 5 一些特殊代數式的符號問題 式子a b c的符號由點 1 a b c 的位置決定 式子a b c的符號由點 1 a b c 的位置決定 式子4a 2b c的符號由點 2 4a 2b c 的位置決定 式子4a 2b c的符號由點 2 4a 2b c 的位置決定 思考 二次函數y ax2 bx c的圖象如圖 則a b c的大小關系是 A a b c B a c b C a b c D a b c關系不能確定 思考 在同一坐標系內 函數y ax2 by ax b a b 的大致圖象是 思考 已知拋物線y ax2 bx c的圖象如圖 則b2 4ac 2a b abc a b c a b c 這五個代數式中 值為正的有 A 5個 B 4個 C 3個 D 2個 B 六 二次函數的最值 1 如果自變量的取值范圍是全體實數 那么函數在頂點處取得最大值 或最小值 2 如果自變量的取值范圍是 那么 首先要看是否在自變量 取值范圍x1 x x2內 若在此范圍內 則當時 若不在此范圍內 則需考慮函數在x1 x x2范圍內的增減性 如果在此范圍內 y隨x的增大而增大 則x x2時 當x x1時 如果在此范圍內 y隨x的增大而減小 則當x x1時 當x x2時 4 5 8 二次函數與一元二次方程的關系 1 方程的解也就是二次函數 圖象與x軸的交點的橫坐標 2 二次函數圖象與x軸的位置關系有三種 有兩個公共點 一個公共點 沒有公共點 這對應著一元二次方程的根的三種情況 例1 2007甘肅蘭州 二次函數y ax2 bx c圖象如圖所示 則點A ac bc 在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 x y O 例2 在直角坐標平面中 O為坐標原點 二次函數 的圖象與y軸交于點A 與x軸的負半軸交于點B 且 1 求點A與點B的坐標 例