函數的零點與方程的根 1 教學目標 1 知識與技能 理解函數 結合二次函數 零點的概念 領會函數零點與相應方程要的關系 掌握零點存在的判定條件 培養學生的觀察能力 培養學生的抽象概括能力 2 過程與方法 通過觀察二次函數圖象 并計算函數在區間端點上的函數值之積的特點 找到連續函數在某個區間上存在零點的判斷方法 讓學生歸納整理本節所學知識 3 情感 態度與價值觀 在函數與方程的聯系中體驗數學中的轉化思想的意義和價值 教學重點 難點重點 零點的概念及存在性的判定 難點 零點的確定 學法與教法1 學法 學生在老師的引導下 通過閱讀教材 自主學習 思考 交流 討論和概括 從而完成本節課的教學目標 2 教法 探究交流 講練結合 教學過程 2 一 創設情境 問題提出 1 數學文化及發展 中外歷史上的方程求解 約公元50 100年編成的 九章算術 給出了一次方程 二次方程和正系數三次方程的求根方法 11世紀 北宋數學家賈憲給出了三次及三次以上的方程的解法 3 對于數學關系式 2x 1 0與y 2x 1它們的含義分別如何 方程2x 1 0的根與函數y 2x 1的圖象有什么關系 我們如何對方程f x 0的根與函數y f x 的圖象的關系作進一步闡述 2 思考問題 思考探究 求方程 1 3x 2 0 2 x2 2x 3 0 3 x2 2x 3 0 4 lnx 2x 6 0的解 4 方程 x2 2x 1 0 x2 2x 3 0 y x2 2x 3 y x2 2x 1 函數 函數的圖象 方程的實數根 x1 1 x2 3 x1 x2 1 無實數根 函數的圖象與x軸的交點 1 0 3 0 1 0 無交點 x2 2x 3 0 y x2 2x 3 問題2求出表中一元二次方程的實數根 畫出相應的二次函數圖像的簡圖 并寫出函數的圖象與x軸的交點坐標 二 知識探究 函數零點與方程的根 5 方程ax2 bx c 0 a 0 的根 函數y ax2 bx c a 0 的圖象 判別式 b2 4ac 0 0 0 函數的圖象與x軸的交點 有兩個相等的實數根x1 x2 沒有實數根 x1 0 x2 0 x1 0 沒有交點 兩個不相等的實數根x1 x2 問題3若將上面特殊的一元二次方程推廣到一般的一元二次方程及相應的二次函數的圖象與x軸交點的關系 上述結論是否仍然成立 6 思考4 對于函數y f x 我們把使f x 0的實數x叫做函數y f x 的零點 那么函數y f x 的零點實際是一個什么數 思考5 函數y f x 有零點可等價于哪些說法 對于函數y f x 我們把使f x 0成立的實數x叫做函數y f x 的零點 零點是點還是數 7 對于函數y f x 叫做函數y f x 的零點 方程f x 0有實數根 函數的零點定義 等價關系 使f x 0的實數x 零點的求法 代數法 圖像法 8 方程的根應該是函數圖象與x軸交點的橫坐標 9 方程f x 0的實數根 函數y f x 的圖象與x軸交點的橫坐標 函數y f x 的零點 數 形 10 函數零點的求法 代數法 求方程f x 0的實數根 幾何法 對于不能用求根公式的方程 可以將它與函數y f x 的圖象聯系起來 并利用函數的性質找出零點 問題4 請畫出下列函數的簡易圖像 判斷其是否有零點 并求出其零點 11 1 函數無零點 2 x 1 3 函數無零點 練習 求下列函數的零點 1 2 三 知識探究 函數零點存在性原理 思考1 二次函數f x x2 2x 3的零點是什么 函數f x x2 2x 3的圖象在零點附近如何分布 12 觀察函數的圖象 在區間 a b 上 有 無 零點 f a f b 0 或 在區間 b c 上 有 無 零點 f b f c 0 或 在區間 c d 上 有 無 零點 f c f d 0 或 13 結論 14 思考 若函數y f x 在區間 a b 內有零點 一定能得出f a f b 0的結論嗎 15 例1 如果函數f x ax2 x 1僅有一個零點 求實數a的取值范圍 四 例題探究 16 注意 如果函數y f x 在 a b 上 圖象是連續的 并且在閉區間的兩個端點上的函數值互異即f a f b 0 且是單調函數那么 這個函數在 a b 內必有惟一的一個零點 法一 討論方程ax2 x 1 0根的情況 確定a的范圍 法二 討論函數f x ax2 x 1與x軸交點情況 確定a的范圍 法三 討論函數y1 ax2與y2 x 1只有一個交點時 確定a的范圍 由表可知 f 2 0 即f 2 f 3 0 說明這個函數在區間 2 3 內有零點 由于函數f x 在定義域 0 內是增函數 所以它僅有一個零點 用計算器或計算機作出x f x 的對應值表和圖象 4 1 3069 1 0986 3 3863 5 6094 7 7918 9 9459 12 0794 14 1972 例2 求函數f x lnx 2x 6的零點的個數 17 方法一 方法二 即求方程lnx 2x 6 0的根的個數 即求lnx 6 2x的根的個數 即判斷函數y lnx與函數y 6 2x的交點個數 如圖可知 只有一個交點 即方程只有一根 y lnx y 2x 6 五 練習檢測1 利用函數圖像判斷下列方程有沒有根 有幾個 有幾個根 x2 x 2 0 2 9 x2 6x 3 x3 3x 0 2 利用函數圖像指出函數零點所在的大致區間 1 f x x3 3x 3 2 f x 2xln x 2 3 3 f x ex 4x 19 利用零點存在定理函數f x lnx 2x 6在定義域 0 上連續且單調遞增 f 1 40 且f 2 f 3 0 所