第十章感應電機的動態分析與矢量控制 第一節三相坐標系中感應電機的動態方程第二節坐標變換與空間矢量第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型第四節三相感應電動機起動過程的動態分析第五節感應電動機的矢量控制 第一節三相坐標系中感應電機的動態方程 建立三相感應電機動態數學模型時的假設 忽略空間諧波 各繞組產生的磁動勢在空間上正弦分布 不考慮磁路飽和 并忽略鐵耗 各繞組的自感和互感均與繞組內的電流大小無關 定 轉子表面光滑 不計齒槽的影響 不考慮頻率和溫度變化對繞組電阻的影響 三相感應電機物理模型三相感應電機物理模型如圖10 1所示 正方向規定規定各繞組電壓 電流 磁鏈等的正方向符合電動機慣例 第一節三相坐標系中感應電機的動態方程 一 電壓方程二 磁鏈方程三 轉矩方程和機械運動方程四 三相坐標系中感應電機的動態數學模型 三相坐標系中感應電機的動態方程由電壓方程 磁鏈方程 轉矩方程和機械運動方程組成 一 電壓方程 三相轉子繞組的電壓方程為 一 電壓方程三相定子繞組的電壓平衡方程為 10 1 10 2 一 電壓方程 或簡寫成 將電壓方程寫成矩陣形式 并以微分算子p代替符號d dt有 10 3 10 3a 二 磁鏈方程 或寫成 二 磁鏈方程每個繞組的磁鏈都是它本身的自感磁鏈和其它繞組對它的互感磁鏈之和 因此六個繞組的磁鏈可表達為 10 4 10 4a 二 磁鏈方程 轉子各繞組的自感和互感為 定子各繞組的自感和互感為 10 8 10 9 10 10 10 11 定 轉子繞組之間的互感為 10 12 10 13 10 14 二 磁鏈方程 式中 將式 10 8 10 14 代入式 10 4 可得完整的磁鏈方程 常寫成分塊矩陣的形式 10 15 10 16 二 磁鏈方程 值得注意的是 Lrs和Lsr兩個分塊矩陣互為轉置 且均與轉子位置角 有關 它們的元素都是變參數 這是系統非線性的一個根源 10 17 10 18 二 磁鏈方程 其中 Ldi dt項是由于電流變化引起的感應電動勢 L i項是由于定 轉子相對位置變化產生的與轉速成正比的旋轉電動勢 10 19 如果把磁鏈方程代入電壓方程 可以得到展開后的電壓方程 三 轉矩方程和機械運動方程 考慮到機械位移角 m pn pn為電機的極對數 則有 三 轉矩方程和機械運動方程根據機電能量轉換原理 若整個電機內的磁共能為W 則電磁轉矩Te應當等于磁共能對轉子機械角位移 m的偏導數 電流恒定時 在線性電感的條件下 磁共能為 10 20 10 21 三 轉矩方程和機械運動方程 代入式 10 21 得 又考慮到 10 22 10 22a 將式 10 18 代入式 10 22 并展開 得 系統的機械運動方程為 10 23 四 三相坐標系中感應電機的動態數學模型 這是一組變系數非線性微分方程 在用數值法求解時常寫成狀態方程的標準形式 四 三相坐標系中感應電機的動態數學模型匯總上述電壓方程 10 19 磁鏈方程 10 15 運動方程 10 23 和轉矩方程 10 21 或 10 22 再結合角速度方程 d dt 即得到三相坐標系中感應電機的動態數學模型 用微分方程表示為 10 24 四 三相坐標系中感應電機的動態數學模型 式中 x和分別為狀態向量及其對時間的導數 v為輸入向量 A為系統矩陣 B為控制矩陣 寫成矩陣形式時為 10 25 10 26 四 三相坐標系中感應電機的動態數學模型 10 27 10 28 第二節坐標變換與空間矢量 一 坐標變換基礎1 線性變換與功率不變約束2 坐標變換與電機繞組等效二 空間矢量三 坐標變換1 三相靜止坐標系與兩相任意旋轉坐標系的坐標變換2 常用坐標系和坐標變換3 滿足功率不變約束的坐標變換 一 坐標變換基礎 一 坐標變換基礎所謂坐標變換就是將方程中的一組變量用一組新的變量來代替 或者說用新的坐標系去替換原來的坐標系 以便使分析 計算得以簡化 若新 舊變量之間為線性關系 則變換為線性變換 電機分析中用到的坐標變換都是線性變換 以前述感應電機動態方程為例 在轉速恒定的情況下 通過適當的坐標變換 可以將原來坐標系下含有時變系數的電感矩陣變成常數陣 相應的電壓方程變成常系數微分方程 使解析求解得以實現 一 坐標變換基礎 線性變換與功率不變約束設有一線性電路 其電壓方程的矩陣形式為 10 29 現進行坐標變換 將原有的電壓u 電流i變換成新的電壓u 和電流i 設電壓變換矩陣為Cu 電流變換矩陣為Ci 理論上電壓和電流可以采用不同的變換矩陣 即Cu和Ci可以不同 但在電機分析中 通常取Cu和Ci為同一矩陣C 于是有 10 30 10 31 一 坐標變換基礎 為使原變量與新變量之間存在單值對應關系 變換矩陣C必須是方陣 且其行列式的值必須不等于零 這樣逆矩陣C 1才能存在 根據式 10 29 10 31 用新變量表示時的電壓方程為 10 33 10 32 式中 z 為變換后的阻抗矩陣 矩陣C u i中的元素可以是實數 實變量 也可以是復數 復變量 下面僅以它們為實數 實變量 為例來討論坐標變換的功率不變約束 一 坐標變換基礎 變換前輸入 或輸出 電路的瞬時功率為 變換后的瞬時功率為 10 35 10 34 若要保證變換前后功率不變 則應有 將式 10 30 10 31 代入式 10 34 可得 10 36 10 37 一 坐標變換基礎 欲滿足式 10 36 必須使上式中 其中 I為單位矩陣 即應有 10 39 10 38 滿足式 10 39 的變換稱為正交變換 需要說明的是 坐標變換不一定要滿足功率不變約束 若變換前后功率不守恒 只需在計算功率和電磁轉矩時引入相應的系數進行修正即可 目前廣泛應用的派克 Park 變換就是功率不守恒的坐標變換 一 坐標變換基礎 2 坐標變換與電機繞組等效從物理意義上看 電機分析中的坐標變換可以看作電機繞組的等效變換 進行坐標變換的目的是使方程簡化 三相坐標系中電機動態方程復雜的主要原因在于 由于三相繞組非正交 三相定子繞組之間及三相轉子繞組之間存在復雜的耦合關系 同時由于定 轉子繞組有相對運動 使定 轉子繞組間的互感隨著時間變化 為了簡化方程 可以設想用兩相正交繞組代替 或等效 三相定 轉子繞組 這樣就可以消除定子繞組之間及轉子繞組之間的互感 如果進一步使定 轉子繞組相對靜止 例如將轉子繞組用靜止繞組等效 則定 轉子繞組間的互感將變為常數 從而使微分方程大為簡化 一 坐標變換基礎 在感應電機中 最重要的就是旋轉磁場的產生 以定子繞組為例 不管繞組的具體結構和參數如何 只要其產生磁場的空間分布 轉速 轉向相同 它與轉子的相互作用情況就相同 即在轉子中產生感應電動勢 電流及電磁轉矩的情況相同 也就是說從轉子側只能看到定子繞組產生的磁場 而看不到產生磁場的定子繞組本身 對轉子繞組有同樣的結論 從定子側只能看到轉子繞組產生的磁場 而看不到轉子繞組的具體結構 因此 從產生磁場的角度看 不同結構形式或參數的繞組是可以相互等效的 在感應電機分析中通常將籠型轉子等效成繞線轉子進行分析 計算也正是基于這一點 一 坐標變換基礎 三相靜止繞組 兩相靜止繞組和兩相旋轉繞組間的等效 可見 以產生同樣的旋轉磁動勢為準則 三相靜止繞組 兩相靜止繞組和兩相旋轉繞組可以彼此等效 從坐標變換的角度看 就是三相靜止坐標系下的iA iB iC和兩相靜止坐標系下的i i 以及兩相旋轉坐標系下的id iq可以相互等效 它們之間準確的等效關系 就是坐標變換關系 圖10 2交流電機的繞組等效 二 空間矢量 二 空間矢量空間矢量的概念在交流電機分析與控制中具有非常重要的作用 將各相的電壓 電流 磁鏈等電磁量用空間矢量表達 可以使三相感應電機的動態方程表達更簡潔 為電機的分析與控制帶來方便 并有助于對交流電機的矢量控制 直接轉矩控制 PWM方法中電壓空間矢量調制 SVPWM 等問題的理解 特別是利用空間矢量的概念可以方便地確定不同坐標系間的變換系數 即變換矩陣C 實現不同坐標系間的坐標變換 二 空間矢量 空間矢量的基本概念我們知道 在空間按正弦規律分布的物理量可以用空間矢量表示 并按矢量運算法則進行運算 交流電機中 若某相繞組x通以電流ix 在忽略空間諧波的條件下 該相繞組產生的磁動勢在空間按正弦分布 可用空間矢量Fx表示 矢量的長度表示基波磁動勢的幅值Fx 矢量所在的位置和方向表示磁動勢正波幅所在的位置和方向 對單相繞組而言 由于其基波磁動勢幅值位置固定在繞組軸線上 故相應的矢量Fx在矢量圖中的位置固定不變 始終在繞組軸線上 只是矢量的長度隨時間變化 方向時而正 時而負 二 空間矢量 在三相交流電機中 定子為三相對稱繞組 其軸線分別為A B C 在空間互差120 若繞組電流分別為iA iB iC 它們產生的基波磁動勢用空間矢量表示分別為FA FB FC 如圖10 3所示 將三個磁動勢矢量按矢量運算法則相加 可以得到一個新矢量F 有 10 40 F代表了三相繞組的基波合成磁動勢 F的長度對應于三相合成磁動勢的幅值F F的空間位置與三相基波合成磁動勢幅值在空間的位置一致 考慮到交流繞組基波磁動勢幅值Fx與電流ix之間的關系為 二 空間矢量 式 10 43 表明 雖然三相電流iA iB iC不是在空間按正弦規律分布的空間正弦量 而是時間變量 它們也可以用位于各相繞組軸線上長度等于該相電流瞬時值的空間矢量表示 并按矢量運算法則運算 10 41 式中 則式 10 40 可以寫成 式中 10 42 10 43 二 空間矢量 從物理意義上看 電流矢量iA iB iC分別代表了各相電流產生的磁動勢矢量FA FB FC 相應地其合成矢量i 代表的是三相合成磁動勢F i 的空間位置對應于合成磁動勢基波幅值的空間位置 i 的長度i 與合成磁動勢的幅值F成正比 由于合成磁動勢F綜合反映了三相繞組的磁動勢FA FB FC 由此不難理解 電流合成矢量i 可以綜合反映三相電流iA iB iC的瞬時值 因此 我們可以以合成矢量i 為基礎 通過引入系數k 定義一個新的電流矢量i ki 稱為電流綜合空間矢量 簡稱電流綜合矢量或電流空間矢量 系數k可以取不同的值 相應地綜合矢量有不同的定義方法 二 空間矢量 i 在A B C軸線上的投影按照矢量運算法則 i 在A相繞組軸線的投影i A應為iA iB iC三個矢量在A軸投影的代數和 即 10 44 式中 i0稱為零軸分量或零序分量 10 45 同理可得i 在B C軸的投影分別為 二 空間矢量 由式 10 44 10 47 可知 若三相繞組為中性點隔離的Y聯接 則iA iB iC 0 i0 0 i 在三相繞組軸線的投影分別為3iA 2 3iB 2 3iC 2 比各繞組的實際電流大了3 2倍 鑒于此 為了方便 在三相系統中常將綜合矢量定義中的系數k取為2 3 即有 10 46 10 47 10 48 二 空間矢量 這樣 在iA iB iC 0的前提下 i在三相繞組軸線的投影即為iA iB iC 若iA iB iC 0 則i在三相繞組軸線的投影iA iB iC 分別為扣除零軸分量后的三相電流瞬時值 即有 10 49 式 10 49 實際上意味著綜合矢量i及合成矢量i 中不含有零軸分量的信息 從物理概念上講 零軸分量是三相電流中的零序分量 在三相對稱系統中 零序電流不產生合成氣隙磁動勢 而從數學的角度看 確定綜合矢量i只需要兩個獨立變量 故不可能與三個獨立變量iA iB iC建立一一對應的關系 二 空間矢量 因此 iA iB iC 中只有兩個獨立變量 可以與合成矢量i 或綜合矢量i建立一一對應的關系 但扣除零軸分量后的三相電流iA iB iC 情況有所不同 由式 10 49 和式 10 45 可知 綜合前述分析 可以得到如下結論 而i 或i在三相軸線A B C的投影即為扣除零軸分量后的三相電流瞬時值iA iB iC 二 空間矢量 兩相坐標系中的綜合矢量類似地可以在兩相坐標系中定義綜合矢量 如圖10 4所示 有兩相對稱繞組x y 其軸線分別為x和y 在空間互差90 電角度 繞組電流分別為ix iy 相應的空間矢量為ix iy 則ix iy的矢量和i為 10 52 即為兩相系統中的電流綜合空間矢量 從物理意義上看 i代表了兩相繞組產生的氣隙合成磁動勢 在兩相系統中 由于坐標軸正交 矢量i與兩相電流ix iy之間存在簡單的對應關系 不需進一步處理 二 空間矢量 其他電磁量的綜合矢量同理 其它時間變量 如電壓u 磁鏈 等均可以用空間矢量表示 其綜合矢量的定義與式 10 48 或 10 52 相同 只需將其中的變量 i 換成 u 或 即可 也就是說 電機的定 轉子電壓 電流 磁鏈 磁動勢 電動勢 磁通 磁密等電磁量均可以用空間矢量表示 這些矢量有些在空間上實際存在 如磁動勢 磁密等 有些在空間上不存在 但代表著實際存在的矢量 如定 轉子電流矢量代表著實際存在的定 轉子磁動勢矢量 還有一些矢量在空間不存在 也不代表實際存在的矢量 僅僅是一種數學處理 如電壓 電動勢 磁鏈等 二 空間矢量 空間矢量的復數表示為了便于進行數學運算 空間矢量常用復數表示 在三相系統中常取A軸為實軸 虛軸領先實軸以90 電角度 則A B C軸上的單位矢量a b c 為了表示方便 常令a 則a a0 b a c a2 綜合矢量i可以表示為 10 53 也可以表示為 10 54 二 空間矢量 根據式 10 1 式 10 2 若將三相坐標系中感應電機的定 轉子電壓 電流 磁鏈均用空間矢量表示 則其定 轉子電壓方程可以寫成如下形式的矢量方程 10 55 需要注意的是 電壓 電流等時間量的空間矢量不同于電機穩態分析中的時間相量 但穩態時各時間量的綜合空間矢量與它們的時間相量相對應 可以相互轉換或代替 10 56 三 坐標變換 三 坐標變換1 三相靜止坐標系與兩相任意旋轉坐標系的坐標變換 圖10 5給出了三相靜止坐標系A B C和兩相任意旋轉坐標系x y 在圖示時刻 x軸超前A軸 角 利用綜合矢量進行坐標變換的原則是 變換前后所產生的綜合矢量保持不變 這樣 對于電流的變換來講 從物理概念看可以使變換前后的合成磁動勢保持確定的比例關系 通過適當選擇兩相系統與三相系統繞組的匝數比 可以保持變換前后合成磁動勢不變 三 坐標變換 按上述原則 兩相系統中電流ix iy形成的電流綜合矢量i也就是三相系統中的等效電流iA iB iC的綜合矢量 而在三相系統中電流綜合矢量i在A B C軸的投影是相電流扣除零軸分量后的電流瞬時值i A i B i C 因為i ix iy 根據矢量運算法則 i在某相繞組軸線上的投影應等于其分矢量ix iy在該軸上的投影的代數和 因此有 10 57 圖10 5 三 坐標變換 考慮零軸分量 并寫成矩陣形式 兩相任意旋轉坐標系到三相坐標系的變換關系為 10 59 其逆變換為 10 58 三 坐標變換 上述三相系統與兩相系統的坐標變換常稱為派克 Park 變換 在Park變換中 C3s 2r C2r 3s 1 C2r 3sT 因此不滿足功率不變約束 式 10 58 和式 10 59 的坐標變換關系不限于三相靜止坐標系到兩相旋轉坐標系的變換 也可用于三相旋轉坐標系到某兩相坐標系的變換 只要 為相應時刻x軸與A軸的夾角即可 這一點也適用于下面討論的其它坐標變換關系 三 坐標變換 2 常用坐標系和坐標變換 1 兩相靜止坐標系 0坐標系若上述x y坐標系在空間靜止不動 且x軸與A軸重合 即 0 如圖10 6所示 則為兩相靜止坐標系 常稱為 坐標系 考慮到零軸分量 也稱為 0坐標系 從三相靜止坐標系到兩相靜止坐標系的變換稱為三相 兩相變換 簡稱3 2變換 由式 10 59 可得 10 60 三 坐標變換 令C3 2表示從三相靜止坐標系到兩相靜止坐標系的變換矩陣 則 相應地 從兩相坐標系到三相坐標系的變換矩陣為 10 61 10 62 三 坐標變換 在實際應用中 上述坐標變換關系常可進一步簡化 例如 在交流調速系統中 交流電機通常為中性點隔離的三相星型連接 Y接 有iA iB iC 0 則i0 0 因此可將零軸分量去掉 同時 由于三相電流中只有兩相獨立 三相系統中的電流可以只用iA iB表達 而將C相電流用iC iA iB 代入 相應的坐標變換關系簡化為 10 63 10 64 三 坐標變換 2 兩相旋轉坐標系 dq0坐標系若上述x y坐標系在空間旋轉 且其x軸為電機某轉子繞組軸線 稱為d軸 相應地y軸改稱q軸 這樣的兩相坐標系稱為dq坐標系 或dq0坐標系 其中 0 表示零軸分量 由式 10 58 和式 10 59 dq0坐標系與ABC坐標系之間的坐標變換關系為 10 65 10 66 三 坐標變換 式中 dt 0 為t時刻d軸超前A軸的電角度 為轉子的轉速 0為t 0時刻d軸領先A軸的電角度 在交流電機分析與控制中 也常使dq0坐標系與電機的某旋轉磁鏈 磁場 同步旋轉或以電源基波角頻率旋轉 由于此時dq0坐標系的轉速為同步速 故稱為兩相同步旋轉坐標系 三 坐標變換 3 坐標系與dq坐標系間的坐標變換在交流電機控制中 常需在兩相靜止坐標系 和兩相旋轉坐標系dq之間進行變換 兩相靜止坐標系到兩相旋轉坐標系的變換 稱作兩相 兩相旋轉變換或矢量旋轉變換 簡稱旋轉變換 常用VR表示 或2s 2r變換 利用綜合矢量的概念 由圖10 7易得 10 67 10 68 兩相靜止坐標系到兩相旋轉坐標系的變換矩陣為 三 坐標變換 兩相旋轉坐標系到兩相靜止坐標系的變換為 10 69 10 70 相應的變換矩陣 三 坐標變換 3 滿足功率不變約束的坐標變換前面討論的三相坐標系與兩相坐標系之間的坐標變換 Park變換 不滿足功率不變約束 變換前后功率不守恒 以ABC到dq0的變換為例 變換前的三相電壓為uA uB uC 電流為iA iB iC 相應的三相瞬時功率為 10 71 變換后在dq0坐標系中的電壓為ud uq u0 電流為id iq i0 功率為 10 72 三 坐標變換 根據式 10 65 的坐標變換關系 將ABC系統中的電壓 電流用dq0坐標系中的量表達 代入式 10 71 并整理 得 10 73 顯然 p3 p2 10 74 為了使變換前后功率不變 可以作如下變量代換 令 三 坐標變換 代入式 10 73 則 10 75 考慮到ABC到dq0的變換關系式 10 66 id iq i0 與iA iB iC的變換關系為 10 76 電壓ud uq u0 與uA uB uC的變換關系同上 三 坐標變換 式 10 76 即為滿足功率不變約束的坐標變換 將式 10 76 寫成矩陣形式 并去掉上角標 得 10 77 滿足功率不變約束的三相靜止坐標系到兩相旋轉坐標系的變換矩陣為 10 76a 三 坐標變換 其逆變換 10 79 C2r 3s為滿足功率不變約束的兩相旋轉坐標系到三相靜止坐標系的變換矩陣 10 78 由式 10 79 和式 10 77 可知 C2r 3s C3s 2r 1 C3s 2rT 是正交變換 滿足功率不變約束條件 三 坐標變換 令式 10 77 式 10 79 中的 0 可得滿足功率不變約束的三相靜止坐標系與兩相靜止坐標系之間的變換矩陣 10 81 10 80 三 坐標變換 10 82 滿足功率不變約束的正交變換的變換關系也可以由綜合矢量導出 只是由式 10 74 可知 正交變換與Park變換相比 其d q坐標軸中的兩相電壓 電流均增大了倍 這意味著其綜合矢量的長度應比Park變換中增大倍 由式 10 48 與正交變換相對應的三相坐標系中綜合矢量的系數應由2 3擴大倍 變成 即對應于正交變換 三相坐標系中電流綜合矢量應定義為 三 坐標變換 Park變換和滿足功率不變約束的變換 正交變換 各有特色 Park變換的最大特點是 在零軸分量為零的條件下 某物理量 如電流 綜合矢量在三相繞組軸線上的投影即為該量的瞬時值 而在正交變換中 由于綜合矢量的長度擴大了倍 故其在三相繞組軸線上的投影不等于該量的瞬時值 而是放大了倍 目前 Park變換與正交變換應用都十分廣泛 閱讀有關文獻時要注意區分 本教材后面的討論中將采用正交變換 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 概述一 兩相任意旋轉坐標系中的數學模型二 兩相靜止坐標系 坐標系 上的動態數學模型三 兩相同步旋轉坐標系上的動態數學模型四 兩相坐標系上的狀態方程 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 概述 前面建立的三相坐標系上的感應電機動態數學模型十分復雜 其中一個主要原因是三相繞組之間存在互感 使電感矩陣比較復雜 如果通過坐標變換 將其變換到兩相坐標系上 由于坐標軸互相垂直 意味著等效兩相繞組正交 兩繞組間的互感為零 從而可以使方程得以簡化 兩相坐標系可以是靜止的 也可以是旋轉的 在本節討論中 我們首先建立以任意轉速旋轉的兩相坐標系中的數學模型 進而導出兩相靜止坐標系和兩相同步旋轉坐標系中感應電機的動態數學模型 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 一 兩相任意旋轉坐標系中的數學模型在這里 兩相任意旋轉坐標系用dq 或dq0 表示 我們前面建立的三相坐標系上的數學模型中 定子邊的量處于三相靜止坐標系 而由于轉子是三相旋轉繞組 因此未加變換的三相轉子變量是三相旋轉坐標系中的量 為建立兩相任意旋轉坐標系上的數學模型 應把定子和轉子的電壓 電流 磁鏈都變換到dq0坐標系 變換后的定子各量用下角標 s 表示 轉子各量用下角標 r 表示 1 電壓方程采用滿足功率不變約束的坐標變換 由式 10 76 和式 10 77 可得 定子電壓 電流和磁鏈的變換關系分別為 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 將式 10 1 三相靜止坐標系 ABC 上的電壓方程寫成矩陣形式為 10 83 10 84 10 85 將式 10 86 代入式 10 83 得 10 86 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 由式 10 78 得 10 87 10 88 則 10 89 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 由式 10 79 對C2r 3s各元素求導得 10 90 10 91 將式 10 89 式 10 90 代入式 10 87 整理得 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 令d dt dqs 為dq0坐標系相對于定子的角速度 則 10 92 10 93 同理 變換后的轉子電壓方程為 式中 dqr為dq0坐標系相對于轉子的角速度 設轉子轉速為 則 10 94 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 2 磁鏈方程將三相定子磁鏈 A B C變換到dq0坐標系是三相靜止坐標系到兩相旋轉坐標系的變換 設某時刻d軸領先A軸 s角 則其變換關系如式 10 85 所示 其中 10 95 將轉子磁鏈 a b c變換到dq0坐標系的 rd rq r0是從旋轉的三相坐標系abc到dq0的變換 變換矩陣可以寫作C3r 2r C3r 2r在形式上與C3s 2r相同 只是 角應為d軸與轉子a軸的夾角 r 即有 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 10 97 則總的磁鏈變換式為 10 96 10 98 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 10 99 由式 10 15 得 10 100 注意 電感矩陣Lsr Lrs中的 角為轉子a軸領先定子A軸的角度 因此有 s r 而電流iA iB iC與isd isq is0的變換關系為 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 10 101 ia ib ic與ird irq ir0的坐標變換關系為 10 102 將式 10 99 10 101 代入式 10 98 得 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 分塊矩陣中的各元素如下 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 同理 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 10 103 則dq0坐標系上的磁鏈方程為 式中 Lm為dq坐標系中位于同一坐標軸上的定子與轉子等效繞組間的互感 Ls為dq坐標系定子等效兩相繞組的自感 Lr為dq坐標系轉子等效兩相繞組的自感 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 3 轉矩方程根據式 10 22a 得三相坐標系上的轉矩方程為 10 104 零軸分量在化簡過程中完全抵消了 即零軸分量不產生電磁轉矩 將式 10 100 和式 10 101 代入上式 并考慮到 s r 經過化簡 可得dq0坐標系上的轉矩公式為 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 由電壓方程 10 92 10 93 和磁鏈方程 10 103 可見 零軸分量是獨立的 與dq軸分量之間無相互影響 也不產生電磁轉矩 即其不參與機電能量轉換 因此在兩相坐標系中通常不考慮零軸分量 其實在許多應用中零軸分量為零 即使其不為零 由于它與d q軸分量無相互影響 如果有必要可以單獨列方程予以處理 若采用Park變換 所得的電壓方程 磁鏈方程均與前述相同 轉矩方程中應有一個3 2的系數 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 二 兩相靜止坐標系 坐標系 上的動態數學模型兩相靜止坐標系 上的數學模型是兩相任意旋轉坐標系的數學模型當轉速為零時的特例 在兩相任意旋轉坐標系數學模型中 令 dqs 0 相應地 dqr 將下角標d q改成 并不計零軸分量 根據式 10 92 和式 10 93 可得 坐標系上的電壓方程為 10 105 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 由式 10 103 得 坐標系上的磁鏈方程為 10 106 或寫成 10 106a 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 把式 10 106 代入式 10 105 電壓方程變為 10 107 由式 10 104 坐標系上的電磁轉矩為 10 108 上述方程加上機械運動方程式便是 坐標系上感應電機的動態數學模型 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 圖10 9為變換到 坐標系后的三相感應電機物理模型 原本靜止的三相定子繞組A B C可等效為兩相靜止繞組 s s 原本旋轉的三相轉子繞組a b c 從產生磁場的角度也可以等效為空間靜止的兩相繞組 r r 值得注意的是 r r繞組不同于真正的靜止繞組 會產生速度電動勢項 故稱為偽靜止繞組 偽靜止繞組具有以下兩個特點 一方面繞組中的電流產生在空間靜止的磁場 磁動勢 另一方面除了因磁場變化在繞組中產生變壓器電動勢外 還會由于繞組導體旋轉而在繞組中產生速度電動勢 仔細回顧一下直流電機電樞繞組的電動勢和磁動勢 不難發現 直流電機的電樞繞組就是偽靜止繞組 因此偽靜止繞組是類似直流電機電樞繞組的帶換向器的旋轉繞組 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 三 兩相同步旋轉坐標系上的動態數學模型在兩相任意旋轉坐標系上的數學模型中 令坐標系的轉速 dqs等于同步角速度 1 相應地 dq坐標系相對于轉子的轉速 dqr 1 s 即轉差角速度 在不考慮零軸分量的情況下 兩相同步旋轉坐標系上的動態方程如下 電壓方程為 10 109 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 磁鏈方程為 10 110 或寫成 10 110a 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 將式 10 110 代入式 10 109 并寫成矩陣形式 得到同步dq坐標系上的電路方程式為 10 111 轉矩方程式為 10 112 上述方程加上機械運動方程式便是同步dq坐標系上感應電機的動態數學模型 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 注意 在兩相同步旋轉的dq坐標系中 等效的兩相定 轉子繞組軸線均固定在d q軸上 與dq坐標系相對靜止 是dq坐標系上的靜止繞組 而實際電機的三相定 轉子繞組相對于dq坐標系均有相對運動 即對于dq坐標系來講都是旋轉繞組 轉速分別是 1和 s 故dq坐標系中的定 轉子繞組均為偽靜止繞組 電壓方程中都含有速度電動勢項 由以上分析可見 感應電機的動態數學模型經坐標變換變換到兩相坐標系dq 或 后 原來是轉角 的函數的繞組電感全部變成了常量 而且由于dq軸 或 軸 相互垂直 兩軸線上的繞組間無互感 電感矩陣及相應的磁鏈方程大為簡化 從而使電壓方程和轉矩公式得以簡化 特別是在轉速為恒值的情況下 電壓方程變成了常系數線性微分方程 可以很方便地求解 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 四 兩相坐標系上的狀態方程三相感應電機在三相坐標系上的狀態方程是8階方程 其中6階電壓方程 1階運動方程和1階轉角方程 由前述兩相坐標系中的動態方程可見 如果不計零序分量 兩相坐標系上的電壓方程為4階 加上1階運動方程 其狀態方程降為5階 由于電感矩陣與轉角 無關 轉角方程可以不必列于聯立求解的微分方程組 感應電機的狀態方程可以建立在不同的兩相坐標系上 而且狀態變量也有不同的選取方法 除了轉速作為必選的狀態變量外 其余4個狀態變量可以在兩相定子電流 兩相轉子電流 兩相定子磁鏈 兩相轉子磁鏈這4組變量中任意選取兩組 以下僅給出兩個例子 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 1 兩相靜止坐標系上以定 轉子電流和轉速為狀態變量的狀態方程 將兩相靜止坐標系上的磁鏈方程式 10 106 代入式 10 105 的電壓方程 并寫成矩陣形式 有 10 113 式中 10 114 10 115 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 則運動方程可以寫為 10 116 不難證明 式 10 108 的轉矩公式可以用電流向量i和旋轉電感矩陣G表達 有 10 117 10 118 由式 10 113 和式 10 118 得到以定 轉子電流和轉速為狀態變量的狀態方程為 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 式中 10 119 或寫成 10 120 10 121 10 122 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 2 兩相任意旋轉坐標系上以定子電流 轉子磁鏈和轉速為狀態變量的狀態方程 不計零序分量時 感應電機在兩相任意旋轉坐標系上的電壓方程和磁鏈方程為 10 123 10 124 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 為得到以定子電流isd isq和轉子磁鏈 rd rq表達的狀態方程 須消去式 10 123 中的轉子電流ird irq和定子磁鏈 sd sq 由式 10 124 第3 4行可得 將上式代入式 10 124 第1 2行 可得 10 125 10 126 式中 為電機的漏磁系數 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 將式 10 125 代入式 10 104 可得用定子電流和轉子磁鏈表達的轉矩公式為 將式 10 125 和式 10 126 代入式 10 123 再將式 10 127 代入運動方程式 10 23 經整理后的狀態方程為 10 127 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 在式 10 128 中 若將 dqs換成兩相同步旋轉坐標系的轉速 1 則上述方程就成為兩相同步坐標系中的狀態方程 10 128 第三節兩相坐標系中感應電機的動態數學模型 在式 10 128 中 若將 dqs 0 則兩相任意旋轉坐標系退化為兩相靜止坐標系 將各量的下標d q換成 則兩相靜止坐標系中的狀態方程為 10 129 第四節三相感應電動機起動過程的動態分析 在起動過程中 三相感應電動機的轉速在短時間內大范圍變化 不論在三相坐標系還是兩相坐標系中其動態方程都是非線性的 一般須用數值法和計算機求解 用數值法求解感應電動機的起動性能時 可以采用三相坐標系中的狀態方程 也可以采用兩相坐標系中的狀態方程 在本節中 作為例子給出了一個用MATLAB語言編寫的基于三相坐標系狀態方程的感應電動機起動過程動態計算程序 起動過程中定子A相電流iA t 轉速和轉矩隨時間的變化曲線n t 和Te t 起動過程中的轉矩 轉速曲線Te f n 如圖10 10所示 第四節三相感應電動機起動過程的動態分析 由圖10 10可見 在電機投入電網的最初階段 轉矩是振蕩性的 相應地轉速也隨著波動 該振蕩隨著時間的推移逐步衰減 因此起動過程中的動態轉矩 轉速曲線與穩態T s曲線存在明顯不同 此外 通過進一步的仿真計算發現 對于大型感應電動機 在起動過程后期轉子的轉速可能會超過同步轉速 經過一段衰減振蕩才最后達到穩態運行點 對于實例中的2 2kW電機 圖10 10的仿真結果是在假定電機為理想空載 負載轉矩和旋轉阻力系數都為零 的情況下得到的 因此在圖10 10b和d中也出現了轉速超過同步速的情況 但振蕩現象不明顯 對于這種小型電機 只要略加負載 起動過程一般就不會出現轉速超過同步速的振蕩現象 讀者可利用上述動態計算程序對此進行驗證 第五節感應電動機的矢量控制 概述一 矢量控制的基本概念二 按轉子磁場定向的感應電動機矢量控制原理三 轉子磁鏈計算模型四 感應電動機矢量控制系統 第五節感應電動機的矢量控制 概述 感應電機的穩態分析中介紹了感應電動機的調速 感應電動機調速方法較多 變壓 變極 變頻以及繞線式感應電動機轉子回路串電阻或串入附加電動勢 串級調速或雙饋調速 都可以調節電機的轉速 但多年來的研究和實踐表明 變頻調速是感應電動機最理想的調速方法 基于感應電動機穩態模型的恒壓頻比控制或電壓 頻率協調控制 雖能在一定轉速范圍內實現高效率的平滑調速 從而滿足一般生產機械對調速系統的要求 但由于電機內在的耦合效應 系統動態響應緩慢 對于需要高動態性能的應用場合 就不能滿足要求 要實現高動態性能的調速系統或伺服系統 必須依據感應電機的動態數學模型來設計控制系統 在各種基于動態數學模型的交流調速方法中 目前應用最廣泛的是矢量控制 一 矢量控制的基本概念 一 矢量控制的基本概念前面直流調速部分曾講過 對動態過程中的轉矩控制是決定動態性能的關鍵 轉矩控制是運動控制的根本問題 采用電壓 頻率協調控制的感應電動機變頻調速系統 由于內部存在復雜的耦合關系 無法對感應電機的動態轉矩進行有效控制 因此就動態性能而言與直流調速系統相比存在明顯差距 直流電動機的轉矩控制我們知道 在他勵直流電動機中 電磁轉矩 一 矢量控制的基本概念 式中 磁通 由勵磁電流if產生 若電刷置于幾何中性線上 則電樞電流ia產生的電樞反應磁場與勵磁電流產生的主磁場在空間相互垂直 當磁路為線性時 磁通 和電樞電流ia可分別由勵磁回路和電樞回路獨立地進行控制 當保持磁通 恒定時 通過對電樞電流ia的控制 就可以實現對動態轉矩的控制 從而決定了他勵直流電動機具有優良的動態性能 感應電動機的轉矩控制而感應電動機的情況卻要復雜得多 感應電動機的電磁轉矩可用氣隙合成磁場的磁通量 m和轉子電流的有功分量來表示 10 130 一 矢量控制的基本概念 可見 電磁轉矩Te除了與 m I2有關之外 還與轉子回路的功率因數角 2有關 而且這幾個量都與轉子頻率f2 sf1 有關 是相互影響的 此外 感應電動機的轉子繞組通常是短路的 轉子電流I2不能直接控制 而且感應電動機沒有獨立的勵磁繞組 其氣隙磁通 m是由定子電流中的勵磁分量產生的 而定子電流中的負載分量與轉子電流I2相平衡 也就是說在感應電機中建立磁場的無功分量與產生轉矩的有功分量都是由定子繞組提供的 兩者糾纏在一起 且均與負載有關 存在強耦合 因此要在動態過程中準確地控制感應電動機的電磁轉矩就顯得十分困難 20世紀70年代初德國學者Blaschke等提出的矢量控制理論為解決這一問題提供了一套行之有效的方法 一 矢量控制的基本概念 矢量控制的基本思想借助于前述坐標變換 把實際的三相交流電機等效到兩相旋轉坐標系中 通過適當選擇這一兩相旋轉坐標系 可以使感應電動機在該坐標系中具有與直流電機相似的轉矩公式 而且定子電流可以實現解耦 一個用于產生有效磁場 相當于直流電機的勵磁電流 稱為定子電流的勵磁分量 另一個相當于直流電機的電樞電流 用于產生 控制 轉矩 稱為定子電流的轉矩分量 這樣 如果觀察者站在該兩相坐標系上與坐標系一起旋轉 他所看到的就是一臺直流電動機 可以象直流電動機一樣進行控制 從而使感應電動機調速系統具有直流調速系統相似的動態性能 二 按轉子磁場定向的感應電動機矢量控制原理 二 按轉子磁場定向的感應電動機矢量控制原理1 按轉子磁場定向的MT坐標系前面討論的同步dq坐標系只規定了dq軸隨磁場同步旋轉 并未對d軸與旋轉磁場的相對位置作任何限定 這種一般的同步dq坐標系并不能實現磁場控制與轉矩控制的解耦 這一點從前述同步dq坐標系中的動態數學模型中不難看出 為了實現矢量控制 必須進一步對d軸的取向進行限定 稱為定向 在交流電機矢量控制中 通常使d軸與電機某一旋轉磁場的方向一致 稱為磁場定向 Fieldorientation 所以矢量控制也稱作磁場定向控制 二 按轉子磁場定向的感應電動機矢量控制原理 矢量控制可以按不同的磁場進行定向 如按轉子磁場定向 氣隙磁場定向 定子磁場定向等 在感應電動機矢量控制中最常用的是按轉子磁場定向 所謂按轉子磁場定向 是指使同步dq坐標系的d軸始終與轉子磁鏈矢量 r的方向一致 為了與未定向的dq坐標系加以區別 常將定向后的d軸改稱M Magnetization 軸 相應地q軸改稱T Torque 軸 定向后的坐標系稱為按轉子磁場定向的MT坐標系 如圖10 11所示 圖10 11按轉子磁場定向的MT坐標系 二 按轉子磁場定向的感應電動機矢量控制原理 2 按轉子磁場定向的MT坐標系上感應電機的動態數學模型由圖10 11可見 在按轉子磁場定向的MT坐標系中 轉子磁鏈 r在M軸的分量 rM r 在T軸的分量 rT 0 即有 10 131 由式 10 109 10 110 10 112 將d軸變量換成M軸變量 q軸變量換成T軸變量 并將式 10 131 代入 可以得到MT坐標系上的電壓方程和磁鏈方程為 10 132 二 按轉子磁場定向的感應電動機矢量控制原理 由式 10 133 第3 4個方程 將轉子電流irM irT用定子電流和轉子磁鏈表示 然后代入式 10 134 整理得 10 133 10 134 電磁轉矩公式為 10 135 可見 轉矩公式已與直流電機相似 二 按轉子磁場定向的感應電動機矢量控制原理 3 按轉子磁場定向的感應電動機矢量控制方程在感應電動機矢量控制系統中 由于可直接測量和控制的只有定子邊的量 因此需從上述方程中找出定子電流的兩個分量isM isT與其它物理量的關系 首先看 r與定子電流之間的關系 對于廣泛應用的籠型感應電動機 轉子為短路繞組 urM urT 0 由式 10 132 的第3式可得 10 136 代入式 10 133 的第3式 整理得 10 137 10 138 或 二 按轉子磁場定向的感應電動機矢量控制原理 式 10 137 或式 10 138 表明 轉子磁鏈 r僅由isM產生 與isT無關 因此isM稱為定子電流的勵磁分量 從這個意義上看 定子電流的勵磁分量與轉矩分量是解耦的 結合轉矩公式式 10 135 可見 在按轉子磁場定向的MT坐標系中 isM是產生有效磁場 轉子磁鏈 r 的勵磁分量 相當于直流電機中的if 通過控制isM可以控制 r的大小 而定子電流的T軸分量isT與 r垂直 是產生電磁轉矩的有效分量 相當于直流電動機的電樞電流 這兩個相互解耦的變量分別對轉矩產生影響 在該MT坐標系中我們可以象在直流電機中分別控制電樞電流和勵磁電流一樣 通過對isT和isM的控制實現對感應電動機電磁轉矩和轉子磁鏈的控制 因而有效地解決了三相系統中的強耦合問題 二 按轉子磁場定向的感應電動機矢量控制原理 在按轉子磁場定向的MT坐標系中 感應電動機的等效直流電機模型用框圖表示如圖10 12所示 圖中未計及旋轉阻力系數R 的影響 感應電動機矢量控制中另一個非常重要的關系式是轉差公式 由式 10 132 的第4式 可得 圖10 12MT坐標系中感應電機的等效直流電動機模型 二 按轉子磁場定向的感應電動機矢量控制原理 式 10 141 稱為轉差公式 它反映了轉差角頻率與定子電流轉矩分量isT和轉子磁鏈 r的關系 是轉差型矢量控制的基礎 式 10 137 或式 10 138 式 10 141 和轉矩公式式 10 135 構成了感應電動機按轉子磁場定向的矢量控制基本方程式 10 139 由式 10 133 第4式得 將式 10 140 代入式 10 139 得 10 140 10 141 二 按轉子磁場定向的感應電動機矢量控制原理 4 按轉子磁場定向的感應電動機矢量控制系統的基本結構由前述分析 三相感應電動機經坐標變換可以等效成MT坐標系中的直流電動機 可以模仿直流電動機的控制方式進行控制 控制系統的基本結構如圖10 13所示 圖中給定信號和反饋信號經過控制器產生按轉子磁場定向的MT坐標系中的定子電流勵磁分量和轉矩分量給定值isM 和isT 由于實際對變頻器和感應電動機的控制通常在三相坐標系中完成 故需將isM 和isT 經反旋轉變換VR 1得到is 和is 再經2 3變換得到三相電流給定值iA iB iC 然后通過變頻器進行電流閉環控制 例如采用滯環電流控制的PWM逆變器 輸出實現矢量控制所需的三相定子電流 二 按轉子磁場定向的感應電動機矢量控制原理 為了更好地理解矢量控制 圖10 13中將感應電動機用其等效直流電機模型和相應的坐標變換來表達 由圖10 13可見 若忽略變頻器可能產生的滯后 可以認為iA iB iC分別與iA iB iC 相等 即可將變頻器看作一個放大系數為1的放大器 從而將其從原理圖中去掉 這樣 2 3變換器與電機內部的3 2變換環節相抵消 反旋轉變換器VR 1與電機內部的旋轉變換環節VR相抵消 則圖10 13中虛線框內的部分可以全部刪去 剩下的部分就和直流調速系統非常相似了 不難想象 這樣的矢量控制系統的靜 動態性能應該能夠與直流調速系統相媲美 二 按轉子磁場定向的感應電動機矢量控制原理 感應電動機矢量控制系統中的控制器 除了對轉速進行控制外 通常還需對磁鏈進行控制 以使動態過程中轉子磁鏈 r也能被控制在期望值上 因此通常設有兩個調節器 轉速調節器ASR和磁鏈調節器A R 典型結構如圖10 14和圖10 15所示 抑制轉子磁鏈波動對轉矩影響的兩種常用方法 1 在轉速調節器的輸出增加除法環節 如圖10 14中虛線框所示 2 在轉速調節器之后增設轉矩調節器ATR 如圖10 15所示 三 轉子磁鏈計算模型 三 轉子磁鏈計算模型實現按轉子磁場定向的感應電動機矢量控制的關鍵是準確定向 這就需要獲得轉子磁鏈矢量 r的空間位置角 除此之外 在構成轉子磁鏈反饋及進行轉矩控制時 磁鏈的幅值 r也是不可缺少的信息 最初提出矢量控制時 曾嘗試直接檢測的方法 現在實用系統中多采用間接觀測的方法 通過檢測電壓 電流和轉速等容易測得的物理量 借助于轉子磁鏈觀測或計算模型 實時計算轉子磁鏈的幅值和空間位置角 轉子磁鏈模型可以是直接從電動機數學模型得出的轉子磁鏈方程式 也可以是利用狀態觀測器或狀態估計理論得到的閉環觀測模型 計算模型中根據采用的實測信號的不同 又分為電流模型和電壓模型兩類 三 轉子磁鏈計算模型 1 計算轉子磁鏈的電流模型根據描述磁鏈與電流關系的磁鏈方程來計算轉子磁鏈的模型叫做電流模型 在電流模型中 實測量為定子電流和轉子轉速 下面討論不同坐標系上的電流模型 1 在兩相靜止坐標系上計算轉子磁鏈的電流模型由式 10 105 考慮到ur ur 0 坐標系上的轉子電壓方程為 10 142 10 143 由式 10 106 坐標系上的轉子磁鏈方程為 10 144 10 145 三 轉子磁鏈計算模型 則 10 146 10 147 由式 10 148 和