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文檔簡介

學校 江蘇省洪澤中學教師 傅啟峰 平面向量的數量積 一般地 實數 與向量a的積是一個向量 記作 a 它的長度和方向規定如下 1 a a 2 當 0時 a的方向與a方向相同 當 0時 a的方向與a方向相反 特別地 當 0或a 0時 a 0 復習 1 數乘的定義 設a b為任意向量 為任意實數 則有 a a a a a a b a b 2 數乘的運算律 引入 我們學過功的概念 即一個物體在力f的作用下產生位移s 如圖 s 力f所做的功w可用下式計算w f s cos 其中 是f與s的夾角 從力所做的功出發 我們引入向量數量積的概念 兩個非零向量a和b 作 則叫做向量a和b的夾角 若 a與b同向 若a與b反向 若 a與b垂直 記作 1 向量的夾角 2 平面向量的數量積的定義 注意 1 兩向量的數量積是一個數量 而不是向量 符號由夾角決定 2 a b不能寫成a b 3 向量的數量積與實數積的區別 解 a b a b cos 5 4 cos120 5 4 1 2 10 1 已知 a 5 b 4 a與b的夾角 120 求a b 2 已知a 1 1 b 2 0 求a b 解 a 2 b 2 45 a b a b cos 2 2 cos45 2 練習2 過點b作 b cos 叫向量b在a方向上的投影 為銳角時 b cos 0 為鈍角時 b cos 0 為直角時 b cos 0 我們得到a b的幾何意義 數量積a b等于a的長度 a 與b在a的方向上的投影 b cos 的乘積 3 平面向量的數量積的重要性質 1 若a 0 則對任一向量b 有a b 02 若a 0 則對任一非零向量b 有a b 03 若a 0 a b 0 則b 04 若a b 0 則a b中至少有一個為05 若a 0 a b b c 則a c6 若a b a c 則b c 當且僅當a 0時成立7 對任意向量a b c 有 a b c a b c 8 對任一向量a 有a2 a 2 練習3 判斷正誤 4 平面向量數量積的運算律 已知向量和實數 則向量的數量積滿足 注意 數量積運算不滿足結合律消去律 1 交換律 則 所以 2 若 證明 若 3 分析 a1 b1 3 證明 在平面內取一點 作 即 在方向上的投影等于 在方向上的投影的和 即 即 5 平面向量數量積的常用公式 求證 1 2 證明 1 2 例2 已知 與的夾角為60 求 1 在方向上的投影 2 在方向上的投影 3 2 3 解 3 練習 a銳角三角形 c鈍角三角形 d不能確定 b直角三角形 d c a銳角三角形 b直角三角形 c鈍角三角形 d不能確定 課堂小結 本節課我們主要學習了平面向量數量積的性質及其應用 常見的題型主要有 1 直接計算數量積 定義式以及夾角的定

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