第六章 剛體運動學第一節剛體和自由度的概念剛體：物體上任意兩點間的距離保持不變。通俗地說：大小和形狀保持不變的物體。剛體和質點都是對實際物體的抽象。剛體考慮了物體的體積效應，但忽略了物體的形變。與質點相比，剛體更加接近實際物體。自由度：確定一個物體的位置所需要的獨立坐標數。質點的位置：x，y，z三個空間坐標，3個自由度。剛體的運動：任意點的平動繞該點的轉動點的平動：3個自由度；繞定點轉動：3個自由度，6個自由度。第二節 剛體的平動運動過程中，剛體上任意一條直線始終保持和自身平行平動。平動時，剛體上各點的運動軌跡都相同。因此只要知道某一點的運動狀態就知道了整個剛體的運動狀態。xAyzBrArB為常矢量，再對時間求導得：可見，剛體作平動時，各點的速度和加速度都相同。書中例題5.1(P.182)裝置如圖，曲柄長度為r，與x軸的夾角t，其中為常量。求：T形連桿在t時刻的速度和加速度。MO解：T形連桿的運動為平動，連桿上任意點的速度和加速度都相同。以桿上M點為研究對象：xrcost對時間t求導得速度和加速度：vrsintar2cost第三節 剛體繞定軸轉動定軸轉動的實例很多：電機轉動，開關門，等等。剛體繞一固定軸轉動，轉過的角度稱為角位移。角位移的單位：rad（弧度） ；角位移的方向：右手定則，符合右手定則的方向為“”；反之為“”角位移隨時間的變化關系表示為：f（t）角速度：描述剛體轉動快慢的物理量。單位：rad/s （弧度/秒） ；方向：右手定則角速度是角位移隨時間的變化率：角加速度：描述剛體角速度變化快慢的物理量。單位：rad/s2 （弧度/秒2）；方向：右手定則角加速度是角速度隨時間的變化率：定軸轉動是一維運動，當函數給定后，和直線運動的情況基本相同。生活中描述轉動方向按順時針和逆時針方向。物理中描述轉動方向按右手定則。工程上轉速的單位經常用：轉/分鐘 （r/min）最常用的電機轉速為：3000轉/分鐘發電機的轉速：50轉/秒3000轉/分鐘書中例題5.2(P.184)飛輪的角速度在12s內由1200r/min均勻地增加到3000r/min。求：（1）飛輪的的角加速度；（2）在這段時間飛輪轉過的圈數。解：先將單位由 轉/分 換成 弧度/秒112002/6040 (rad/s)230002/60100 (rad/s)勻加速，t12s，（21）/t（10040）/12515.7(rad/s2)角速度隨時間的變化關系可通過積分和初條件求得：當t0時，11t角位移隨時間的變化關系可通過積分和初條件求得：其中c由初條件確定。 因為要求的是12s內轉過的角度，可令t0時，0，代入得c0換算成圈數為：（圈）第四節 角量與線量的關系定軸轉動中，剛體上一點到轉軸的距離為r，該點線量度和角量之間的關系為：Sr ；vr ；a切向r ；a法向v2/r2r2/r2r由于剛體沒有形變，所以剛體的法向加速度不重要?？紤]方向后：srvrar作業：P. 191 5.9 ; 5.10第七章 剛體動力學第一節 剛體定軸轉動與轉動定理復習：力矩定義：動量矩定義為：動量矩定理： 將剛體看成由一組特殊的質點組成，其特殊性就是：任意兩質點間的距離保持不變。對于質點組中任意一個質點i，可根據動量定理寫出它所受到的力矩與動量矩之間的關系：其中Mi為質點i所受的力矩，包括外力作用在該質點的力矩Mi外和質點組內相互作用的的力矩Mi內。 (1)對質點組中每一個質點求和得： (2)在剛體內部，作用力與反作用力總是成對出現的，并且大小相等，方向相反，作用在一條直線上，這對力所產生的力矩也是大小相對，方向相反的。因此，所有內力矩的求和為0。剛體在做定軸轉動是一維問題，角速度的方向為z軸方向，ri與vi總是互相垂直的，rivi的方向為z軸方向，rivi的大小為rivisin90orivi ； 因為剛體中任意兩質點間的距離保持不變，miri均為常量，且viri，可得：其中為角加速度，表示和外力矩，則(2)式為： (3)令 ，則(3)式寫成：M=J (4) 剛體轉動定理對比牛頓第二定律 F=mam是描述物體慣性的物理量，J也是描述物體慣性的物理量，并且是描述物體轉動時的慣性，稱為轉動慣量。第二節 轉動慣量轉動慣量的定義： 對于連續的剛體： 從轉動慣量的定義可以看到，剛體做定軸轉動時，其慣性不僅與剛體的質量有關，還與質量的分布狀況有關。對于質量相同的剛體，一個質量分布靠近轉軸，另一個質量分布遠離轉軸，從定義中可以看出，前者的轉動慣量比后者小。生活實例：錘頭的質量為m，錘柄的質量不計，當以角速度轉動錘子時，柄越長，其轉動慣量越大，直觀地看，柄越長，錘頭的線速度越大，它所具有的動能也越大，其慣性也就越大。書中例題6.1(P.198)已知：長為L，質量為M的均質細桿。求：該桿對通過中心并與桿垂直的軸的轉動慣量。解：對連續的剛體，用積分的方法求轉動慣量。在離轉軸x處取一線元dx，由于桿是細桿，這一線元的質量為： 質量元到轉軸的距離為x，根據轉動慣量的定義：因為轉軸在桿的中心，所以積分限從L/2積到L/2。如果轉軸在桿的一端，則積分限從0積到L，這時的轉動慣量為：有此看到，同一根桿，繞端點的轉動慣量是繞中點的轉動慣量的4倍。轉動慣量是一個新的物理量，求轉動慣量需要用積分的方法，是本課程重點內容之一。書中例題6.2(P.198)求：質量為M，半徑為R，高h的圓柱或園盤對過圓心且與盤面垂直轉軸的轉動慣量。解：取半徑為r，寬dr的薄圓環，高h。該圓環的質量為：dm2 r h dr，其中是園盤的密度：該圓環上各個點到轉軸的距離都是r，圓環的轉動慣量為：dJr2dm整個園盤的轉動慣量就是dJ從0到R積分：如果是圓環，則積分限從R1積到R2：這時的密度應為：（1）平行軸定理若有兩個軸互相平行，其中一個軸過質心，則：JJcmd2其中Jc為剛體對質心的轉動慣量；m為剛體的質量；d為兩軸的垂直距離。證明：以轉軸為z軸做坐標系oxyz；以剛體質心為原點做質心坐標系oxyz；剛體質心在oxyz坐標系中的坐標為：xc, yc, zc,剛體上的任意點在oxyz坐標系的坐標為：xi, yi, zi；該點在質心坐標系oxyz的坐標為：xi, yi, zixyzzxyC(xc,yc,zc)d以z軸為轉軸，剛體對z軸的轉動慣量為：其中xi和yi是質點的x坐標和y坐標，且：xixcxi；yiycyi其中xc和yc是剛體質心的x坐標和y坐標，xi和yi是質點在質心坐標系中的x坐標和y坐標代入得：其中； 表示質心在質心坐標系中的坐標為0xc2+yc2=d2為質心到轉軸的距離； 為剛體對過質心轉軸的轉動慣量。 JJcmd2例：書中例題6.1求了桿通過中心軸的轉動慣量，用平行軸定理，求過端點且與桿垂直的軸的轉動慣量。解：兩平行軸的間距為dL/2，根據平行軸定理例：過園盤邊緣與園盤中心軸平行的軸的轉動慣量。園盤對其中心軸的轉動慣量為：1/2 MR2兩軸之間的距離為R，根據平行軸定理：這種情況用直接積分比較困難。xyzxiyi(2)垂直軸定理對于無窮薄的薄板，建立坐標軸oxyz，其中oxy平面在薄板平面內，z軸與薄板垂直。JzJxJy證明： JxJyxy例題：均勻薄圓板，質量為m，半徑為R。求：過圓心且在板面上的轉軸的轉動慣量。解：薄板對過圓心且與薄板垂直轉軸（z軸）的轉動慣量為Jz1/2 MR2，根據對稱性，薄板對x軸和對y軸的轉動慣量相同，JxJy，根據垂直軸定理：JzJxJy 2JxJz1/2 MR2Jx1/4 MR2補充例題：xdMLzxz半徑為R，長為L，質量為M的實心圓柱體對中心直徑的轉動慣量。解：從圓柱上切下一個薄圓片dM，它對x軸的轉動慣量為：dJx dMR2用垂直軸定理，得出它對z軸的轉動慣量為：dJzdMR2 其中dMM/Ldx用平行軸定理，得出它對z軸的轉動慣量為：dJzdMR2dMx2從L到L積分得第三節 轉動定理的應用M=J (4) 剛體轉動定理m1m2書中例題6.3 (P201)已知：滑輪半徑為R，質量為M，繩子不可伸縮的輕繩，繩子與滑輪間無滑動，軸處無摩擦，兩個懸掛物的質量分別為m1，m2。求：兩重物的加速度，滑輪的角加速度，繩中的張力。解：用隔離物體法分析力，并列出動力學方程。T2T1園盤：園盤的轉動慣量：J1/2MR2T1的力矩：R T1T2的力矩：R T2園盤的角加速度： ; 的方向與RT1方向相同：m1gT1m2gT2R T1R T2Jm1: m1gT1m1am2：T2m2gm2a 繩子是輕繩， T1T1 ； T2T2繩子與滑輪間無滑動，aR 牽連關系解方程得：中學見過這類問題很多，但滑輪都是輕滑輪，不考慮滑輪的質量，M0，將其代入上面的方程得： ； 書中例題6.4 (P202)已知：兩個皮帶輪半徑分別為R1，R2，質量分別為m1，m2，分別繞固定軸O1，O2轉動，用皮帶相連，輪1作用力矩M1，輪2有負載力矩M2，皮帶與輪無滑動，軸處無摩擦。求：輪1的角角速度。R2R1M1M2解：隔離物體法分析力：輪1：T1M1受作用力矩M，(正方向)T2皮帶的力矩R1T1和R1T2；輪的轉動慣量J11/2m1R12輪2：T2T1M2受作用力矩M，皮帶的力矩T1R2和T2R2；輪的轉動慣量J21/2m2R22M定為正方向后，力矩的方向與M一致則為“正”反之為“負”。兩個輪是牽連在一起運動的，所以存在著牽連關系。皮帶與輪沒有相對滑動，則：且不計皮帶質量，T1T1， T2T2；解方程得：書中例題6.5 (P203)已知：飛輪齒輪1繞轉軸1的轉動慣量J198.0kgm2，飛輪齒輪2繞轉軸2的轉動慣量J2=78.4kgm2，兩齒輪咬合傳動，齒數比Z1：Z23：2，r110cm，軸1從靜止在10s勻加速到1500r/min,求：加在軸1上的力矩M和齒輪間的相互作用力Q。J1J2r1r2M解：飛輪1受到的力矩：M 和 r1Q，角加速度：1動力學方程： MQr1J11飛輪2受到的力矩： Qr2，角加速度：2動力學方程： Qr2J22牽連關系：1 r12 r2 ；r1/r2Z1/ Z2解方程得：將具體數值代入：第四節 剛體定軸轉動的動能與動能定理（一）剛體的轉動能考察由n個質點組成的剛體，其中第k個質點的質量為mk，速度vkrk，k質點的動能為mk vk 2/2mk rk22/2，整個剛體的動能就是所有質點動能的算術和： FnyFxFtd與質點動能對比：（二）力矩的功作用在剛體上的力只有沿剛體轉動切線方向的分量Ft才作功，其它方向的力沒有位移，所以不作功。在Ft的作用下，產生的位移dsrd，其元功為：dAFtrd其中Ft與r垂直，Ftr就是F對轉軸的力矩Mz，故元功可寫為： dAMzd剛體由1轉到2的過程中，力矩對剛體所作的功為：如果作用在剛體上有n個力矩, Mz1，Mz2，。，Mzn，剛體轉過d角時，各力對剛體所作的元功總和為：剛體由1轉到2的過程中，各力矩所作的功之和為：上式說明，和力矩所作的功等于各力矩所作功之和。（三）剛體轉動的動能定理由剛體轉動定理： M=J寫成導數的形式：移項得：等式兩邊同時積分得：剛體轉動的動能定理此式說明：力矩所作的功剛體轉動動能的增量。（四）剛體的重力勢能xyhi由n個質點組成的剛體，某一質點的重力勢能為：Epimighimigyi對所有的質點求和即為剛體的勢能：質心的定義： ，其中m表示總質量。書中例題6.7(p.209)一長為l，質量為m的勻質細桿AB，掛于A處，軸處無摩擦，初始時桿鉛直靜止。求：使的桿由鉛值位置剛好轉至水平位置所需要的最小初角速度。解：軸處無摩擦，系統的機械能守恒。BA動能勢能初： 1/2 Jz02 0終： 0 mgl/2動能轉換成勢能：1/2 Jz02mgl/2 ; 其中 Jz1/3ml2書中例題6.8(p.209)園盤滑輪質量M，半徑R，繞輕繩，繩的另一端系一質量m的物體，軸無摩擦，開始時系統靜止。求：物體下降s時，滑輪的角速度和角加速度。解：軸無摩擦，系統機械能守恒m動能 m勢能 M動能初： 0 mgs 0終： 1/2 mv2 0 1/2 Jz2牽連關系：vR，Jz1/2 MR2mgs1/2 mv21/2 Jz21/2 mR221/4MR22 求角加速度：其中ds/dtvR，并將值代入得：第五節 軸轉動的動量矩定理【復習】在第五章中一個質點的動量為mv，它對O點的動量矩定義為： 考察由n個質點組成的剛體，其中第k個質點的質量為mk，速度vkrk，k質點的動量矩mk vk rkmk rk2，（在做定軸轉動時，vk與rk互相垂直），則剛體的動量矩為所有質點動量矩之和：對比： LzJz質點的動量： Pmv由動量矩定理 將LzJz代入得：（定軸轉動為一維問題）兩邊同時對dt積分得：此為動量矩定理對比動量定理：稱為沖量矩動量矩定理說明：沖量矩作用的結果是使剛體的動量矩發生變化。書中例題6.13(p.217)長l，質量M，鉛直懸掛，初始處于靜止狀態，桿的中心受一沖量I作用，方向與桿垂直。求：沖量作用結束時，桿的角速度。解：沖量對轉軸的沖量矩為根據動量矩定理： 其中 第六節 定軸轉動的動量矩守恒定理當Mz0時， Lz恒矢量 剛體定軸轉動的動量矩守恒定律書中例題6.16(P.221)長為L，質量為M的均勻桿，一端懸掛，由水平位置無初速度地下落，在鉛直位置與質量為m的物體A做完全非彈性碰撞，碰后，物體A沿摩擦系數為的水平面滑動。求：物體A滑動的距離。解：整個過程分為三個階段：1、桿由水平位置繞端點的軸轉動：機械能守恒2、與A作完全非彈性碰撞：動量矩守恒3、A滑動：動能被摩擦力耗散掉。第一階段：機械能守恒 動能勢能初： 0 Mg L/2終： 1/2Jz2 0 1/2Jz2Mg L/2 其中Jz1/3ML2 23g/L第二階段：動量矩守恒初： Jz ； 終： Jz mL2 JzJz mL2代入Jz和值得：第三階段，動能定理A的速度：L ；摩擦力mg書中習題6.13（p227）以力F將一塊粗糙平面均勻壓在輪上，平面與輪之間的滑動摩擦系數為，輪為勻質圓盤，半徑為R，質量為M，軸處摩擦力不計，輪的初角速度為0，問：輪轉過多少度時即停止轉動。解：盤面單位面積上的壓力為：以輪的軸心為圓心，半徑為r，寬度dr的環所受的壓力為：環所受的摩擦力為：對轉軸的力矩為：整個圓盤所受摩擦力矩為：由轉動能定理：書中習題6.22（p228）一均質細桿，長L=1m，可繞通過一端的水平光滑的軸O在鉛垂面內自由轉動，開始時桿靜止于鉛直位置。一子彈沿水平方向以v=10m/s的速度射入桿，射入點距離O點的距離為3L/4，子彈的質量為桿質量的1/9。試求：(1)子彈與桿共同運動的角速度。(2)桿的最大擺角。解：射入前，子彈的動量矩射入過程動量矩守恒入射后，子彈與桿共同擺動，機械能守恒LdLd剛體定點轉動進動LJdLJd稱為進動角速度。作業：P. 226 6.5 ; 6.6 ; 6.17 ; 6.21第八章 機械振動第一節簡諧振動1.簡諧振動的動力學方程如果一個質點受到這樣一個力：Fkx （1）即：力的大小與位移成正比，方向與位移方向相反。將其代入牛頓第二定律，得： （2）進行小的變換得： (3)再寫得好看一點：令k/m2 （4）這是一個典型的微分方程，該方程的解為：xAcos（t）（5）驗證該方程的解，對（5）進行求導運算：代入（4）式2Acos（t）2Acos（t）0（5）式中各項的名稱：A：振幅，振動幅度的大小，由初條件決定。：角頻率（園頻率），振動系統固有的：初相位，由初條件決定。以時間的正弦或余弦函數表示的運動稱為：簡諧振動。哪些情況下可以簡諧振動？(1)彈簧振子輕彈簧的一端固定，另一端系一質量為m的物體，放在光滑的水平面上，彈簧由原長位置移開x距離所受到的力為：Fkx2k/m(2)單擺不可伸長的輕繩L懸掛一質量為m的小球，在鉛垂面內沿圓弧擺動，受力為：Fmg sin在一般情況下，單擺不是作簡諧振動。當角很小時（5o），sin， 這時：Fmg 代入牛頓第二定律：整理得：令2g/L，得標準方程說明在擺角很小時，單擺是作簡諧振動。1米長的線，擺角為50是，振幅為8.7厘米(sin500.087)(3)復擺Cmg質量為m的剛體，轉動慣量為J，懸掛于不通過質心C的水平轉軸，轉軸到質心的距離為h，在重力作用下繞平衡位置來回擺動。剛體所受力矩：Mmgh sin在一般情況下，單擺不是作簡諧振動。當角很小時（|12| ，這時會出現拍的現象。簡單起見，考慮兩個振幅相同，初相位均為0的兩個振動的合成：x1Acos 1t 和 x2Acos 2txx1x2Acos 1tAcos 2t利用三角函數和差化積公式得： 慢變快變令： 則 可看成1、2的平均值，則這種形式與簡諧振動的形式相同，不同之處是其振幅受到周期函數 的調制。這種合振動的振幅周期變化的現象叫拍。雙簧管就是利用這個原理產生的顫音。（3）互相垂直的同頻率簡諧振動的合成作圖法：根據簡諧振動的旋轉矢量表示法（4）互相垂直的不同頻率簡諧振動的合成作圖法：根據簡諧振動的旋轉矢量