3 1 4空間向量的正交分解及其坐標表示 例1在平面內的一條直線 如果和這個平面的一條斜線的射影垂直 那么它也和這條斜線垂直 已知 如圖 po pa分別是平面 的垂線 斜線 ao是pa在平面 內的射影 a a 已知 如圖 po pa分別是平面 的垂線 斜線 ao是pa在平面 內的射影 分析 同樣可用向量 證明思路幾乎一樣 只不過其中的加法運算用減法運算來分析 例2如圖 m n是平面 內的兩條相交直線 如果l m l n 求證 l 3 1 4空間向量的正交分解及其坐標表示 共線向量定理 復習 共面向量定理 平面向量基本定理 平面向量的正交分解及坐標表示 問題 我們知道 平面內的任意一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示 平面向量基本定理 對于空間任意一個向量 有沒有類似的結論呢 由此可知 如果是空間兩兩垂直的向量 那么 對空間任一向量 存在一個有序實數組 x y z 使得我們稱為向量在上的分向量 探究 在空間中 如果用任意三個不共面向量代替兩兩垂直的向量 你能得出類似的結論嗎 任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底 空間向量基本定理 如果三個向量不共面 那么對空間任一向量 存在一個唯一的有序實數組x y z 使 都叫做基向量 1 任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底 特別提示 對于基底 a b c 除了應知道a b c不共面 還應明確 2 由于可視為與任意一個非零向量共線 與任意兩個非零向量共面 所以三個向量不共面 就隱含著它們都不是 3 一個基底是指一個向量組 一個基向量是指基底中的某一個向量 二者是相關連的不同概念 推論 設o a b c是不共線的四點 則對空間任一點p 都存在唯一的有序實數組 x y z 使當且僅當x y z 1時 p a b c四點共面 一 空間直角坐標系 給定一個空間坐標系和向量 且設e1 e2 e3為坐標向量 由空間向量基本定理 存在唯一的有序實數組 x y z 使p xe1 ye2 ze3有序數組 x y z 叫做p在空間直角坐標系o xyz中的坐標 記作 p x y z 二 空間向量的直角坐標系 x y z o e1 e2 e3 在空間直角坐標系o xyz中 對空間任一點 a 對應一個向量oa 于是存在唯一的有序實數組x y z 使oa xe1 ye2 ze3 在單位正交基底e1 e2 e3中與向量oa對應的有序實數組 x y z 叫做點a在此空間直角坐標系中的坐標 記作a x y z 其中x叫做點a的橫坐標 y叫做點a的縱坐標 z叫做點a的豎坐標 x y z o a x y z e1 e2 e3 練習 1 在空間坐標系o xyz中 分別是與x軸 y軸 z軸的正方向相同的單位向量 則的坐標為 點b的坐標為 2 點m 2 3 4 在坐標平面xoy xoz yoz內的正投影的坐標分別為 關于原點的對稱點為 關于軸的對稱點為 例題 已知空間四邊形oabc 其對角線為ob ac m n 分別是對邊oa bc的中點 點p q是線段mn三等分點 用基向量oa ob