立體幾何 第七章 第39講空間幾何體的三視圖 直觀圖 表面積和體積 欄目導航 1 空間幾何體的結構特征 1 多面體的結構特征 平行 公共頂點 底面 2 旋轉體的形成 2 空間幾何體的三視圖 1 三視圖的名稱幾何體的三視圖包括 2 三視圖的畫法 在畫三視圖時 重疊的線只畫一條 擋住的線要畫成 三視圖的正視圖 側視圖 俯視圖分別是從幾何體的 方 方 方觀察幾何體的正投影圖 正視圖 側視圖 俯視圖 虛線 正前 正左 正上 3 空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用 畫法來畫 其規則是 1 原圖形中x軸 y軸 z軸兩兩垂直 直觀圖中 x 軸 y 軸的夾角為 z 軸與x 軸和y 軸所在平面 2 原圖形中平行于坐標軸的線段 直觀圖中仍分別 平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度 平行于y軸的線段在直觀圖中長度為 斜二測 45 或135 垂直 平行于坐標軸 不變 原來的一半 4 空間幾何體的表面積與體積 Sh 4 R2 1 思維辨析 在括號內打 或 1 底面是正方形的四棱柱為正四棱柱 2 有一個面是多邊形 其余各面都是三角形的幾何體是棱錐 3 夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱 4 用斜二測畫法畫水平放置的 A時 若 A的兩邊分別平行于x軸和y軸 且 A 90 則在直觀圖中 A 45 5 正方體 球 圓錐各自的三視圖中 三視圖均相同 解析 1 錯誤 因為側棱不一定與底面垂直 2 錯誤 盡管幾何體滿足了一個面是多邊形 其余各面都是三角形 但不能保證各三角形具有公共頂點 3 錯誤 因為兩個平行截面不能保證與底面平行 4 錯誤 A應為45 或135 5 錯誤 正方體的三視圖由于正視的方向不同 其三視圖的形狀可能不同 圓錐的側視圖與俯視圖顯然不相同 2 用任意一個平面截一個幾何體 各個截面都是圓面 則這個幾何體一定是 A 圓柱B 圓錐C 球體D 圓柱 圓錐 球體的組合體解析 當用過高線的平面截圓柱和圓錐時 截面分別為矩形和三角形 只有球滿足任意截面都是圓面 C 3 某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形 正視圖是一個底邊長為8 高為5的等腰三角形 側視圖是一個底邊長為6 高為5的等腰三角形 則該幾何體的體積為 A 24B 80C 64D 240 B 4 表面積為3 的圓錐 它的側面展開圖是一個半圓 則該圓錐的底面直徑為 解析 設圓錐的母線為l 圓錐底面半徑為r 則 rl r2 3 l 2 r 解得r 1 即直徑為2 2 5 某幾何體的三視圖如圖所示 其中正視圖是腰長為2的等腰三角形 側視圖是半徑為1的半圓 則該幾何體的表面積是 1 三視圖中 正視圖和側視圖一樣高 正視圖和俯視圖一樣長 側視圖和俯視圖一樣寬 即 長對正 寬相等 高平齊 2 解決有關 斜二測畫法 問題時 一般在已知圖形中建立直角坐標系 盡量運用圖形中原有的垂直直線或圖形的對稱軸為坐標軸 圖形的對稱中心為原點 注意兩個圖形中關鍵線段長度的關系 一空間幾何體的三視圖和直觀圖 例1 1 一幾何體的直觀圖如圖 下列給出的四個俯視圖中正確的是 B 2 用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形 則原來的圖形是 A 3 已知三棱錐的俯視圖與側視圖如圖所示 俯視圖是邊長為2的正三角形 側視圖是有一條直角邊為2的直角三角形 則該三棱錐的正視圖可能是 C 二空間幾何體的表面積和體積 1 以三視圖為載體的幾何體的表面積問題 關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及數量 2 多面體的表面積是各個面的面積之和 組合體的表面積注意銜接部分的處理 旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用 3 若所給定的幾何體是柱體 錐體或臺體等規則幾何體 則可直接利用公式進行求解 其中 等積轉換法多用來求三棱錐的體積 4 若所給定的幾何體是不規則幾何體 則將不規則的幾何體通過分割或補形轉化為規則幾何體 再利用公式求解 5 若以三視圖的形式給出幾何體 則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖 然后根據條件求解 C B 三與球有關的切 接問題 1 已知點E F G分別是正方體ABCD A1B1C1D1的棱AA1 CC1 DD1的中點 點M N Q P分別在線段DF AG BE C1B1上 以M N Q P為頂點的三棱錐P MNQ的俯視圖不可能是 C 解析 當M與F重合 N與G重合 Q與E重合 P與B1重合時 三棱錐P MNQ的俯視圖為A 當M N Q P是所在線段的中點時 三棱錐P MNQ的俯視圖為B 當M N Q P位于所在線段的非端點位置時 存在三棱錐P MNQ 使其俯視圖為D 故選C 2 若幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的外接球的表面積為 A 34 B 35 C 36 D 17 解析 由幾何體的三視圖知它的底面是正方形且有一側棱垂直于底面的四棱錐 可把它補成一個長 寬 高分別為3 3 4的長方體 該長方體的外接球即為原四棱錐的外接球