第一章 解三角形 1 1正弦定理和余弦定理1 1 1正弦定理 二 學習目標 1 熟記并能應用正弦定理的有關變形公式解決三角形中的問題 2 能根據條件 判斷三角形解的個數 3 能利用正弦定理 三角變換 三角形面積公式解決較為復雜的三角形問題 1 預習導學挑戰自我 點點落實 2 課堂講義重點難點 個個擊破 3 當堂檢測當堂訓練 體驗成功 知識鏈接 以下關于正弦定理的敘述或變形錯誤的是 1 在 ABC中 若 則A 90 2 在 ABC中 若sin2A sin2B 則a b 3 在 ABC中 若sinA sinB 則A B 反之 若A B 則sinA sinB 4 在 ABC中 解析對于 1 由正弦定理可知 sinB cosB sinC cosC B C 45 故A 90 故 1 正確 對于 2 由sin2A sin2B可得A B或2A 2B a b或a2 b2 c2 故 2 錯誤 對于 3 在 ABC中 sinA sinB a b A B 故 3 正確 對于 4 因為 所以 故 4 正確 答案 2 預習導引 1 正弦定理的常見變形 1 sinA sinB sinC 2 3 a b c 4 sinA sinB sinC 2RsinC a b c 2R 2RsinA 2RsinB 2 三角變換公式 1 sin 2 sin 3 sin2 sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 要點一利用正弦定理判斷三角形的形狀例1在 ABC中 若sinA 2sinBcosC 且sin2A sin2B sin2C 試判斷 ABC的形狀 解方法一在 ABC中 根據正弦定理 2R R為 ABC外接圓的半徑 sin2A sin2B sin2C 2 2 2 即a2 b2 c2 A 90 B C 90 由sinA 2sinBcosC 得sin90 2sinBcos 90 B sin2B B是銳角 sinB B 45 C 45 ABC是等腰直角三角形 方法二在 ABC中 根據正弦定理 得sinA sinB sinC R為 ABC外接圓的半徑 sin2A sin2B sin2C a2 b2 c2 ABC是直角三角形且A 90 A 180 B C sinA 2sinBcosC sin B C 2sinBcosC sinBcosC cosBsinC 0 即sin B C 0 B C 0 即B C ABC是等腰直角三角形 規律方法依據條件中的邊角關系判斷三角形的形狀時 主要有以下兩種途徑 1 利用正弦定理把已知條件轉化為邊邊關系 通過因式分解 配方等得出邊的相應關系 從而判斷三角形的形狀 2 利用正弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數間的關系 通過三角函數恒等變形得出內角的關系 從而判斷出三角形的形狀 此時要注意應用A B C 這個結論 在兩種解法的等式變形中 一般兩邊不要約去公因式 應移項提取公因式 以免漏解 跟蹤演練1在 ABC中 已知a2tanB b2tanA 試判斷 ABC的形狀 解在 ABC中 由正弦定理得 又 a2tanB b2tanA sinAcosA sinBcosB 即sin2A sin2B 2A 2B或2A 2B 即A B或A B ABC為等腰三角形或直角三角形 要點二利用正弦定理求最值或范圍例2在銳角 ABC中 角A B C分別對應邊a b c 且a 2bsinA 求cosA sinC的取值范圍 解設R為 ABC外接圓的半徑 a 2bsinA 2RsinA 4RsinBsinA sinB B為銳角 B 令y cosA sinC cosA sin B A cosA sin A cosA sincosA cossinA 規律方法在三角形中解決三角函數的取值范圍或最值問題的方法 1 利用正弦定理理清三角形中基本量間的關系或求出某些量 2 將要求最值或取值范圍的量表示成某一變量的函數 三角函數 從而轉化為函數的值域或最值問題 跟蹤演練2在 ABC中 若C 2B 求的取值范圍 解因為A B C C 2B 所以A 3B 0 所以0 B 所以 cosB 1 所以1 2cosB 2 故1 2 要點三正弦定理與三角變換的綜合應用例3已知 ABC的三個內角A B C的對邊分別為a b c 若a c 2b 且2cos2B 8cosB 5 0 求角B的大小 并判斷 ABC的形狀 解 2cos2B 8cosB 5 0 2 2cos2B 1 8cosB 5 0 4cos2B 8cosB 3 0 即 2cosB 1 2cosB 3 0 解得cosB 或cosB 舍去 0 B B a c 2b 由正弦定理得sinA sinC 2sinB 2sin 化簡得sinA cosA sin A 1 0 A A A C 即A B C ABC是等邊三角形 規律方法借助正弦定理可以實現三角形中邊角關系的互化 在轉化為角的關系后 常常利用三角變換公式進行化簡 從而進行三角形形狀的判斷 三角恒等式的證明 跟蹤演練3已知方程x2 bcosA x acosB 0的兩根之積等于兩根之和 且a b為 ABC的兩邊 A B為兩內角 試判斷這個三角形的形狀 解設方程的兩根為x1 x2 由根與系數的關系得 bcosA acosB 由正弦定理得2RsinBcosA 2RsinAcosB R為 ABC外接圓的半徑 sinAcosB cosAsinB 0 sin A B 0 A B為 ABC的內角 0 A 0 B A B A B 0 即A B 故 ABC為等腰三角形 1 在 ABC中 AC BC 2 B 60 則角C的值為 A 45 B 30 C 75 D 90 解析由正弦定理 得 BC 2 AC A為銳角 A 45 C 75 C 1 2 3 4 2 在 ABC中 若 則 ABC是 A 直角三角形B 等邊三角形C 鈍角三角形D 等腰直角三角形解析由正弦定理知 tanA tanB tanC A B C B 1 2 3 4 3 在 ABC中 0 1 2 3 4 4 在 ABC中 a 2 b 6 A 30 判斷三角形是否有解 若有解 解該三角形 1 2 3 4 解a 2 b 6 a b A 30 90 又因為bsinA 6sin30 3 a bsinA 所以本題有兩解 由正弦定理得 sinB 故B 60 或120 當B 60 時 C 90 c 4 當B 120 時 C 30 c a 2 所以B 60 C 90 c 4或B 120 C 30 c 2 1 2 3 4 課堂小結1 已知兩邊和其中一邊的對角 求第三邊和其他兩個角 這時三角形解的情況可能無解 也可能一解或兩解 首先求出另一邊的對角的