在實際問題中 變量之間的常見關系有如下兩類 一類是確定性函數關系 變量之間的關系可以用函數表示 例如 圓的面積 與半徑 之間就是確定性函數關系 可以用函數 表示 一類是相關關系 變量之間有一定的聯系 但不能完全用函數來表達 例如 人的體重 與身高 有關 一般來說 身高越高 體重越重 但不能用一個函數來嚴格地表示身高與體重之間的關系 某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關系 隨機統計并制作了某 天賣出熱茶的杯數與當天氣溫的對比表 如果某天的氣溫是 你能根據這些數據預測這天小賣部賣出熱茶的杯數嗎 我們以橫坐標x表示氣溫 縱坐標y表示熱茶杯銷售量 建立如圖直角坐標系 請描出各點 看看你能發現什么結論 這些點散布在一條直線的附近 故可用一個線性函數近似地表示熱茶銷量與氣溫之間的關系 選擇怎樣的直線近似地表示熱茶銷量與氣溫之間的關系 怎樣的直線最好呢 2 取一條直線 使得位于該直線一側和另一側點的個數基本相同 3 多取幾組點 確定幾條直線方程 再分別算出各條直線斜率 截距的平均值 作為所求直線的斜率 截距 1 選擇能反映直線變化的兩個點 例如取過 4 50 18 24 這兩點的直線 用方程為 的直線擬合散點圖中的點 應使得該直線與散點圖中的點最接近 那么 怎樣衡量直線 與圖中六個點的接近程度呢 我們將表中給出的自變量 的六個值代入直線方程 得到相應的六個值 26b a 18b a 13b a 10b a 4b a b a 這六個值與表中相應的六個的實際值應該越接近越好 所以 我們用類似于估計總體平均數時的思想 考慮如下離差平方和 Q a b 是直線 與各散點在垂直方向 縱軸方向 上的距離的平方和 可以用來衡量直線 與圖中六個點的接近程度 所以 設法取 的值 使Q a b 達到最小值 這種方法叫做最小平方法 最小二乘法 我們把a看做常數 那么Q是關于b的二次函數 故當時 Q取得最小值 同理把b看作常數 那么Q是關于a的二次函數 當時 Q取得最小值 因此 當時 Q取得最小值 由此解得 故 所求直線方程為 1 6477x 57 5568 從而當x 5時 66 即當氣溫為 50C時熱茶銷售量為66杯 像這樣能用直線方程 bx a近似表示的相關關系叫做線性相關關系 一般地 設有 的 對觀察數據如下 例1 下表為某地近幾年機動車輛數與交通事故數的統計資料 請判斷機動車輛數與交通事故數之間是否具有線性相關關系 如果具有線性相關關系 求出線性回歸方程 如果不具有線性相關關系 說明理由 解 在直角坐標系中描出數據的散點圖 直觀判斷散點在一條直線附近 故具有線性相關關系 計算相應的數據之和 一般地 用回歸直線進行擬合的一般步驟為 1 作出散點圖 判斷散點是否在一條直線附近 1 如果散點在一條直線附近 用公式 求出 并寫出線性回歸方程 練習 1 下列兩個變量之間的關系哪個不是函數關系 A 角度和它的余弦值B 正方形邊長和面積C 正 邊形的邊數和它的內角和D 人的年齡和身高 D B 11 69 7 實驗測得四組 x y 的值為 1 1 2 3 3 5 7 13 則y與x之間的回歸方程為 8 線性回歸方程的圖象必經過定點 A 0 0