第1講函數(shù) 函數(shù)與方程及函數(shù)的應用 高考定位高考對本內(nèi)容的考查主要有 1 函數(shù)的概念和函數(shù)的基本性質(zhì)是B級要求 是重要考點 2 指數(shù)與對數(shù)的運算 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)都是考查熱點 要求都是B級 3 函數(shù)與方程是B級要求 但經(jīng)常與二次函數(shù)等基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合起來考查 是重要考點 4 函數(shù)模型及其應用是考查熱點 要求是B級 試題類型可能是填空題 也可能在解答題中與函數(shù)性質(zhì) 導數(shù) 不等式綜合考查 真題感悟 解析要使函數(shù)有意義 需且僅需3 2x x2 0 解得 3 x 1 故函數(shù)定義域為 3 1 答案 3 1 由圖象可知 f x g x 1的實根個數(shù)為4 4 考點整合 1 單調(diào)性 用來比較大小 求函數(shù)最值 解不等式和證明方程根的唯一性 常見判定方法 定義法 取值 作差 變形 定號 其中變形是關鍵 常用的方法有 通分 配方 因式分解 圖象法 復合函數(shù)的單調(diào)性遵循 同增異減 的原則 導數(shù)法 2 奇偶性 若f x 是偶函數(shù) 那么f x f x 若f x 是奇函數(shù) 0在其定義域內(nèi) 則f 0 0 奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性 偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性 1 函數(shù)的性質(zhì) 2 函數(shù)的圖象 1 對于函數(shù)的圖象要會作圖 識圖和用圖 作函數(shù)圖象有兩種基本方法 一是描點法 二是圖象變換法 其中圖象變換有平移變換 伸縮變換和對稱變換 2 在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性 值域 零點時 要注意結合其圖象研究 3 求函數(shù)值域有以下幾種常用方法 1 直接法 2 配方法 3 基本不等式法 4 單調(diào)性法 5 求導法 6 分離變量法 除了以上方法外 還有數(shù)形結合法 判別式法等 4 函數(shù)的零點問題 1 函數(shù)F x f x g x 的零點就是方程f x g x 的根 即函數(shù)y f x 的圖象與函數(shù)y g x 的圖象交點的橫坐標 2 確定函數(shù)零點的常用方法 直接解方程法 利用零點存在性定理 數(shù)形結合 利用兩個函數(shù)圖象的交點求解 5 應用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序 熱點一函數(shù)性質(zhì)的應用 例1 1 已知定義在R上的函數(shù)f x 2 x m 1 m為實數(shù) 為偶函數(shù) 記a f log0 53 b f log25 c f 2m 則a b c的大小關系為 從小到大排序 解析 1 由f x 2 x m 1是偶函數(shù)可知m 0 所以f x 2 x 1 所以a f log0 53 2 log0 53 1 2log23 1 2 b f log25 2 log25 1 2log25 1 4 c f 0 2 0 1 0 所以c a b 答案 1 c a b 2 m 探究提高 1 可以根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性 將所求函數(shù)值轉化為給出解析式的范圍內(nèi)的函數(shù)值 2 利用函數(shù)的對稱性關鍵是確定出函數(shù)圖象的對稱中心 對稱軸 答案 1 1 2 2 探究提高 1 涉及到由圖象求參數(shù)問題時 常需構造兩個函數(shù) 借助兩函數(shù)圖象求參數(shù)范圍 2 圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì) 因此 函數(shù)性質(zhì)的確定與應用及一些方程 不等式的求解常與圖象數(shù)形結合研究 答案 2 0 0 2 觀察圖象可知 兩函數(shù)圖象有2個交點 故函數(shù)f x 有2個零點 答案2 探究提高解決這類問題的常用方法有解方程法 利用零點存在的判定或數(shù)形結合法 尤其是求解含有絕對值 分式 指數(shù) 對數(shù) 三角函數(shù)式等較復雜的函數(shù)零點問題 常轉化為熟悉的兩個函數(shù)圖象的交點問題求解 探究提高利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法 1 利用零點存在的判定定理構建不等式求解 2 分離參數(shù)后轉化為函數(shù)的值域 最值 問題求解 3 轉化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上 下關系問題 從而構建不等式求解 訓練3 2016 泰州調(diào)研 設函數(shù)f x x2 3x 3 a ex a為非零實數(shù) 若f x 有且僅有一個零點 則a的取值范圍為 答案 0 e 3 熱點四函數(shù)的實際應用問題 例4 2016 江蘇卷 現(xiàn)需要設計一個倉庫 它由上下兩部分組成 上部分的形狀是正四棱錐P A1B1C1D1 下部分的形狀是正四棱柱ABCD A1B1C1D1 如圖所示 并要求正四棱柱的高OO1是正四棱錐的高PO1的4倍 1 若AB 6m PO1 2m 則倉庫的容積是多少 2 若正四棱錐的側棱長為6m 則當PO1為多少時 倉庫的容積最大 探究提高 1 關于解決函數(shù)的實際應用問題 首先要在閱讀上下功夫 一般情況下 應用題文字敘述比較長 要耐心 細心地審清題意 弄清各量之間的關系 再建立函數(shù)關系式 然后借助函數(shù)的知識求解 解答后再回到實際問題中去 2 對函數(shù)模型求最值的常用方法 單調(diào)性法 基本不等式法及導數(shù)法 訓練4 2016 南京學情調(diào)研 某市對城市路網(wǎng)進行改造 擬在原有a個標段 注 一個標段是指一定長度的機動車道 的基礎上 新建x個標段和n個道路交叉口 其中n與x滿足n ax 5 已知新建一個標段的造價為m萬元 新建一個道路交叉口的造價是新建一個標段的造價的k倍 1 寫出新建道路交叉口的總造價y 萬元 與x的函數(shù)關系式 2 如果一個奇函數(shù)f x 在原點處有意義 即f 0 有意義 那么一定有f 0 0 1 底數(shù)相同 指數(shù)不同的冪用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較 2 底數(shù)相同 真數(shù)不同的對數(shù)值用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較 3 底數(shù)不同 指數(shù)也不同 或底數(shù)不同 真數(shù)也不同的兩個數(shù) 常引入中