1 2 1集合之間的關系 第一章 1 2集合之間的關系與運算 學習目標1 理解子集 真子集的概念 2 理解集合相等并能用符號和Venn圖表達集合間的關系 3 掌握列舉有限集的所有子集的方法 題型探究 問題導學 內容索引 當堂訓練 問題導學 思考1 知識點一子集與真子集 如果把 馬 和 白馬 視為兩個集合 則這兩個集合中的元素有什么關系 答案 答案所有的白馬都是馬 馬不一定是白馬 思考2 我們知道集合A是它本身的子集 那么如何刻畫至少比A少一個元素的A的子集 答案 答案用真子集 1 子集與真子集 梳理 任意一個 至 少有一個 2 子集的性質 1 規定 空集是的子集 也就是說 對任意集合A 都有 A 2 任何一個集合A都是它本身的 即 3 如果A B B C 則 4 如果A B B C 則 任意一個集合 A A 子集 A C A C 思考 知識點二集合的相等 中國的直轄市 構成的集合記為A 由北京 上海 天津 重慶四個城市構成的集合記為B 請問集合A與集合B的元素有什么關系 你認為集合A與集合B有什么關系 答案 答案A中的元素與B中的元素完全相同 A與B相等 梳理 集合的相等 每一個 每一個 1 一般地 設A x p x B x q x 如果A B 則x A 于是x具有性質p x x具有性質q x 即 反之 如果p x q x 則A一定是B的子集 其中符號 是 推出 的意思 2 如果命題 p x q x 和命題 q x p x 都是正確的命題 這時我們常說 一個命題的條件和結論可以互相推出 互相推出可用符號 表示 于是 上述兩個正確的互逆命題可表示為p x q x 顯然 如果p x q x 則A B 反之 如果A B 則p x q x 知識點三集合關系與其特征性質之間的關系 x B p x q x 題型探究 命題角度1概念間的包含關系例1設集合M 菱形 N 平行四邊形 P 四邊形 Q 正方形 則這些集合之間的關系為A P N M QB Q M N PC P M N QD Q N M P 類型一集合間關系的判斷 解析正方形都是菱形 菱形都是平行四邊形 平行四邊形都是四邊形 故選B 答案 解析 一個概念通常就是一個集合 要判斷概念間的關系首先得準確理解概念的定義 反思與感悟 跟蹤訓練1我們已經知道自然數集 整數集 有理數集 實數集可以分別用N Z Q R表示 用符號表示N Z Q R的關系為 答案 N Z Q R 解析 0 2 0 B 又 1 2 1 B A B 命題角度2數集間的包含關系例2設集合A 0 1 集合B x x3 則A與B的關系為A A BB B AC A BD B A 答案 解析 判斷集合關系的方法 1 觀察法 一一列舉觀察 2 元素特征法 首先確定集合的元素是什么 弄清集合元素的特征 再利用集合元素的特征判斷關系 3 數形結合法 利用數軸或Venn圖 反思與感悟 解析由數軸易知A中元素都屬于B B中至少有一個元素如 2 A 故有A B 跟蹤訓練2已知集合A x 1 x 4 B x x 5 則A A BB A BC B AD B A 答案 解析 例3 1 寫出集合 a b c d 的所有子集 類型二求集合的子集 解答 2 若一個集合有n n N 個元素 則它有多少個子集 多少個真子集 驗證你的結論 解 a b c d a b a c a d b c b d c d a b c a b d a c d b c d a b c d 解若一個集合有n n N 個元素 則它有2n個子集 2n 1個真子集 如 有一個子集 0個真子集 為了羅列時不重不漏 要講究列舉順序 這個順序有點類似于從1到100數數 先是一位數 然后是兩位數 在兩位數中 先數首位是1的等等 反思與感悟 解析這樣的集合A有 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 4 5 1 3 4 5 共15個 跟蹤訓練3適合條件 1 A 1 2 3 4 5 的集合A的個數是A 15B 16C 31D 32 答案 解析 例4已知集合A x x2 x 0 B x ax 1 且A B 求實數a的值 類型三由集合間的關系求參數 或參數范圍 解A x x2 x 0 0 1 當a 0時 B A 符合題意 解答 綜上 a 0或a 1 集合A的子集可分三類 A本身 A的非空真子集 解題中易忽略 反思與感悟 跟蹤訓練4已知集合A x 1 x 2 B x 2a 3 x a 2 且A B 求實數a的取值范圍 解當2a 3 a 2 即a 1時 B A 符合題意 解答 綜上 實數a的取值范圍是 a a 1 當堂訓練 1 下列集合中 結果是空集的是A x R x2 1 0 B x x 6或x 1 C x y x2 y2 0 D x x 6且x 1 答案 2 3 4 5 1 2 集合P x x2 1 0 T 1 0 1 則P與T的關系為A P TB P TC P TD P T 答案 2 3 4 5 1 3 下列關系錯誤的是A B A AC AD A 答案 2 3 4 5 1 4 下列正確表示集合M 1 0 1 和N x x2 x 0 關系的Venn圖是 答案 2 3 4 5 1 5 若A x x a B x x 6 且A B 則實數a可以是A 3B 4C 5D 6 答案 2 3 4 5 1 規律與方法 1 對子集 真子集有關概念的理解 1 集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素 即由x A 能推出x B 這是判斷A B的常用方法 2 不能簡單地把 A B 理解成 A是B中部分元素組成的集合 因為若A 時 則A中不含任何元素 若A B 則A中含有B中的所有元素 3 在真子集的定義中 A B首先要滿足A B 其次至少有一個x B 但xD A 2 集合子集的個數求集合的子集問題時 一般可以按照子集元素個數分類 再依次寫出符合要求的子集 集合的子集 真子集個數的規律為 含n個元素的集合有2n個子集 有2n 1個真子集 有2n 2個非空真子集 寫集合的子集時 空集和集合