章末復習課 網絡構建 1 函數的零點與方程的根的關系函數f x 的零點就是方程f x 0的解 函數f x 的零點的個數與方程f x 0的解的個數相等 也可以說方程f x 0的解就是函數f x 的圖象與x軸交點的橫坐標 即函數f x 的函數值等于0時自變量x的取值 因此方程的解的問題可以轉化為函數問題來解決 討論方程的解所在的大致區間可以轉化為討論函數的零點所在的大致區間 討論方程的解的個數可以轉化為討論函數的零點的個數 核心歸納 2 函數零點的存在性定理 1 該定理的條件是 函數f x 在區間 a b 上的圖象是連續不斷的 f a f b 0 即f a 和f b 的符號相反 這兩個條件缺一不可 2 該定理的結論是 至少存在一個零點 僅僅能確定函數零點是存在的 但是不能確定函數零點的個數 3 函數應用 1 要解決函數應用問題 首先要增強應用函數的意識 一般來說 解決函數應用問題可分三步 第一步 理解題意 弄清關系 第二步 抓住關鍵 建立模型 第三步 數學解決 檢驗模型 其中第二步尤為關鍵 2 在解題中要充分運用數形結合 轉化與化歸 函數與方程等數學思想及策略 尋求解題途徑 3 根據已知條件建立函數解析式是函數應用的一個重要方面 一般分為兩類 一類是借助于生活經驗 函數知識等建立函數模型 以二次函數模型為主 一般是求二次函數的最值 另一類是根據幾何 物理概念建立函數模型 函數的零點與方程的根的關系及應用1 函數的零點與方程的根的關系 方程f x 0有實數根 函數y f x 的圖象與x軸有交點 函數y f x 有零點 2 確定函數零點的個數有兩個基本方法 利用圖象研究與x軸的交點個數或轉化成兩個函數圖象的交點個數進行判斷 要點一函數的零點與方程的根 2 由f x 0得 2x 2 b 在同一坐標系中作出函數y 2x 2 和y b的圖象 如圖所示 由圖可知0 b 2 即若f x 有兩個零點 則b的取值范圍是 0 2 答案 1 2 2 0 2 訓練1 已知關于x的方程a 4x b 2x c 0 a 0 常數a b同號 b c異號 則下列結論中正確的是 A 此方程無實根B 此方程有兩個互異的負實根C 此方程有兩個異號實根D 此方程僅有一個實根 答案D 1 二分法求方程的近似解的步驟 1 構造函數 轉化為求函數的零點 2 明確精確度和函數的零點所在的區間 最好區間左右端點相差1 3 利用二分法求函數的零點 4 歸納結論 要點二二分法求方程的近似解 或函數的零點 2 使用二分法的注意事項 1 二分法的實質是通過 取中點 不斷縮小零點所在區間的范圍 所以要選好計算的初始區間 保證所選區間既符合條件 又使區間長度盡量小 2 計算時注意依據給定的精確度 及時檢驗計算所得的區間是否滿足精確度的要求 3 二分法在具體使用時有一定的局限性 首先二分法只能一次求得一個零點 其次f x 在 a b 內有不變號零點時 不能用二分法求得 例2 設函數f x x3 3x 5 其圖象在 上是連續不斷的 先求值 f 0 f 1 f 2 f 3 所以f x 在區間 內存在一個零點x0 填下表 結論x0的值為多少 精確度0 1 解f 0 5 f 1 1 f 2 9 f 3 31 所以初始區間為 1 2 因為 1 1875 1 125 0 0625 0 1 所以x0 1 125 不唯一 訓練2 若函數f x x3 x2 2x 2的一個正數零點附近的函數值用二分法逐次計算 參考數據如下 f 1 2 f 1 5 0 625 f 1 25 0 984 f 1 375 0 260 f 1 438 0 165 那么方程x3 x2 2x 2 0的一個近似根可以為 精確度為0 1 A 1 2B 1 35C 1 43D 1 5 解析 f 1 438 0 165 0 f 1 375 0 260 0 函數f x 在 1 375 1 438 內存在零點 又1 438 1 375 0 1 結合選項知1 43為方程f x 0的一個近似根 答案C 1 建立恰當的函數模型解決實際問題的步驟 1 對實際問題進行抽象概括 確定變量之間的主被動關系 并用x y分別表示 2 建立函數模型 將變量y表示為x的函數 此時要注意函數的定義域 3 求解函數模型 并還原為實際問題的解 要點三函數的實際應用 2 建模的三個原則 1 簡化原則 建立模型 要對原型進行一定的簡化 抓主要因素 主變量 盡量建立較低階 較簡便的模型 2 可推演原則 建立的模型一定要有意義 既能對其進行理論分析 又能計算和推理 且能推演出正確結果 3 反映性原則 建立的模型必須真實地反映原型的特征和關系 即應與原型具有 相似性 所得模型的解應具有說明現實問題的功能 能回到具體研究對象中去解決問題 3 當0 x 5時 函數f x 0 4 x 4 2 3 6 當x 4時 f x 有最大值為3 6 當x 5時 函數f x 單調遞減 f x f 5 3 2 萬元 綜上 當工廠生產4百臺時 可使盈利最多 為3 6萬元 訓練3 中華人民共和國個人所得稅法 規定 個人所得稅起征點為3500元 即3500元以下不必納稅 超過3500元的部分為當月應納稅所得額 應繳納的稅款按下表分段累計計算 1 列出公民全月工資總額x 0 x 8000 元與當月應繳納