DSE金牌化學專題系列 精典專題系列第3講 函數的性質1、 導入：老人與黑人小孩子 一天，幾個白人小孩在公園里玩。這時，一位賣氫氣球的老人推著貨車進了公園。白人小孩一窩蜂地跑了上去，每人買了一個氣球，興高采烈地追逐著放飛的氣球跑開了。白人小孩的身影消失后，一個黑人小孩怯生生地走到老人的貨車旁，用略帶懇求的語氣問道： “您能賣給我一個氣球嗎?”“當然可以，”老人慈祥地打量了他一下，溫和地說，“你想要什么顏色的?”他鼓起勇氣說：“我要一個黑色的?！蹦樕蠈憹M滄桑的老人驚詫地看了看這個黑人小孩，隨即遞給他一個黑色的氣球。他開心地接過氣球，小手一松，氣球在微風中冉冉升起。老人一邊看著上升的氣球，一邊用手輕輕地拍了拍他的后腦勺，說：“記住，氣球能不能升起，不是因為它的顏色，而是因為氣球內充滿了氫氣?！贝蟮览恚撼删团c出身無關，與信心有關。這個世界是用自信心創造出來的。有自信，積極的面對自己所擁有的一切，這種積極和自信會幫助人登上成功的山頂。二、知識點回顧：1函數的單調性(1)單調函數的定義增函數減函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為I.對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有 ，那么就說函數f(x)在區間D上是增函數當x1x2時，都有 ，那么就說函數f(x)在區間D上是減函數(2)單調性、單調區間的定義若函數f(x)在區間D上是 或 ，則稱函數f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性， 叫做f(x)的單調區間2函數的最值前提設函數yf(x)的定義域為I，存在實數M滿足條件對于任意xI，都有 ；存在x0I，使得 .對于任意xI，都有 ；存在x0I，使得 .結論M為最大值M為最小值1函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有 ，那么函數f(x)是偶函數關于 對稱奇函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有 ，那么函數f(x)是奇函數關于 對稱2周期性(1)周期函數：對于函數yf(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(xT) ，那么就稱函數yf(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個 的正數，那么這個正數就叫做f(x)的最小正周期三、專題訓練：專題一函數單調性的判斷與證明已知函數f(x)，證明函數f(x)在(1，)上為增函數自主解答法一：任取x1，x2(1，)，不妨設x10，又x110，x210，0，于是f(x2)f(x1)0，故函數f(x)在(1，)上為增函數變式訓練：判斷函數f(x)x(a0，x0)的單調性解：法一：函數f(x)x(a0)的定義域為x|x0設x1x20，則f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(1)(x1x2)，當0x2x1時，恒有x1x2a.則f(x1)f(x2)x2時，恒有x1x2a，則f(x1)f(x2)0，故f(x)在，上是增函數綜上所述，函數f(x)在(0，上是減函數，在，)上是增函數 專題二求函數的單調區間 求下列函數的單調區間(1)yx22|x|3； 自主解答(1)依題意，可得當x0時，yx22x3(x1)24；當xf(x2),故函數f(x)在(1，+）上是減函數.專題三利用函數的單調性求最值【例3】已知函數f(x)，x1，)(1)當a4時，求f(x)的最小值；(2)當a時，求f(x)的最小值；(3)若a為正常數，求f(x)的最小值自主解答(1)當a4時，f(x)x2，f(x)1，f(x)在1,2上是減函數，在(2，)上是增函數f(x)minf(2)6.(2)當a時，f(x)x2.易知，f(x)在1，)上為增函數f(x)minf(1).(3)函數f(x)x2在(0，上是減函數，在，)上是增函數若1，即a1時，f(x)在區間1，)上先減后增，f(x)minf()22.若1，即0a1時，f(x)在區間1，)上是增函數，f(x)minf(1)a3.思考：若a0，求f(x)的最小值.解：f(x)x2a0，x0)(1)求證：f(x)在(0，)上是單調遞增函數；(2)若f(x)在，2上的值域是，2，求a的值解：(1)證明：設x2x10，則x2x10，x1x20，f(x2)f(x1)()()0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是單調遞增函數(2)f(x)在，2上的值域是，2，又f(x)在，2上單調遞增，f()，f(2)2，解得a.2、 函數f(x)對任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當x0時，f(x)1.（1）求證：f(x)是R上的增函數；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.專題四函數奇偶性的判定【例4】判斷下列函數的奇偶性(1)f(x)x3；(2)f(x)x2x3； (3)y；(4)f(x).自主解答(1)原函數的定義域為x|x0，并且對于定義域內的每一個x都有f(x)(x)3(x3)f(x)，從而函數f(x)為奇函數(2)由于f(1)2，f(1)0，f(1)f(1)，f(1)f(1)，從而函數f(x)既不是奇函數也不是偶函數 (3)定義域為，不關于原點對稱，該函數不具有奇偶性(4)定義域為R，關于原點對稱，當x0時，f(x)(x)22(x22)f(x)；當x0時，f(x)(x)22(x22)f(x)；當x0時，f(0)0，也滿足f(x)f(x)故該函數為奇函數變式訓練：判斷下列函數的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)|xa|xa|(aR)解：(1)由，得x或x.函數f(x)的定義域為，又對任意的x，x，且f(x)f(x)f(x)0.f(x)既是奇函數，又是偶函數(2)2x2且x0， 函數f(x)的定義域關于原點對稱f(x).又f(x)f(x)f(x)，f(x)為奇函數(3)函數的定義域為(，)，關于原點對稱當a0時，f(x)|xa|xa|xa|xa|f(x)當a0時，f(x)|x|x|0，f(x)f(x)且f(x)f(x)，由上知：當a0時，f(x)是奇函數，當a0時f(x)既是奇函數又是偶函數專題五函數奇偶性的應用【例5】若f(x)是奇函數，當2x0時，f(x)1x2x，當0x2時，求f(x)的解析式自主解答f(x)是奇函數，當0x2時，2x0，求實數m的取值范圍解：由f(m)f(m1)0，得f(m)f(m1)，即f(1m)f(m)又f(x)在0,2上單調遞減且f(x)在2,2上為奇函數，f(x)在2,2上為減函數即解得1m. 專題六函數的周期性【例6】設f(x)是定義在R上的奇函數且對任意實數x，恒有f(x2)f(x)當x0,2時f(x)2xx2.(1)求證：f(x)是周期函數；(2)當x2,4時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)f(1)f(2)f(2011)自主解答(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期為4的周期函數(2)當x2,0時，x0,2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2，又f(x)是奇函數，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又當x2,4時，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期為4的周期函數，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.從而求得x2,4時，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期為4的周期函數，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2008)f(2009)f(2010)f(2011)0.f(0)f(1)f(2)f(2011)0.思考：若將“f(x2)f(x)”改為“f(2x)f(x)”，其它條件不變，如何求解？解：(1)f(2x)f(x)，f(2x)f(x)，,又f(x)為奇函數，,f(2x)f(x)，,f(x)是周期為2的周期函數.(2)當x2,4時，x20,2，又當x0,2時，f(x)2xx2，當x2,4時，f(x2)2(x2)(x2)2x26x8又f(x)是以2為周期的周期函數，f(x)f(x2)x26x8(3)f(0)0，f(1)1，周期T2f(0)f(1)f(2)f(2011)1006f(0)f(1)100611006.變式訓練：已知函數f(x)滿足f(x1)，若f(1)2010，求f(2011)解：f(x1)，f(x2)，f(x4)f(x)，即函數的周期為4.f(1)2010，f(2011)f(20083)f(3).4、 技法巧點總結：1求函數的單調區間(1)利用已知函數的單調性(2)定義法：先求定義域，再利用單調性定義(3)圖象法：如果f(x)是以圖象給出的，或者f(x)的圖象易作出，可直接由圖象的直觀性寫出它的單調區間(4)導數法：利用導函數取值的正負確定原函數的單調區間2求復合函數yfg(x)的單調區間的步驟(1)確定定義域(2)將復合函數分解成基本初等函數：yf(u)，ug(x)(3)分別確定這兩個函數的單調區間(4)若這兩個函數同增或同減，則yfg(x)為增函數；若一增一減，則yfg(x)為減函數，即“同增異減”3解決函數的單調性應注意的兩個問題(1)函數的單調性是一個“區間概念”，如果一個函數在定義域的幾個區間上都是增(減)函數，不能說這個函數在其定義域上是增(減)函數(2)若f(x)與g(x)在定義域內均是增函數(減函數)，那么f(x)g(x)在其公共定義域內是增函數(減函數)4函數奇偶性的判斷及相關性質(1)判斷函數的奇偶性，必須按照函數的奇偶性定義進行，為了便于判斷，常應用定義的等價形式：f(x)f(x)f(x)f(x)0；若函數f(x)是奇函數，且在x0處有定義，則f(0)0.(2)若f(xa)為奇函數f(x)的圖象關于點(a,0)中心對稱；若f(xa)為偶函數f(x)的圖象關于直線xa對稱5函數的周期性的常見結論(1)若函數滿足f(xT)f(x)，由函數周期性的定義可知T是函數的一個周期；(2)若滿足f(xa)f(x)，則f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以2a是函數的一個周期；(3)若滿足f(xa)，則f(x2a)f(xa)af(x)，所以2a是函數的一個周期；(4)若函數滿足f(xa)，同理可得2a是函數的一個周期五、鞏固練習：一、選擇題1(2011海淀模擬)已知偶函數f(x)在區間0，)上單調增加，則滿足f(2x1)f()的x的取值范圍是()A(，)B，)C(，) D，)解析：當2x10，即x時，由于函數f(x)在區間0，)上單調增加，則由f(2x1)f()得2x1，即x，故x；當2x10，即x0，由f(2x1)f()得12x，故x.綜上可知x的取值范圍是(，)答案：A2已知函數f(x)x22axa在區間(，1)上有最小值，則函數g(x)在區間(1，)上一定()A有最小值 B有最大值C是減函數 D是增函數解析：由題意a1，又函數g(x)x2a在，)上為增函數答案：D3若函數f(x)ax(aR)，則下列結論正確的是()AaR，函數f(x)在(0，)上是增函數BaR，函數f(x)在(0，)上是減函數CaR，函數f(x)為奇函數DaR，函數f(x)為偶函數4若奇函數f(x)在區間3,7上是增函數且最大值為5，則f(x)在區間7，3上是()A增函數且最小值是5B增函數且最大值是5C減函數且最大值是5D減函數且最小值是5解析：奇函數關于原點對稱，左右兩邊有相同的單調性，因此函數在區間7，3上單調遞增，最小值是f(7)f(7)5.答案：A5、設函數f(x)是奇函數，且在(0，)內是增函數，又f(3)0，則xf(x)0的解集是 ()Ax|3x3Bx|x3或0x3Cx|x3Dx|3x0或0x3解析：由xf(x)0得或，而f(3)0，f(3)0，即或，因為函數f(x)為奇函數，且在(0，)內是增函數，所以函數在(，0)內也是增函數，故得3x0或0x0時，g(x)在1,2上是減函數，則a的取值范圍是(0,1答案：(0,17設函數f(x)為奇函數，則a_.解析：由題意知，f(1)f(1)0，即2(1a)00，a1.答案：18(2011銀川模擬)已知f(x)是定義在(3,3)上的奇函數，當0x3時，f(x)的圖象如右圖所示，那么不等式xf(x)0的解集為_解析：當0x3時，由圖象知，滿足xf(x)0的解為：0x1，由奇函數的對稱性可求答案：(1,0)(0,1)三、解答題9判斷下列函數的奇偶性，并說明理由(1)f(x)x2|x|1，x1,4；(2)f(x)(x