涉及知識點多、解題過程比較復雜的整數綜合題，以及基本依靠數論手段求解的其他類型問題 1如果把任意n個連續自然數相乘，其積的個位數字只有兩種可能，那么n是多少? 【分析與解】 我們知道如果有5個連 續的自然數，因為其內必有2的倍數，也有5的倍數，則它們乘積的個位數字只能是0。 所以n小于5:當n為4時，如果其內含有5的倍數(個位數字為O或5)，顯然其內含有2的倍數，那么它們乘積的個位數字為0； 如果不含有5的倍數，則這4個連續的個位數字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它們的積的個位數字都是4； 所以，當n為4時，任意4個連續自然數相乘，其積的個位數字只有兩科可能：當n為3時，有123的個位數字為6，234的個位數字為4，345的個位數字為0，不滿足：當n為2時，有12，23，34，45的個位數字分別為2，6，4，0，顯然不滿足 至于n取1顯然不滿足了所以滿足條件的n是4 2如果四個兩位質數a，b，c，d兩兩不同，并且滿足，等式a+b=c+d那么， (1)a+b的最小可能值是多少? (2)a+b的最大可能值是多少? 【分析與解】兩位的質數有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97 可得出，最小為11+19=13+17=30，最大為97+71=89+79=168 所以滿足條件的a+b最小可能值為30，最大可能值為168 3如果某整數同時具備如下3條性質： 這個數與1的差是質數； 這個數除以2所得的商也是質數； 這個數除以9所得的余數是5 那么我們稱這個整數為幸運數求出所有的兩位幸運數 【分析與解】 條件也就是這個數與1的差是2或奇數，這個數只能是3或者偶數，再根據條件，除以9余5，在兩位的偶數中只有14，32，50，68，86這5個數滿足條件 其中86與50不符合，32與68不符合，三個條件都符合的只有14所以兩位幸運數只有144在555555的約數中，最大的三位數是多少?【分析與解】555555=51111001 =357111337顯然其最大的三位數約數為7775從一張長2002毫米，寬847毫米的長方形紙片上，剪下一個邊長盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個邊長盡可能大的正方形按照上面的過程不斷地重復，最后剪得正方形的邊長是多少毫米? 【分析與解】 從長2002毫米、寬847毫米的長方形紙板上首先可剪下邊長為847毫米的正方形，這樣的正方形的個數恰好是2002除以847所得的商而余數恰好是剩下的長方形的寬，于是有：2002847=2308，847308=2231，308231=17723177=3 不難得知，最后剪去的正方形邊長為77毫米 6已知存在三個小于20的自然數，它們的最大公約數是1，且兩兩均不互質請寫出所有可能的答案 【分析與解】 設這三個數為a、b、c，且abc，因為兩兩不互質，所以它們均是合數 小于20的合數有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18其中只含1種因數的合數不滿足，所以只剩下6，10，12，14，15，18這6個數，但是14=27，其中質因數7只有14含有，無法找到兩個不與14互質的數 所以只剩下6，10，12，15，18這5個數存在可能的排列所以，所有可能的答案為(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18) 7把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干組，要求每一組中任意兩個數的最大公約數是1那么最少要分成多少組? 【分析與解】26=213，33=311，34=217，35=57，63=7，85=517，91=713，143=1113 由于質因數13出現在26、91、143三個數中，故至少要分成三組，可以分成如下3組： 將26、33、35分為一組，91、34、33分為一組，而143、63、85分為一組所以，至少要分成3組 8圖10-1中兩個圓只有一個公共點A，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米兩只甲蟲同時從A出發，按箭頭所指的方向以相同的速度分別爬了幾圈時，兩只甲蟲首次相距最遠? 【分析與解】 圓內的任意兩點，以直徑兩端點得距離最遠如果沿小圓爬行的甲蟲爬到A點，沿大圓爬行的甲蟲恰好爬到B點，兩甲蟲的距離便最遠 小圓周長為30=307r，大圓周長為48，一半便是24，30與24的最小公倍數時120 12030=412024=5所以小圓上甲蟲爬了4圈時，大圓上甲蟲爬了5個圓周長，即爬到了過A的直徑另一點B這時兩只甲蟲相距最遠 9設a與b是兩個不相等的非零自然數(1)如果它們的最小公倍數是72，那么這兩個自然數的和有多少種可能的數值?(2)如果它們的最小公倍數是60，那么這兩個自然數的差有多少種可能的數值? 【分析與解】 (1)a與b的最小公倍數72=22233，有12個約數：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72不妨設ab:當a=72時，b可取小于72的11種約數，a+b72+1=73；:當a=36時，b必須取8或24，a+b的值為44或60，均不同第一種情況中的值；：當a=24時，b必須取9或18，a+b的值為33或42，均不同第一、二種情況中的值；當a=18時，b必須取8，a+b=26，不同于第一、二、三種情況的值；：當a=12時，b無解；:當a=9時，b必須取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情況中的值 總之，a+b可以有ll+2+2+1+1=17種不同的值 (2)60=2235，有12個約數：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60a、b為60的約數，不妨設ab ：當a=60時，b可取60外的任何一個數，即可取11個值，于是ab可取11種不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30； 當a=30時，b可取4，12，20，于是ab可取26，18，10；：當a=20時，b可取3，6，12，15，所以ab可取17，14，8，5； 當a=15時，b可取4，12，所以ab可取11，3； : 當a=12時，b可取5，10，所以ab可取7，2總之，ab可以有11+3+4+2+2=22種不同的值 10狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次跳米，黃鼠狼每次跳米，它們每秒鐘都只跳一次比賽途中，從起點開始每隔米設有一個陷阱，當它們之中有一個掉進陷阱時，另一個跳了多少米? 【分析與解】 由于=，= 所以狐貍跳4個米的距離時將掉進陷阱，黃鼠狼跳2個米的距離時，將掉進陷阱 又由于它們都是一秒鐘跳一次，因此當狐貍掉進陷阱時跳了11秒，黃鼠狼掉進陷阱時跳了9秒，因此黃鼠狼先掉進陷阱，此時狐貍跳了9秒. 距離為9=40.5(米)11.在小于1000的自然數中，分別除以18及33所得余數相同的數有多少個?(余數可以為0) 【分析與解】 我們知道18，33的最小公倍數為18，33=198，所以每198個數一次 1198之間只有1，2，3，17，198(余O)這18個數除以18及33所得的余數相同，而999198=59，所以共有518+9=99個這樣的數 12甲、乙、丙三數分別為603，939，393某數A除甲數所得余數是A除乙數所得余數的2倍，A除乙數所得余數是A除丙數所得余數的2倍求A等于多少? 【分析與解】 由題意知4倍393除以A的余數，等于2倍939除以A的余數，等于甲603除以A的余數 即603A=ak；(2939)A=bk；(4393)A=ck 于是有(1878603)A=ba；(18781572)A=bc；(1572603)A=ca 所以A為1275，306，969的約數，(1275，306，969)=173=51 于是，A可能是51，17(不可能是3，因為不滿足余數是另一余數的4倍) 當A為51時，有60351=1142；93951=1821；39351=736不滿足； 當A為17時，有60317=358；93917=554；39317=232；滿足所以，除數4為17 13證明：形如11，111，1111，11111，的數中沒有完全平方數 【分析與解】 我們知道奇數的完全平方數是奇數，偶數的完全平方數為偶數，而奇數的完全平方數除以4余1，偶數的完全平方數能被4整除 現在這些數都是奇數，它們除以4的余數都是3，所以不可能為完全平方數 評注：設奇數為2n+1，則它的平方為+4n+1，顯然除以4余1 14有8個盒子，各盒內分別裝有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44塊甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走已知乙、丙取到的糖的塊數相同且為丁的2倍問：甲取走的一盒中有多少塊奶糖? 【分析與解】 我們知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的塊數是丁所取糖塊數的5倍 八盒糖總塊數為9+17+24+28+30+31+33+44=216 從216減去5的倍數，所得差的個位數字只能是1或6 觀察各盒糖的塊數發現，沒有個位數字是6的，只有一個個位數字是1的數31 因此甲取走的一盒中有3l塊奶糖 15在一根長木棍上，有三種刻度線第一種刻度線將木棍分成10等份；第二種將木棍分成12等份；第三種將木棍分成15等份如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成多少段? 【分析與解】 10，12，15的最小公倍數10，12，15=60，把這根木棍的作為一個長度單位，這樣，木棍10等份的每一等份長6個單位；12等份的每等份長5個單位；15等份的每等份長4單位 不計木棍的兩個端點，木棍的內部等分點數分別是9，11，14(相應于10，12，15等份)，共計34個 由于5，6的最小公倍數為