專題09 微元累積法目錄1過程微元法12. 對象微元法9微元法是一種介于初等數學與高等數學之間的一種處理物理模型問題的方法，其要點是：在對物理問題做整體的考察后，選取該問題過程中的某一微小單元進行分析，通過對微元細節的物理分析和描述，找出該微元所具有的物理性質和運動變化規律，從而獲得解決該物理問題整體的方法。微元法按其研究物理模型問題可分為對象微元法、過程微元法。1過程微元法過程微元法著眼于研究對象物體所經歷的比較復雜的過程，比如，物體的運動不是恒力作用下的勻變速運動，而是變力作用下的變加速運動，這時物體運動的過程復雜，運動過程性規律不甚明了，若從整體著手研究，則難以在高中物理層面展開，不過當我們用過程微元法，把物體的運動過程按其經歷的位移或時間等分為多個小量，將每個微元過程近似為高中物理知識所能處理的過程，在得出每個微元過程的相關結果后，再進行數學求和，這樣就能得到物體復雜運動過程的規律。典例1.質量為m物體從地面以初速度v0豎直上拋，經過t1時間達最高點，在運動過程中受到的阻力f=kv（k是常數），求上升的最大高度。【解析】物體上升過程 針對訓練1.接上題，上題條件不變，物體從最高點下落，當物體到達地面時速度剛好達到最大，求其下落時間t2.【解析】到達地面速度最大值為vm過程中得：【總結與點評】本題上升下落過程受到變化的阻力，加速度變化，需要把物體的運動過程進行微元處理，在每一小段的時間內可以認為加速度一定，再進行時間的累積，就可以求出結果。典例2.如圖所示，頂角的金屬導軌固定在水平面內，導軌處在方向豎直，磁感應強度為的勻強磁場中，一根與垂直的導體棒在水平外力作用下的恒定速度沿導軌向右滑動，導體棒的質量為，導軌與導體棒單位長度的電阻均為，導體棒與導軌接觸點為和，導體棒在滑動過程中始終保持與導軌良好接觸，t0時，導體棒位于頂角處。求 （1）時刻流過導體棒的電流強度和電流方向。（2）導體棒作勻速直線運動時水平外力的表達式。（3）導體棒在時間內產生的焦耳熱。（4）若在時刻將外力撤去，導體棒最終在導軌上靜止時的坐標。【解析】 經時間，導體棒位移 導體棒有效長度 導體棒電動勢 回路總電阻 聯立解得 電流方向 （2=（3）在時刻 ， 聯立解得 為正比例函數關系，作出其圖像，（如圖2）把時間無限小等分，每份內 當線在時間內時間所圍面積。 （4） 撤去外力后，設任意時刻導體棒的坐標為，速度為，把停止前時間無限小等分，每份為， 由動量定理得 ， 把 代入上式得： 當時，棒掃過的面積 將代入 得， 又知： 將聯立得， 【總結與點評】該題中導體棒在斜導軌上運動，隨著導體棒的運動，導體棒的有效長度隨之變化，電阻，電動勢，安培力也隨之變化，如果直接利用有關公式計算無法得出結果，但這里可以利用過程微元法，將物體運動的過程分成很多的小等份，從而解決了“研究過程的選擇”，再輔以力學、電磁學知識，問題得到迎刃而解。針對訓練2.如圖所示3，空間等間距分布著水平方向的條形勻強磁場，豎直方向磁場區域足夠長，磁感應強度，每一條形磁場區域的寬度及相鄰條形磁場區域的間距均為，現有一個邊長，質量、電阻的正方形線框以的初速從左側磁場邊緣水平進入磁場，求（1）線框邊剛進入磁場時受到安培力的大小。（2）線框從開始進入磁場到豎直下落的過程中產生的焦耳熱。（3）線框能穿過的條形磁場區域的個數.【解析】（1）線框邊剛進入磁場時 聯立得 （2）在水平方向，由能量守恒定律得 （3）在水平方向，把部分線框在磁場中變速運動過程微元處理，每一微元的沖量由動量定理得 部分線框在磁場中的變減速運動的位移 將聯立得 線框變減速運動每通過一個條形磁場發生的位移為線框邊長的二倍， 聯立得 （取整數）【總結與點評】本題線框在磁場中受重力和安培力的作用作曲線運動，類似于平拋運動但不同于平拋運動，屬于要求較高的問題。試題中第一問考查載流導體在磁場中的受力情況，屬于考查基礎知識范疇；第二問考查分析運動過程及能量的轉化情況；第三問重點考查利用動量定理和微元法處理物理問題的能力，要求考生有較高的利用數學知識處理物理問題的能力和技巧。三個設問對學生的能力要求逐步遞增，有較好的區分度。本題揭示了“變”與“不變”的內在物理規律，展現了一個新的物理圖景。典例3.如圖所示，間距為l的兩條足夠長的平行金屬導軌與水平面的夾角為，導軌光滑且電阻忽略不計。場強為B的條形勻強磁場方向與導軌平面垂直，磁場區域的寬度為,間距為。兩根質量均為m、有效電阻均為R的導體棒a和b放在導軌上，并與導軌垂直。 (設重力加速度為g) (1)若a進入第2個磁場區域時，b以與a同樣的速度進入第1個磁場區域求b穿過第1個磁場區域過程中增加的動能Ek。(2)若a進入第2個磁場區域時，b恰好離開第1個酷場區域，此后a離開第2個磁場區域時B又恰好進入第2個磁場區域且a、b在任意一個磁場區域或無磁場區域的 運動時間均相等.求a穿過第2個磁場區域過程中，兩導體棒產生的總焦耳熱Q(3)對于第(2)問所述的運動情況，求a穿出第k個磁場區域時的速率v. 【解析】 a和b不受安培力作用，由機械能守恒知 設導體棒剛進入無磁場區域時的速度為，剛離開無磁場區域的速度為，由能量守恒得： 在磁場區域中 在無磁場區域中 解得: 在無磁場區域中,根據勻變速直線運動規律 且平均速度 在磁場區域中棒a受到合力 感應電動勢 感應電流 解得 根據牛頓第二定律，在到時間內 則有 解得 聯立解得 由題意知 【總結與點評】本題考察考生對勻強磁場中的安培力、電磁感應定律、能量守恒和勻加速直線運動的分析綜合能力及以應用數學處理物理問題的能力。第(1)問要求考生理解感應電流產生的條件，直接使用能量守恒定律解決問題。第(2)問要求考生仔細分析棒的物理狀態和運動過程，建立物理模型，從而找到系統能量守恒的物理規律。對考生的分析綜合能力要求較高。第(3)問能將復雜問題分解，綜合運用牛頓運動定律、電磁感應定律和能量守恒定律，應用過程微元法解決問題，是整卷中對考生能力要求最高的一問。針對訓練3.如圖所示，兩平行的光滑金屬導軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導軌間距為l、 足夠長且電阻忽略不計，導軌平面的傾角為，條形勻強磁場的寬度為d，磁感應強度大小為B、方向與導軌平面垂直。長度為2d的絕緣桿將導體棒和正方形的單匝線框連接在一起組成“”型裝置，總質量為m，置于導軌上。導體棒中通以大小恒為I的電流（由外接恒流源產生，圖中未圖出）。線框的邊長為d（d l），電阻為R，下邊與磁場區域上邊界重合。將裝置由靜止釋放，導體棒恰好運動到磁場區域下邊界處返回，導體棒在整個運動過程中始終與導軌垂直。重力加速度為g。求：（1）裝置從釋放到開始返回的過程中，線框中產生的焦耳熱Q；（2）線框第一次穿越磁場區域所需的時間t1 ；（3）經過足夠長時間后，線框上邊與磁場區域下邊界的最大距離m 。 【解析】(1)設裝置由靜止釋放到導體棒運動到磁場下邊界的過程中，作用在線框上的安培力做功為W由動能定理 且 解得 （2）設線框剛離開磁場下邊界時的速度為，則接著向下運動 由動能定理 裝置在磁場中運動時收到的合力感應電動勢 =Bd感應電流 =安培力 由牛頓第二定律，在t到t+時間內，有則有解得 （3）經過足夠長時間后，線框在磁場下邊界與最大距離之間往復運動由動能定理 解得 【總結與點評】第(2)問能將復雜問題分解，綜合運用牛頓運動定律、電磁感應定律和電路知識，應用過程微元法求出運動時間。2. 對象微元法對象微元法主要解決研究對象難以選擇的情形，通常的做法是把實體模型等分為很多很多的等份，研究其一份，運用物理規律，輔以數學方法求解，由此求出整體受力或運動情況，在中學階段比較常見的有類似流體問題、鐵鏈條的連續體模型。典例4.如圖一個圓柱形盛水容器以角速度繞對稱軸勻速轉動，求達到穩定狀態時，水的表面形狀。【解析】模型建構： 水為理想流體，水中各個質元以所在水平面的中心為圓心作圓周運動。數理整合 ： 選取自由面的最底點為坐標原點，建立如圖直角坐標系，在原點外側取截面很小水平液柱為研究對象，水柱長為，截面積為，質量為其右端離其自由面深度為，即自由面上的點坐標液柱的右端壓強= = = 聯立得= 由此可知水的自由面為拋物面。【總結與點評】本題中研究對象的選擇是解決問題的重要環節，在原點外側取截面很小水平液柱為研究對象，從而得出水的曲面的豎向截面方程。針