知識歸納1 命題 1 用語言 符號或式子表達的 可以判斷真假的語句叫做命題 判斷為真的為真命題 判斷為假的為假命題 2 把一個命題表達為 若p 則q 的形式 則p叫做命題的條件 q叫做命題的結論 2 四種命題 1 如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件 那么這兩個命題叫做互逆命題 其中一個叫做原命題 則另一個叫做原命題的逆命題 2 如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定 那么這兩個命題叫做互否命題 其中一個叫做另一個的否命題 3 如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定 那么這兩個命題叫做互為逆否命題 把其中一個叫做原命題 則另一個叫做原命題的逆否命題 一般地 用p和q分別表示原命題的條件和結論 用綈p和綈q分別表示p和q的否定 于是四種命題的形式及關系為 互為逆否的命題等價 同真同假 互逆 或互否 的兩個命題的真假性沒有關系 3 邏輯聯結詞1 邏輯聯結詞或 若p q成立 則p與q至少一個成立 且 若p q成立 則p與q均成立 非 對一個命題的否定 命題p的否定記作綈p 2 不含邏輯聯結詞的命題叫做簡單命題 由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題 叫做復合命題 3 復合命題的真假可通過下面的表來加以判定 記憶方法為 一真 或 為真 一假 且 為假 4 全稱量詞與存在量詞 1 全稱量詞 短語 所有的 任意一個 在陳述句中表示所述事物的全體 在邏輯中通常叫做全稱量詞 用 表示 2 全稱命題 含有全稱量詞的命題叫全稱命題 3 存在量詞 短語 有一個 有些 至少有一個 在陳述句中表述事物的個體或部分 在邏輯中通常叫存在量詞 用 表示 4 存在性命題 含有存在量詞的命題叫存在性命題 5 含有一個量詞的命題的否定 全稱命題p x m p x 它的否定綈p x m 綈p x 是存在性命題 存在性命題p x m p x 它的否定綈p x m 綈p x 是全稱命題 誤區警示1 已知命題p q 寫出復合命題 p或q p且q 時 一定注意所寫命題要符合真值表 2 否命題 與 命題的否定 不是同一概念 否命題 是對原命題 若p則q 既否定其條件 又否定其結論 而 命題p的否定 即非p 只是否定命題p的結論 3 注意對全稱命題的否定與存在性命題的否定的區別 全稱命題的否定是存在性命題 存在性命題的否定是全稱命題 4 討論原命題的逆命題 否命題 逆否命題是在命題為 若p 則q 形式或可改寫為這種形式的前提下進行的 不具備這種形式的命題討論其逆 其否是沒有意義的 故復習本章內容一定要緊扣概念 解題技巧要肯定一個全稱命題是真命題 須對所有可能情形予以考察 窮盡一切可能 但要說明一個全稱命題是假命題 只須舉一個反例即可 例1 給出兩個命題 p x x的充要條件是x為正實數 q 存在反函數的函數一定是單調函數 則下列復合命題中真命題是 a p且qb p或qc 綈p且qd 綈p或q 解析 因為x 0時 x x 所以命題p是假命題 又因為存在反函數的函數不一定是單調函數 如y 所以命題q也是假命題 由此得綈p真 q假 故選d 答案 d點評 1 判斷命題的真假 要先區分是存在性命題還是全稱命題 2 判斷一個全稱命題的真假 若考察了所有可能情況皆成立時 為真命題 若存在一種情形使該命題不成立 則該命題為假命題 3 復合命題的真假判斷可根據真值表進行判斷 2010 北京市東城區 下列四個命題中的真命題為 a x0 z 10 答案 d 例2 文 已知命題p x r sinx 1 則 a 綈p x r sinx 1b 綈p x r sinx 1c 綈p x r sinx 1d 綈p x r sinx 1解析 利用含有量詞的命題否定形式知選c 答案 c 理 函數f x 對一切實數x y均有f x y f y x 2y 1 x成立 且f 1 0 1 求f 0 的值 2 當f x 2 logax x 0 恒成立時 求a的取值范圍 下列命題中 真命題的個數是 指數函數與對數函數都是單調函數 對任意實數a b 不等式 a b a b 總成立 存在實數a 使為正整數 有的素數是偶數 a 1個b 2個c 3個d 4個 答案 d 例3 命題 平行四邊形的對角線相等且互相平分 是 a 簡單命題b p q 形式的復合命題c p q 形式的復合命題d 綈p 形式的復合命題解析 因 相等且平分 包含兩個同時成立的結論 所以是 p q 形式的命題 其中p 平行四邊形的對角線相等 q 平行四邊形的對角線互相平分 選c 答案 c 下列命題中的真命題是 p q 為真是 p q 為真的充分不必要條件 p q 為假是 p q 為真的充分不必要條件 p q 為真是 綈p 為假的必要不充分條件 綈p 為真是 p q 為假的必要不充分條件 a b c d 解析 p q 為真 p真且q真 p q 為真 p q 為真 p真或q真 p q 為真 故 為真命題 排除c d p q 為假 p假或q假 p q 為真 故 為假命題 排除a 故選b 答案 b 例4 命題 對任意的x r x3 x2 1 0 的否定是 a 不存在x r x3 x2 1 0b 存在x r x3 x2 1 0c 存在x r x3 x2 1 0d 對任意的x r x3 x2 1 0解析 原命題是 對所有的實數x都有x3 x2 1 0 命題的否定 存在x r 使x3 x2 1 0 故選c 答案 c 09 天津 命題 存在x0 r 2x0 0 的否定是 a 不存在x0 r 2x0 0b 存在x0 r 2x0 0c 對任意的x r 2x 0d 對任意的x r 2x 0解析 命題 存在x0 r 2x0 0 的否定是 對任意的x r 2x 0 答案 d 點評 1 命題的否定是否定命題的結論 否命題既否定條件也否定結論 2 全稱命題的否定是存在性命題 存在性命題的否定是全稱命題 3 a或b 的否定綈 a b 為綈a且綈b a且b 的否定綈 a b 為綈a或綈b 例5 給出以下四個命題 若ab 0 則a 0或b 0 若a b 則am2 bm2 在 abc中 若sina sinb 則a b 在一元二次方程ax2 bx c 0中 若b2 4ac 0 則方程有實數根 其中原命題 逆命題 否命題 逆否命題全都是真命題的是 a b c d 分析 在原命題及其逆命題 否命題 逆否命題中 由于原命題與其逆否命題等價 其逆命題與其否命題等價 故判斷四個命題的真假時 只要判斷其中的兩個就可以下結論 只要判斷出一個為假 則淘汰 原命題真 否命題若ab 0 則a 0且b 0 顯然錯誤 因為在ab 0時 可能是abm2不成立 在 abc中 sina sinb a b 原命題錯誤 b2 4ac 0時 方程無實根 故正確選項為c 答案 c 命題 若a b 則a 1 b 2 的逆否命題是 a 若a 1 b 2 則a bb 若ab 2 則a bd 若a b 則a 1 b 2解析 原命題的條件a b的否定a b作為結論 原命題的結論a 1 b 2的否定 a 1 b 2作為條件 故a正確 答案 a 一 選擇題1 2010 湖南理 下列命題中的假命題是 a x r 2x 1 0b x n x 1 2 0c x r lgx 1d x r tanx 2 答案 b 解析 當x 1時 x 1 2 0 b是假命題 2 給出命題 若函數y f x 是冪函數 則函數y f x 的圖象不過第一象限 在它的逆命題 否命題 逆否命題三個命題中 真命題的個數是 a 3b 2c 1d 0 答案 c 解析 原命題是真命題 故它的逆否命題是真命題 它的逆命題為假命題 故它的否命題為假命題 因此在它的逆命題 否命題 逆否命題中的真命題只有一個 3 2010 浙江金麗衢十二校聯考 下列命題錯誤的是 a 命題 若x2 3x 2 0 則x 1 的逆否命題為 若x 1 則x2 3x 2 0 b