2020 2 12 1 西南科技大學工業工程與設計系 朱伏平 2020 2 12 2 2020 2 12 3 統計學是一門有關統計數據的科學 它提供了探索數據內在規律的一套方法 通過對數據得收集和分析 找出內在的數學規律 一般來說 包括以下幾類問題 一 參數估計的基本問題 Thebasicparameterestimationproblems 未知分布函數的估計 參數估計 統計假設檢驗 點估計 區間估計 參數估計的幾類問題 矩估計法 最大似然估計法 2020 2 12 4 統計量是用樣本構造的函數 它包含了樣本中的信息 因而可以用統計量的值來推斷總體參數 如均值 方差 成數等 統計量 設X1 X2 Xn為總體X的一個樣本 g X1 X2 Xn 為一連續函數 若g中不含未知參數 為一個統計量 設x1 x2 xn是一組樣本觀察值 稱 g x1 x2 xn 是統計量g X1 X2 Xn 的一個觀察值 則稱 g X1 X2 Xn 2020 2 12 5 點估計的概念設 是總體X分布的未知數 是用X的樣本構造的統計量 的一個觀察值 去估計未知參數 的真值 參數 的點估計 為 的估計量 為 的一個估計值 由于估計量是隨機變量 抽取不同的樣本 其取值是各不相同的 用一個特定樣本對總體未知參數所作的估計 僅是所有可能估計值中的一個點 故稱為點估計 稱為 并稱統計量 2020 2 12 6 2020 2 12 7 2020 2 12 8 參數的點估計 Thepointestimateparameters 常用的兩種點估計方法 矩估計法和最大似然估計法 1矩估計法 基本思想 樣本X1 Xn作為總體的一個代表 由其構成的樣本一定程度上反映了總體矩 由大數定理知 樣本矩依概率收斂于總體矩 因此只要總體X的K階原點矩存在 就可以用樣本矩作為相應的總體矩的估計量 按矩估計法 樣本均值是總體均值的估計量 即 2020 2 12 9 樣本方差S2是總體方差的估計量 即 備注 矩估計法的優缺點 優點 簡單 直觀 并且不必知道總體的分布類型 廣泛應用 缺點 首先它要求總體的k階原點矩存在 否則無法估計 其次它不考慮總體分布類型 不利于充分利用總體分布函數所提供的信息 2020 2 12 10 統計學中對矩的定義 所謂的k階原點矩和k階中心矩 對于離散情形下 是取和之后再平均 而對于連續情況 取而代之的則是積分 而原點矩和中心矩的區別就在于對數據的處理上的不同 原點矩描述的是數據在原點0處附近的特性 中心矩則描述的是數據在其平均值附近的特性 二者的關系就好比如概率論中期望與方差的關系 2020 2 12 11 設某種元件的壽命X N 2 其中 2未知 現隨機測得10個元件的壽命如下 小時 1502 1453 1367 1108 16501213 1208 1480 1550 1700試估計 和 2 解 使用excel中 AVERAGE VARP功能可得 例1 產品壽命均值和方差的估計 2020 2 12 12 2020 2 12 13 2020 2 12 14 2020 2 12 15 2020 2 12 16 2020 2 12 17 1 無偏性 為未知參數 的估計量 則稱 為 的無偏估計量 無偏性是對估計量的最基本要求 無偏估計將不會出現系統性的估計偏差 不難證明 對任意總體X 和樣本 方差S2分別是總體均值和總體方差的無偏估計 估計量的優良準則 簡稱無偏估計 若 樣本均值 樣本比例也是總體比例的無偏估計 2020 2 12 18 2020 2 12 19 有效性是衡量估計量最重要的標準 對給定的樣本容量 有效估計是所有無偏估計量中估計誤差最小的 是參數 的兩個無偏估計 若 有效 容量 是 所有無偏估計中方差最小的 是 的最小方差無偏估計 2 有效性 對固定的樣本 若 則稱 也稱為 的有效估計 樣本均值和樣本比例 都是總體均值和總體比例的有效估計 而對正態總體 樣本方差也是總體方差的有效估計 可以證明 對任意總體 2020 2 12 20 2020 2 12 21 3 一致性 設是參數的估計量 對于任意給定的 當時有則稱為的一致估計量 2020 2 12 22 2020 2 12 23 2020 2 12 24 二 假設檢驗 1 參數假設檢驗在總體的分布函數已知 但參數未知時 如對總體分布中的未知參數提出假設 則如何利用樣本提供的信息來檢驗這個假設 即接受此假設還是拒絕此假設 這類統計問題我們稱之為參數的假設檢驗問題 參數估計和參數檢驗是利用樣本對總體的統計特性提供的信息 建立樣本的函數 即估計量或檢驗統計量 是從不同角度處理總體未知參數的兩種統計方法 2020 2 12 25 2020 2 12 26 假設檢驗的基本思想 設總體為 建立假設這里表示原假設 表示備擇假設 假設檢驗問題 就是要建立一個合理的法則 根據這一法則 利用已知樣本作出接受原假設 即拒絕備擇假設 還是拒絕原假設 即接受備擇假設 的決策 2020 2 12 27 判斷 假設 的依據 實際推斷原理 概率很小的事件在一次試驗中幾乎是不會發生的 如果原假設為真 則由一次抽樣計算而得的樣本觀測值 滿足不等式此事件幾乎是不會發生的 現在在一次觀測中竟然出現了滿足上述不等式的樣本均值 則我們有理由懷疑原來的假設的正確性 因而拒絕原假設 若出現的觀測值不滿足上述不等式 此時沒有足夠的理由拒絕 因此只能接受原假設 2020 2 12 28 2020 2 12 29 2020 2 12 30 2020 2 12 31 兩類錯誤 在使用任何一個檢驗法 相當于確定一個拒絕域 時 由于抽樣的隨機性 作出的判斷總可能會犯兩類錯誤 一是假設實際上為真時 我們卻作出拒絕的錯誤決策 稱這類 棄真 的錯誤為第一類錯誤 二是當實際上不真時 我們卻接受了 稱這類 取偽 的錯誤為第二類錯誤 我們這里討論的檢驗問題中的顯著性水平控制了犯第一類錯誤的概率 這種只對犯第一類錯誤的概率加以控制 而不考慮犯第二類錯誤的檢驗問題 稱為顯著性檢驗問題 2020 2 12 32 2020 2 12 33 2020 2 12 34 2020 2 12 35 2020 2 12 36 參數假設檢驗問題的步驟 第一步 根據實際問題的要求 提出原假設和備擇假設 第二步 給定顯著性水平以及樣本容量 第三步 確定檢驗統計量及其分布 并由原假設的內容確定拒絕域的形式 構建統計量 第四步 由 拒絕 為真 求出拒絕域 第五步 根據樣本觀測值計算檢驗統計量的具體值 第六步 作出拒絕還是接受原假設的統計判斷 2020 2 12 37 2020 2 12 38 2020 2 12 39 2020 2 12 40 2020 2 12 41 2020 2 12 42 三 區間估計 2020 2 12 43 2020 2 12 44 2020 2 12 45 2020 2 12 46 2020 2 12 47 2020 2 12 48 2020 2 12 49 2020 2 12 50 單個正態總體下參數的假設檢驗 已知 關于的檢驗 Z檢驗 檢驗統計量 可以根據假設檢驗的不同類型 確定檢驗問題的拒絕域 四 方差已知的正態總體均值的推斷 2020 2 12 51 例某廠生產某種型號的內胎 從長期的生產經驗知道其扯斷強力服從均值 1380 N 標準差 50 N 的正態分布 該廠為提高產品的質量 改變了原來的配方進行現場生產試驗 設新配方生產的內胎其扯斷強力仍服從正態分布 由于在試驗中除配方外 其他條件都保持不變 因此可以認為新配方未改變此型號內胎扯斷強力的方差 采用新配方的5次試驗 測得內胎扯斷強力為 單位 N 1450 1460 1360 1430 1420 試問采用新配方 是否能提高內胎的扯斷強力 顯著性水平為 0 1 2020 2 12 52 解對這個假設檢驗問題 需要檢驗假設形如這樣的假設檢驗 稱為右邊檢驗 類似也有左邊檢驗 此檢驗問題的拒絕域的形式為查表得 而經計算得 從而有 即 據此 拒絕原假設 2020 2 12 53 2020 2 12 54 2020 2 12 55 正態總體 未知 關于的檢驗 小樣本 t檢驗 檢驗統計量 可以根據假設檢驗的不同類型 確定此檢驗問題的拒絕域 五 方差未知的正態總體均值的推斷 2020 2 12 56 例某種元件 按照標準其使用壽命不低于1000 小時 現從生產出的一批元件中隨機抽取25件 測得其平均壽命為950 小時 樣本標準差為100 小時 假設該種元件壽命服從正態分布 對于置信度95 試問這批元件是否可以認為合格 解此問題即要檢驗拒絕域的形式為而由已知可得 又 即 故拒絕原假設 認為這批元件不合格 2020 2 12 57 2020 2 12 58 2020 2 12 59 2020 2 12 60 六 正態總體方差的推斷 2020 2 12 61 無論已知或未知 建立假設 檢驗統計量 拒絕域 或 2020 2 12 62 設某種元件的壽命X N 2 其中 2未知 現隨機測得10個元件的壽命如下 小時 1502 1453 1367 1108 16501213 1208 1480 1550 1700試估計 和 2 求例中元件壽命方差 2的95 置信區間 解 使用計算器的SD功能可得 例 產品壽命方差的估計 2020 2 12 63 解 由上頁 S2 196 52 n 10 2 0 025 1 2 0 975 故所求 2的置信區間為 135 22 358 82 n 1 S2 n 1 S2 9 196 52 19 023 9 196 52 2 7 135 22 358 82 2020 2 12 64 這里討論的是在大樣本 樣本容量 情形下總體均值和總體比率的假設檢驗 總體均值和總體比率的假設檢驗這里利用中心極限定理 在樣本容量充分大時 樣本均值近似服從正態分布 從而可以構造相應的檢驗統計量和確定出檢驗問題的拒絕域 這部分內容 請同學們下去自己看教材P38 P40 六 非正態總體參數的推斷 2020 2 12 65 前面的分析都是在給定的樣本容量和樣本數據下求置信區間 但在實際應用中 應當在隨機抽樣前就確定所需抽取的樣本容量 抽取的樣本容量過大 雖然可以提高統計推斷的精度 但將增加不必要的人力 物力 費用和時間開支 如果抽取的樣本容量過小 則又會使統計推斷的誤差過大 推斷結果就達不到必要的精度要求 確定樣本容量的原則 在滿足所需的置信度和允許誤差條件 置信區間的d值 下 確定所需的最低樣本容量 七 樣本容量的確定 2020 2 12 66 總體均值區間估計時樣本容量的確定 在給定置信度和允許誤差d的條件下 由 可得 其中總體標準差或樣本標準差也是未知的 通常可以先通過小規模抽樣作出估計 由于使用的是近似公式 可知實際采用的最低樣本容量應比計算結果稍大 2020 2 12 67 2020