2 3 3直線與圓的位置關系 一 直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系有三種 如圖所示 1 直線與圓相交 有兩個公共點 2 直線與圓相切 有一個公共點 3 直線與圓相離 沒有公共點 二 直線與圓的位置關系的判定 如果直線l和圓c的方程分別為 ax by c 0 x2 y2 dx ey f 0 則直線與圓的位置關系的判定有兩種方法 1 代數法判斷直線與圓的位置關系 如果直線l和圓c有公共點 由于公共點同時在直線l和圓c上 所以公共點的坐標一定是這兩個方程的公共解 反之如果這兩個方程有公共解 那么 以公共解為坐標的點必是直線l和圓c的公共點 由l和c的方程聯立方程組 可以用消元法將方程組轉化為一個關于x 或y 的一元二次方程 若方程有兩個不相等的實數根 0 則直線與圓相交 若方程有兩個相等的實數根 0 則直線與圓相切 若方程無實數根 0 則直線與圓相離 2 幾何法判斷直線與圓的位置關系 如果直線l和圓c的方程分別為 ax by c 0 x a 2 y b 2 r2 若dr時 直線l和圓c相離 例1 已知圓的方程是x2 y2 2 直線方程是y x b 當b為何值時 圓與直線有兩個公共點 只有一個公共點 沒有公共點 解法1 所求曲線公共點問題可以轉化為b為何值時 方程組 有兩組不同的實數解 有兩組相同的實數解 無實數解的問題 代入 整理得2x2 2bx b2 2 0 方程 的判別式 2b 2 4 2 b 2 4 b 2 b 2 當 20 方程組有兩組不同的實數解 因此直線與圓有兩個公共點 當b 2或b 2時 0 方程組有兩組相同的實數解 因此直線與圓只有一個公共點 當b2時 0 方程組沒有實數解 因此直線與圓沒有公共點 解法2 圓與直線有兩個公共點 只有一個公共點 沒有公共點的問題 可以轉化為b為何值時 圓心到直線的距離小于半徑 等于半徑 大于半徑的問題 圓的半徑r 圓心 0 0 到直線y x b的距離為 當d r時 即 2 b 2時 圓與直線相交 有兩個公共點 當d r時 即b 2或b 2時 圓與直線相切 直線與圓有一個公共點 當d r時 即b2時 圓與直線相離 直線與圓沒有公共點 例2 已知圓的方程是x2 y2 r2 求過圓上一點m x0 y0 的切線方程 解 如果x0 0且y0 0 則直線om的方程為y 從而過m點的圓的切線的斜率為 因此所求的圓的切線方程為 化簡得x0 x y0y x02 y02 因為點 x0 y0 在圓上 所以x02 y02 r2 所以過圓x2 y2 r2上一點 x0 y0 的圓的切線方程為x0 x y0y r2 如果x0 0 或y0 0 我們容易驗證 過點m x0 y0 的切線方程也可以表示為x0 x y0y r2的形式 因此 所求的切線方程為x0 x y0y r2 三 圓的切線的求法 直線與圓相切 切線的求法 1 當點 x0 y0 在圓x2 y2 r2上時 切線方程為x0 x y0y r2 2 若點 x0 y0 在圓 x a 2 y b 2 r2上時 切線方程為 x0 a x a y0 b y b r2 3 斜率為k且與圓x2 y2 r2相切的切線方程為 斜率為k且與圓 x a 2 y b 2 r2相切的切線方程的求法 先設切線方程為y kx m 然后變成一般式kx y m 0 利用圓心到切線的距離等于半徑來列出方程求m 4 點 x0 y0 在圓外面 則切線方程為y y0 k x x0 再變成一般式 因為與圓相切 利用圓心到直線距離等于半徑 解出k 注意若此方程只有一個實根 則還有一條斜率不存在的直線 務必要補上 四 直線與圓相交的弦長公式 平面幾何法求弦長公式 如圖所示 直線l與圓相交于兩點a b 線段ab的長即為直線l與圓相交的弦長 設弦心距為d 圓的半徑為r 弦長為ab 則有 即ab 例3 直線l經過點p 5 5 且和圓c x2 y2 25相交 截得弦長為4 求l的方程 解 設 oh 是圓心到直線l的距離 oa 是圓的半徑 ah 是弦長 ab 的一半 在rt aho中 oa 5 ah ab 2 所以 oh 即 解得k 或k 2 所以直線l的方程為x 2y 5 0 或2x y 5 0 oh 練習題 1 直線x y m與圓x2 y2 m m 0 相切 則m a b c d 2 d 2 曲線與直線y k x 2 4有兩個交點 則實數k的取值范圍是 a b c d d 3 圓心為 1 2 半徑為2的圓在x軸上截得的弦長為 a 8 b 6 c 6 d 4 a 4 直線x y 1被圓x2 y2 2x 2y 7 0所截得線段的中點是 a b 0 0 c d a 5 以點p 4 3 為圓心的圓與直線2x y 5 0相離 則圓p的半徑r的取值范圍是 a 0 2 b 0 c 0 2 d 0 10 c 6 已知曲線5x2 y2 5 0與直線2x y m 0無交點 則m的取值范圍是 1 m 1 7 由點p 1