作業 115頁3 4 6 12 13 第三節 一 三重積分的概念 二 三重積分的計算 三重積分的概念與計算 第九章 一 三重積分的概念 類似二重積分解決問題的思想 采用 引例 設在空間有界閉區域 內分布著某種不均勻的 物質 求分布在 內的物質的 可得 大化小 常代變 近似和 求極限 解決方法 質量M 密度函數為 定義 設 存在 稱為體積元素 若對 作任意分割 任意取點 則稱此極限為函數 在 上的三重積分 在直角坐標系下常寫作 下列 乘積和式 極限 三重積分的性質 1 線性性質 單調性 積分估值公式 2 區域可加性 4 微元法 5 對稱奇偶性 二 三重積分的計算 1 利用直角坐標計算三重積分 方法1 投影法 先一后二 方法2 截面法 先二后一 方法1 投影法 先一后二 投影法 三次積分法 設區域 利用投影法結果 把二重積分化成二次積分即得 適用范圍 由平面圍成的情況 其中 為三個坐標 例 計算三重積分 所圍成的閉區域 解 面及平面 計算 其中由錐面 及平面圍成 解 例2 化為三次積分 由曲面 及平面圍成 解 如圖 所以 曲面與xOy坐標面交于x軸和y軸 例1 方法2 截面法 先二后一 特別適用于積分區域中一坐標的范圍易獲得 截面范圍易表示的情況 其中 為三個坐標 例3 計算三重積分 所圍成的閉區域 面及平面 軸和圍成的等腰直角三角形 所以 注 此題可用投影法求解 計算三重積分 解 則 而 原式 例4 例 計算三重積分 解 用 先二后一 補充 三重積分對稱性 補充 三重積分對稱性 2 奇偶對稱性 解 積分域關于三個坐標面都對稱 被積函數是的奇函數 球面關于xoy面對稱 解 1 將 用三次積分表示 其中 由 所 提示 思考與練習 六個平面 圍成 3 設 計算 提示 利用對稱性 原式 奇函數 tobecontinue 作業 115頁3 4 6 12 13 換元法 三重積分也有類似二重積分的換元積分公式 體積元素 一一對應 雅可比行列式 利用柱坐標計算三重積分 就稱為點M的柱坐標 直角坐標與柱面坐標的關系 圓柱面 平面 半平面 圓柱面 半平面 平面 在柱面坐標下 若 從小到大邊界到邊界 則有 在投影區域上做極坐標變換 例 計算三重積分 解 在柱面坐標系下 所圍成 與平面 其中 由拋物面 原式 4 計算 其中 解 利用對稱性 利用球坐標計算三重積分 就稱為點M的球坐標 直角坐標與球面坐標的關系 在球面坐標系中 從小到大 從邊界到邊界 體積元素為 化為三次積分 求的體積 解 球面方程為 在球坐標系下方程為 所以 例6 內容小結 積分區域多由坐標面 被積函數形式簡潔 或 說明 三重積分也有類似二重積分的換元積分公式 對應雅可比行列式為 變量可分離 圍成 2計算 其中 為雙曲面 錐面 及柱面 圍成 思考與練習 3 設 由錐面 和球面 所圍成 計算 提示 利用對稱性 用球坐標 其中由錐面 平面圍成 解法 用投影法 計算 例5 計算三重積分 解 在球面坐標系下 所圍立體 其中 與球面 例6 求曲面 所圍立體體積 解 由曲面方程可知 立體位于xoy面上部 立體體積為 yoz面對稱