一次函數與方程、不等式教學設計 東良中學 王軍霞【教學目標】 1.知識與技能（1）理解一次函數與方程、不等式的關系；（2）會根據一次函數的圖象解決問題。2.過程與方法通過探索，初步掌握用函數的觀點看待方程的方法。3.情感態度和價值觀實例引入，激發學生學習數學的興趣，增強學生學習數學、探索數學奧秘的意愿。【教學重點】一次函數與方程、不等式的關系?！窘虒W難點】利用圖象解決方程、不等式的問題。【教學方法】自學與小組合作學習相結合的方法?！菊n前準備】教學課件。【課時安排】1課時【教學過程】一、情景導入【過渡】上節課我們學習了一次函數的相關性質?，F在，我有一個問題，想要考一下大家。（1）解方程5x+10=0。（2）當自變量x為何值時，函數y=5x+10的值為0？【過渡】這兩個問題其實都特別簡單，大家觀察這兩個問題，有什么發現嗎？這兩個問題有什么聯系呢？（學生回答）【過渡】其實，這兩個問題在本質上是一樣的問題，這就展示了方程與函數的關系，今天我們就來探究一下函數與方程及不等式之間的關系。21世紀教育網版權所有二、新課教學1一次函數與方程【過渡】經過剛剛的問題，我們再來看一下課本P96的思考題。仔細觀察這三個方程，你能發現什么？這三個方程等號左邊都是2x+1，等號右邊分別是3、0、-1?！具^渡】結合我們之前學習的一次函數，你能發現這兩者之間有什么聯系嗎？（學生回答）【過渡】通過對比，我們發現，這三個方程可以看做是一次函數y=2x+1函數值分別為3，0，-1的情況，即當y分別等于3、0、-1時，x的取值。而這三個方程的解則分別對應著此時自變量的值，即圖象上A，B，C三點的橫坐標。21因此，我們做出函數圖象，能夠得到與方程的解相同的數，即是方程的解。這也就是一次函數與一元一次方程的關系。21cnjy【過渡】對于任何的一元一次方程來說，一元一次方程都可以轉化為kx+b=c的形式。求解方程的解時，也就是求y=kx+b，當y=c時，自變量x的值。對于任意一個一元一次方程ax+b=0(a0)，它有唯一解，我們可以把這個方程的解看成函數y=ax+b的函數值為0時，與之對應的自變量的值，也就是函數與x軸的交點。因此，從不同的角度，我們可以總結一元一次方程與一次函數的關系：從數的角度看：求ax+b=c的解，就是求x為何值時，y=ax+b的函數值為0。從圖象的角度看：方程的解是函數y=ax+b圖象與x軸交點的橫坐標。【過渡】學習了一次函數與方程的關系之后，我們再來看一次函數與不等式之間的聯系。講解課本思考內容?！具^渡】我們同樣發現，不等式的求解，同樣可以與一次函數相聯系：對于任意一個一元一次不等式ax+b0(a0)，我們可以把這個不等式的解集看成函數y=ax+b當y0時自變量x的取值范圍21世紀*教育網從數的角度看：求ax+b0或ax+b0的解,也就是,x為何值時，函數y=ax+b的值大于或小于0;從圖象的角度看: 求ax+b0就是自變量x為何值時直線y=ax+b的圖象在x軸上方; 求ax+b0就是自變量x為何值時直線y=ax+b的圖象在x軸下方。www-2-1-cnjy-com【過渡】這種一元一次方程和不等式可以通過一次函數的關系求解，那么對于二元一次方程來說，是否有同樣的練習呢？【過渡】我們先來看課本的問題3。【過渡】通過題意，我們能夠知道氣球上升的時間在0與60min之間，即x的取值范圍，兩個氣球的關系式都能夠很輕易的寫出。21*cnjy*com對于第二個問題，對于到達同一高度，我們能夠很簡單的想到，兩個函數解析式的函數值相等就是達到同一高度。我們需要同時求出x和y的值。大家第一時間想到的是什么方法呢？（學生回答）【過渡】二元一次方程組就是解決這個問題的方法，我們將兩個函數解析式當做二元一次方程組，然后求解，就能夠得到我們需要的答案?！緛碓矗?1cnj*y.co*m】【過渡】剛剛的一元一次方程，我們采用了函數圖象的解決方法，那么這里我們能用函數圖象去解決問題嗎？【過渡】我們在同一個直角坐標系中作出兩個函數的圖象，根據題意，兩個圖象的交點就是我們所求的值。每個二元一次方程都可以改寫為y=kx+b的形式，于是一個二元一次方程組也對應兩條直線。從數的角度看：解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數的值相等，以及這個函數值是何值；從形的角度看：解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標?！局R鞏固】1、直線y=2x+b與x軸的交點坐標是（2，0），則關于x的方程2x+b=0的解是（A）Ax=2Bx=4Cx=8Dx=102、直線y=-3x-3與x軸的交點坐標是 (-1,0) ，不等式-3x-30的解集是 x-1 。3、當x 2 時，直線y=-x+2上的點在x軸的下方。4、畫出函數y=- 1/2 x+2/3 的圖象，給合圖象回答問題（1）這個函數中，隨著自變量x的增大，函數值y是增大還是減??？它的圖象從左到右怎樣變化？（2）當x取何值時，y0，y=0，y0？（3）當y3/2 時，求x的取值范圍。解：如圖所示：（1）根據圖象可得隨著自變量x的增大，函數值y增大，它的圖象從左到右呈上升趨勢；（2）根據圖象可得x-3時y0；x=-3時y=0，x-3時，y0；（3）根據圖象可得y 3/2 時x05、如圖所示的是函數y1=kx+b與y2=mx+n的圖象，ykx+bymx+n（1）方程 的解是 x=3，y=4 ；21教育網（2）y1中變量y1隨x的增大而 減小 ；（3）在平面直角坐標系中，將點P（3，4）向下平移1個單位，恰好在正比例函數的圖象上，求這個正比例函數的關系式y=6、某單位計劃國慶組織員工到泰山旅游，人數估計在1025人之間，甲、乙兩個旅行團服務質量相同，且組到泰山的價格都是每人200元，該單位聯系時，甲旅行社表示可給予游客七五折優惠；乙旅行社表示可免去1人費用，其余人8折優惠 。 2-1-c-n-j-y （1）分別寫出選擇甲、乙旅行社所需費用y（元）與人數x（人）之間的函數關系 （2）設y表示選擇乙旅行社比甲旅行社多付費用，寫出y與x的函數關系式解：（1）設人數為X,甲旅行社費用為，乙旅行社費用，并且有10x25。 =0.75200x ， =0.8200（x-1） 得： =150x ， =160x-160 （2）如果， 則150x 160x-160 ， x 16 ；如果， ，則150x 160x-160 ， x 16 ；如果， = ，則150x=160x-160 ， x=16 ；因為10x25所以 當x=16甲乙兩家的旅游總費用一樣； 當10x16甲家比乙家便宜； 當 16x 25乙家比甲家便宜【達標檢測】1、一次函數y=kx+b（k0）的圖象如圖所示，當y0時，x的取值范圍是（C）A. x0 B. x0C. x2 D. x22、如果實數k，b滿足kb0且不等式kxb的解集是xb /k ，那么函數y=kx+b的圖象只可能是（A）【來源：21世紀教育網】A BC D 3、設一次函數y=-x+3，當0x3時，函數y的最小值是 0 4、已知一次函數y=（4m+1）x-（m+1） （1）m為何值時，y隨x的增大而減?。浚?）m為何值時，直線與y軸的交點在x軸下方？（3）m為何值時，直線位于第二、三、四象限？ 解：（1）一次函數y=（4m+1）x-（m+1），y隨x的增大而減小，4m+10，解得：m- 1/4，答：當m-1/4 時，y隨x的增大而減小（2）一次函數y=（4m+1）x-（m+1），直線與y軸的交點在x軸下方，-（m+1）0，解得：m-1，且m-1/4 ，答：當m-1且m- 1/4 時，直線與y軸的交點在x軸下方（3）一次函數y=（4m+1）x-（m+1），直線位于第二、三、四象限，4m+10且-（m+1）0，解得：-1m- 1/4 ，答：當：-1m-1/4時，直線位于第二、三、四象限。5、在直角坐標系中，直線l1經過（2，3）和（-1，-3），直線l2經過原點O，且與直線l1交于點P（-2，a）21cnjycom（1）求a的值；（2）（-2，a）可看成怎樣的二元一次方程組的解？（3）設直線l1與y軸交于點A，你能求出APO的面積嗎？解：（1）直線l1經過（2，3）和（-1，-3），2k+b3； k+b3解得：k2；b1，直線l1的解析式為：y=2x-1，把P（-2，a）代入y=2x-1得：a=2（-2）-1=-5；（2）設L2的解析式為y=kx，把P（-2，-5）代入得-5=-2k，解得k=5/2 ，所以L2的解析式為y=5/2 x，所以點（-2，-5）可以看作是解二元一次方程組y2x1y5/2x所得；（3）對于y=2x-1，令x=0，解得y=-1，則A點坐標為（0，-1），所以SAPO=21=1【板書設計】1、一次函數與方程：2、一次函數與不等式?！窘虒W反思】通過兩個問題提問，學生看出一次函數與一元一次方程的關系，創設情境，引出一次函數與方程有一定的關系，使學生主動投入到一次函數與方程、不等式關系的探索活動中；緊接著，用一連串的問題引導學生自主探索、合作交流，從數和形