8.1.2向量數量積的運算律(教師獨具內容)課程標準：理解掌握數量積的性質和運算律，并能運用性質和運算律進行簡單的應用教學重點：向量數量積的性質與運算律及其應用教學難點：平面向量數量積的運算律的證明.【知識導學】知識點平面向量數量積的運算律已知向量a，b，c與實數，則交換律abba結合律(a)b(ab)a(b)分配律(ab)cacbc【新知拓展】對向量數量積的運算律的幾點說明(1)向量數量積不滿足消去律：設a，b，c均為非零向量且acbc，不能得到ab.事實上，如圖所示，a，b，c，ABOC于D，可以看出，a，b在向量c上的投影分別為|a|cosAOD，|b|cosBOD，此時|b|cosBOD|a|cosAODOD.即acbc.但很顯然ba.(2)向量的數量積不滿足乘法結合律：一般地，向量的數量積(ab)ca(bc)，這是由于ab，bc都是實數，(ab)c表示與c方向相同或相反的向量，a(bc)表示與a方向相同或相反的向量，而a與c不一定共線1判一判(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)對于向量a，b，c等式(ab)ca(bc)恒成立()(2)若abac，則bc，其中a0.()(3)(ab)(ab)a2b2.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)已知|a|2，b在a上的投影的數量為2，則a(ab)_.(2)已知|a|3，|b|4，則(ab)(ab)_.(3)已知|a|6，|b|8，a，b120，則|a2b2|_，|ab|_，|a2b2|_.答案(1)8(2)7(3)282100題型一 求向量的夾角例1已知單位向量e1，e2的夾角為60，求向量ae1e2，be22e1的夾角解設a，b的夾角為，單位向量的夾角為60，e1e2|e1|e2|cos60.ab(e1e2)(e22e1)e1e2e2e2e1e2e2ee1e212，|a| .|b| .cos.0，120.金版點睛求向量a，b夾角的思路(1)解題流程(2)解題思想：由于|a|，|b|及ab都是實數，因此在涉及有關|a|，|b|及ab的相應等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量已知|a|3，|b|5，|ab|7，求ab及a與b的夾角解|ab|7，(ab)2a22abb2|a|22ab|b|2342ab49，ab.設a與b的夾角為，則cos.又0，故a與b的夾角60.題型二 求向量的模例2已知x1是方程x2|a|xab0的根，且a24，a，b120.求：(1)向量b的模；(2)向量b的模解(1)a24，|a|24，即|a|2.把x1代入方程x2|a|xab0，得1|a|ab0，ab3，則ab|a|b|cosa，b2|b|cos1203，|b|3.(2)由(1)知|b|3，|b|b|3|.金版點睛極化恒等式求模長(1)兩個結論(ab)2a22abb2；(ab)(ab)a2b2.證明(ab)2(ab)(ab)aaabbabba22abb2.(ab)(ab)aaabbabba2b2.說明：下列結論也是成立的：(ab)2a22abb2，(ab)(cd)acadbcbd.(2)由上述結論，我們不難得到4ab(ab)2(ab)2，即ab(ab)2(ab)2我們把該恒等式稱為“極化恒等式”(3)應用向量數量積的運算律求向量的模的方法求模問題一般轉化為求模平方，與向量數量積聯系，并靈活應用a2|a|2，勿忘記開方一些常見的等式應熟記，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等提醒：向量的模是非負實數；一個向量自身的數量積，等于它模的平方(1)已知|a|6，|b|1，ab9，則a，b()A120B150C60D30(2)已知|a|b|5，向量a與b的夾角為，求|ab|，|ab|.答案(1)B(2)見解析解析(1)cosa，b，又0a，b180，所以a，b150，故選B.(2)解法一：|ab| 5.|ab| 5.解法二：以a，b為鄰邊作ABCD，設AC，BD相交于點E，如圖所示|a|b|且DAB，ABD為正三角形，|ab|5，|ab|2|2 2 5.題型三 用向量數量積解決垂直問題例3已知平面上三個向量a，b，c的模均為1，它們相互之間的夾角為120，求證：(ab)c.證明證法一：|a|b|c|1，且a，b，c之間的夾角均為120，(ab)cacbc|a|c|cos120|b|c|cos1200.(ab)c.證法二：如圖，設a，b，c，連接AB，AC，BC的三條線段圍成正三角形ABC，O為ABC的中心，OCAB.又ab，(ab)c.金版點睛要解決的問題是用向量表示，它往往對應一個幾何圖形；如果是幾何的形式表示，它往往對應一個向量關系式要善于發現這二者之間的關系，從一種形式轉化為另一種形式，用哪種形式解決問題方便就選用哪種形式若O為ABC所在平面內一點，且滿足()(2)0，則ABC的形狀為()A正三角形B直角三角形C等腰三角形DA，B，C均不是答案C解析由()(2)0，得()0，又，()()0，即|2|20.|.ABC為等腰三角形1若向量a的方向是正北方向，向量b的方向是西偏南30方向，且|a|b|1，則(3a)(ab)等于()A.BC.D答案B解析由題意知a與b的夾角為120，ab.(3a)(ab)3a23ab.2若向量a與b的夾角為60，|b|4，(a2b)(a3b)72，則向量a的模是()A2B4C6D12答案C解析(a2b)(a3b)a2ab6b2|a|2|a|461672.解得|a|6.3已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|ab|等于()A1B.C.D2答案A解析|ab|1.4已知a，b，c為單位向量，且滿足3ab7c0，a與b的夾角為，則實數_.答案8或5解析由3ab7c0，可得7c(3ab)，則49c29a22b26ab.由a，b，c為單位向量，得a2b2c21，則49926cos，即23400，解得8或5.5已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，(1)求a與b的夾角