湖南省湘潭市鳳凰中學(xué)2014年高中物理培訓(xùn)資料 物系相關(guān)速度講義 新人教版必修1國(guó)內(nèi)、外中學(xué)物理競(jìng)賽中多見求解物系相關(guān)速度，或解題的“瓶頸”卡在物系相關(guān)速度的試題，這類問題往往敘述簡(jiǎn)潔而條件隱蔽，情景相像而方法各異，使參賽者思路混沌，無從入手例如：類型1質(zhì)量分別為1、2和3的三個(gè)質(zhì)點(diǎn)、位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸長(zhǎng)的柔軟輕繩和連接，為銳角，如圖-所示今有一沖量沿方向作用于質(zhì)點(diǎn)，求質(zhì)點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度（全國(guó)中學(xué)物理競(jìng)賽試題） 圖5-1圖5-類型2繩的一端固定，另一端纏在圓筒上，圓筒半徑為，放在與水平面成角的光滑斜面上，如圖-所示當(dāng)繩變?yōu)樨Q直方向時(shí)，圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為（此時(shí)繩未松弛），試求此刻圓筒軸的速度、圓筒與斜面切點(diǎn)的速度（全國(guó)中學(xué)生奧林匹克物理競(jìng)賽試題）類型3直線以大小為1的速度沿垂直于ab的方向向上移動(dòng)，而直線cd以大小為2的速度沿垂直于的方向向左上方移動(dòng)，兩條直線交角為，如圖5-所示求它們的交點(diǎn)的速度大小與方向（全國(guó)中學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽試題） 圖5-圖5-以上三例展示了三類物系相關(guān)速度問題類型1求的是由桿或繩約束物系的各點(diǎn)速度；類型2求接觸物系接觸點(diǎn)速度；類型3則是求相交物系交叉點(diǎn)速度三類問題既有共同遵從的一般規(guī)律，又有由各自相關(guān)特點(diǎn)所決定的特殊規(guī)律，我們?nèi)裟茏プ∷鼈兊墓残耘c個(gè)性，解決物系相關(guān)速度問題便有章可循 首先應(yīng)當(dāng)明確，我們討論的問題中，研究對(duì)象是剛體、剛性球、剛性桿或拉直的、不可伸長(zhǎng)的線等，它們都具有剛體的力學(xué)性質(zhì)，是不會(huì)發(fā)生形變的理想化物體，剛體上任意兩點(diǎn)之間的相對(duì)距離是恒定不變的；任何剛體的任何一種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)都是由平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)復(fù)合而成的如圖5-所示，三角板從位置移動(dòng)到位置，我們可以認(rèn)為整個(gè)板一方面做平動(dòng)，使板上點(diǎn)移到點(diǎn)，另一方面又以點(diǎn)為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)、點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)由于前述剛體的力學(xué)性質(zhì)所致，點(diǎn)、及板上各點(diǎn)的平動(dòng)速度相同，否則板上各點(diǎn)的相對(duì)位置就會(huì)改變這里，我們稱點(diǎn)為基點(diǎn)分析剛體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，基點(diǎn)可以任意選擇于是我們得到剛體運(yùn)動(dòng)的速度法則：剛體上每一點(diǎn)的速度都是與基點(diǎn)速度相同的平動(dòng)速度和相對(duì)于該基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和我們知道轉(zhuǎn)動(dòng)速度，是轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，剛體自身轉(zhuǎn)動(dòng)角速度則與基點(diǎn)的選擇無關(guān) 根據(jù)剛體運(yùn)動(dòng)的速度法則，對(duì)于既有平動(dòng)又有轉(zhuǎn)動(dòng)的剛性桿或不可伸長(zhǎng)的線繩，每個(gè)時(shí)刻我們總可以找到某一點(diǎn)，這一點(diǎn)的速度恰是沿桿或繩的方向，以它為基點(diǎn)，桿或繩上其他點(diǎn)在同一時(shí)刻一定具有相同的沿桿或繩方向的分速度（與基點(diǎn)相同的平動(dòng)速度）因此，我們可以得到下面的結(jié)論 結(jié)論1桿或繩約束物系各點(diǎn)速度的相關(guān)特征是：在同一時(shí)刻必具有相同的沿桿或繩方向的分速度 我們?cè)賮硌芯拷佑|物系接觸點(diǎn)速度的特征由剛體的力學(xué)性質(zhì)及“接觸”的約束可知，沿接觸面法線方向，接觸雙方必須具有相同的法向分速度，否則將分離或形變，從而違反接觸或剛性的限制至于沿接觸面的切向接觸雙方是否有相同的分速度，則取決于該方向上雙方有無相對(duì)滑動(dòng)，若無相對(duì)滑動(dòng)，則接觸雙方將具有完全相同的速度因此，我們可以得到下面的結(jié)論 結(jié)論2接觸物系接觸點(diǎn)速度的相關(guān)特征是：沿接觸面法向的分速度必定相同，沿接觸面切向的分速度在無相對(duì)滑動(dòng)時(shí)相同 相交物系交叉點(diǎn)速度的特征是什么呢?我們來看交叉的兩直線、，如圖5-所示，設(shè)直線不動(dòng)，當(dāng)直線沿自身方向移動(dòng)時(shí)，交點(diǎn)并不移動(dòng)，而當(dāng)直線沿直線的方向移動(dòng)時(shí)，交點(diǎn)便沿直線移動(dòng)，因交點(diǎn)亦是直線上一點(diǎn)，故與直線具有相同的沿直線方向的平移速度同理，若直線固定，直線移動(dòng)，交點(diǎn)的移動(dòng)速度與直線沿直線方向平動(dòng)的速度相同根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成原理，當(dāng)兩直線、各自運(yùn)動(dòng)，交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分別是兩直線沿對(duì)方直線方向運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)于是我們可以得到下面的結(jié)論結(jié)論3線狀相交物系交叉點(diǎn)的速度是相交雙方沿對(duì)方切向運(yùn)動(dòng)分速度的矢量和 這樣，我們將剛體的力學(xué)性質(zhì)、剛體運(yùn)動(dòng)的速度法則運(yùn)用于三類相關(guān)速度問題，得到了這三類相關(guān)速度特征，依據(jù)這些特征，并運(yùn)用速度問題中普遍適用的合成法則、相對(duì)運(yùn)動(dòng)法則，解題便有了操作的章法 下面我們對(duì)每一類問題各給出3道例題，展示每一條原則在不同情景中的應(yīng)用 例1如圖5-所示，桿的端以速度做勻速運(yùn)動(dòng)，在桿運(yùn)動(dòng)時(shí)恒與一靜止的半圓周相切，半圓周的半徑為，當(dāng)桿與水平線的交角為時(shí)，求桿的角速度及桿上與半圓相切點(diǎn)的速度 圖5-6分析與解考察切點(diǎn)的情況由于半圓靜止，桿上點(diǎn)速度的法向分量為零，故點(diǎn)速度必沿桿的方向以點(diǎn)為基點(diǎn)，將桿上點(diǎn)速度分解成沿桿方向分量1和垂直于桿方向分量2（如圖5-所示），則1是點(diǎn)與點(diǎn)相同的沿桿方向平動(dòng)速度，2是點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，故可求得點(diǎn)的速度為 1，又2由題給幾何關(guān)系知，點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為 ，代入前式中即可解得 (2)/() 例2如圖5-8所示，合頁構(gòu)件由三個(gè)菱形組成，其邊長(zhǎng)之比為321，頂點(diǎn)3以速度沿水平方向向右運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)構(gòu)件所有角都為直角時(shí)，頂點(diǎn)2的速度b2 分析與解頂點(diǎn)2作為21桿上的一點(diǎn)，其速度是沿21桿方向的速度1及垂直于21桿方向速度1的合成；同時(shí)作為桿22上的一點(diǎn)，其速度又是沿22桿方向的速度2及垂直于22桿方向的速度2的合成由于兩桿互成直角的特定條件，由圖5-顯見，21，12故頂點(diǎn)2的速度可通過1、2速度的矢量和求得，而根據(jù)桿的約束的特征，得 1(/)1；2(/)2，于是可得 由幾何關(guān)系可知 123010203，則1/，2(/)，由此求得b2(/) 圖5-10上述解析，我們是選取了速度為沿桿方向的某一點(diǎn)為基點(diǎn)來考察頂點(diǎn)2的速度的當(dāng)然我們也可以選取其他合適的點(diǎn)為基點(diǎn)來分析如圖5-所示，若以1、2點(diǎn)為基點(diǎn)，則2點(diǎn)作為21桿上的點(diǎn)，其速度是與1點(diǎn)相同的平動(dòng)速度1和對(duì)1點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度1之合成，同時(shí)2點(diǎn)作為22桿上的點(diǎn)，其速度是與2點(diǎn)相同的平動(dòng)速度2和對(duì)2點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度2之合成，再注意到題給的幾何條件，從矢量三角形中由余弦定理得 而由矢量圖可知 n1(/)（a2a1），代入前式可得b2(/) 兩解殊途同歸 例3如圖5-11所示，物體置于水平面上，物體上固定有動(dòng)滑輪,為定滑輪，一根輕繩繞過滑輪、后固定在點(diǎn)，段水平當(dāng)以速度拉繩頭時(shí)，物體沿水平面運(yùn)動(dòng)，若繩與水平面夾角為，物體運(yùn)動(dòng)的速度是多大? 圖5-11分析與解首先根據(jù)繩約束特點(diǎn)，任何時(shí)刻繩段上各點(diǎn)有與繩端相同的沿繩段方向的分速度，再看繩的這個(gè)速度與物體移動(dòng)速度的關(guān)系：設(shè)物體右移速度為x，則相對(duì)于物體(或動(dòng)滑輪b的軸心)，繩上點(diǎn)的速度為x，即bax，方向沿繩bd方向；而根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成法則，在沿繩bd方向上，繩上b點(diǎn)速度是相對(duì)于參照系(或動(dòng)滑輪b的軸心)的速度x與參照系對(duì)靜止參照系速度x的合成，即bax；由上述兩方面可得 x/() 例4如圖5-所示，半徑為的半圓凸輪以等速沿水平面向右運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)從動(dòng)桿沿豎直方向上升，為凸輪圓心，為其頂點(diǎn)求當(dāng)時(shí)，桿的速度 圖5-12圖5-13分析與解這是接觸物系相關(guān)速度問題由題可知，桿與凸輪在點(diǎn)接觸，桿上點(diǎn)速度是豎直向上的，輪上點(diǎn)的速度0是水平向右的，根據(jù)接觸物系觸點(diǎn)速度相關(guān)特征，兩者沿接觸面法向的分速度相同，如圖5-13所示，即 0，則0故桿的速度為0 例5如圖5-14所示，纏在線軸上的繩子一頭搭在墻上的光滑釘子上，以恒定的速度拉繩，當(dāng)繩與豎直方向成角時(shí)，求線軸中心的運(yùn)動(dòng)速度o設(shè)線軸的外徑為，內(nèi)徑為，線軸沿水平面做無滑動(dòng)的滾動(dòng) 分析與解當(dāng)線軸以恒定的速度v拉繩時(shí)，線軸沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)從繩端速度到軸心速度o，是通過繩、軸相切接觸相關(guān)的考察切點(diǎn)的速度：本題中繩與線軸間無滑動(dòng)，故繩上點(diǎn)與軸上點(diǎn)速度完全相同，即無論沿切點(diǎn)法向或切向，兩者均有相同的分速度圖5-是軸上點(diǎn)與繩上點(diǎn)速度矢量圖：軸上點(diǎn)具有與軸心相同的平動(dòng)速度o及對(duì)軸心的轉(zhuǎn)動(dòng)速度（為軸的角速度），那么沿切向軸上點(diǎn)的速度為osin；而繩上點(diǎn)速度的切向分量正是沿繩方向、大小為速度，于是有關(guān)系式，即 o又由于線軸沿水平地面做純滾動(dòng)，故與水平地面相切點(diǎn)的速度為零，則軸心速度為 o，由、兩式可解得 o()/() 若繩拉線軸使線軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，o()/()，請(qǐng)讀者自行證明 例6如圖5-所示，線軸沿水平面做無滑動(dòng)的滾動(dòng)，并且線端點(diǎn)速度為，方向水平以鉸鏈固定于點(diǎn)的木板靠在線軸上，線軸的內(nèi)、外徑分別為和試確定木板的角速度與角的關(guān)系 圖5-16圖5-17分析與解設(shè)木板與線軸相切于點(diǎn)，則板上點(diǎn)與線軸上點(diǎn)有相同的法向速度n，而板上點(diǎn)的這個(gè)法向速度正是點(diǎn)關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，如圖-17所示，即 n(/) 現(xiàn)在再來考察線軸上點(diǎn)的速度：它應(yīng)是點(diǎn)對(duì)軸心的轉(zhuǎn)動(dòng)速度n和與軸心相同的平動(dòng)速度o的矢量和，而n是沿點(diǎn)切向的，則點(diǎn)法向速度n應(yīng)是 no 又由于線軸為剛體且做純滾動(dòng)，故以線軸與水平面切點(diǎn)為基點(diǎn)，應(yīng)有 /()o/將、兩式代入式中，得 ()/() 例7如圖5-18所示，水平直桿在圓心為、半徑為的固定圓圈上以勻速豎直下落，試求套在該直桿和圓圈的交點(diǎn)處一小滑環(huán)的速度，設(shè)與豎直方向的夾角為 分析與解當(dāng)小環(huán)從圓圈頂點(diǎn)滑過圓心角為的一段弧時(shí)，據(jù)交叉點(diǎn)速度相關(guān)特征，將桿的速度沿桿方向與圓圈切線方向分解，則的速度為 / 例8如圖5-所示，直角曲桿繞軸在如圖5-19所示的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，使套在其上的光滑小環(huán)沿固定直桿滑動(dòng)已知10，曲桿的角速度.，求時(shí)，小環(huán)的速度 圖5-19圖5-20分析與解本題首先應(yīng)該求出交叉點(diǎn)作為桿上一點(diǎn)的速度，而后根據(jù)交叉點(diǎn)速度相關(guān)特征，求出該速度沿方向的分量即為小環(huán)速度 由于剛性曲桿以為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故其上與直桿交叉點(diǎn)的速度方向垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)半徑、大小是10將其沿、方向分解成兩個(gè)分速度，如圖5-20所示，即得小環(huán)的速度為 10cms 例9