1 2011201120112011 考研數學基礎班概率論與數理統計講義考研數學基礎班概率論與數理統計講義 第一章第一章隨機事件和概率隨機事件和概率 第一節第一節基本概念基本概念 1 1 排列組合初步 排列組合初步 1 1 排列組合公式 排列組合公式 nm m P n m 從 m 個人中挑出 n 個人進行排列的可能數 nmn m C n m 從 m 個人中挑出 n 個人進行組合的可能數 例 1 1 方程 xxx CCC 765 10 711 的解是 A 4B 3C 2D 1 例 1 2 有 5 個隊伍參加了甲 A 聯賽 兩兩之間進行循環賽兩場 試問總共的場次是多少 2 2 加法原理 兩種方法均能完成此事加法原理 兩種方法均能完成此事 m nm n 某件事由兩種方法來完成 第一種方法可由 m 種方法完成 第二種方法可由 n 種方法來完成 則這件事可由 m n 種方法來完成 3 3 乘法原理 兩個步驟分別不能完成這件事乘法原理 兩個步驟分別不能完成這件事 m m n n 某件事由兩個步驟來完成 第一個步驟可由 m 種方法完成 第二個步驟可由 n 種方法來完成 則這件事可由 m n 種方法來完成 例 1 3 從 5 位男同學和 4 位女同學中選出 4 位參加一個座談會 要求與會成員中既有男同學又有女同學 有 幾種不同的選法 例 1 4 6 張同排連號的電影票 分給 3 名男生和 3 名女生 如欲男女相間而坐 則不同的分法數為多少 例 1 5 用五種不同的顏色涂在右圖中四個區域里 每一區域涂上一種顏色 且相鄰區域的顏色必須不同 則 共有不同的涂法 A 120 種B 140 種C 160 種D 180 種 4 4 一些常見排列一些常見排列 1特殊排列 相鄰 彼此隔開 順序一定和不可分辨 例 1 6 晚會上有 5 個不同的唱歌節目和 3 個不同的舞蹈節目 問 分別按以下要求各可排出幾種不 2 同的節目單 3 個舞蹈節目排在一起 3 個舞蹈節目彼此隔開 3 個舞蹈節目先后順序一定 例 1 7 4 幅大小不同的畫 要求兩幅最大的排在一起 問有多少種排法 例 1 8 5 輛車排成 1 排 1 輛黃色 1 輛藍色 3 輛紅色 且 3 輛紅車不可分辨 問有多少種排法 2重復排列和非重復排列 有序 例 1 9 5 封不同的信 有 6 個信箱可供投遞 共有多少種投信的方法 3對立事件 例 1 10 七人并坐 甲不坐首位 乙不坐末位 有幾種不同的坐法 例 1 11 15 人中取 5 人 有 3 個不能都取 有多少種取法 例 1 12 有 4 對人 組成一個 3 人小組 不能從任意一對中取 2 個 問有多少種可能性 4順序問題 例 1 13 3 白球 2 黑球 先后取 2 球 放回 2 白的種數 有序 例 1 14 3 白球 2 黑球 先后取 2 球 不放回 2 白的種數 有序 例 1 15 3 白球 2 黑球 任取 2 球 2 白的種數 無序 2 2 隨機試驗 隨機事件及其運算 隨機試驗 隨機事件及其運算 1 1 隨機試驗和隨機事件 隨機試驗和隨機事件 如果一個試驗在相同條件下可以重復進行 而每次試驗的可能結果不止一個 但在進行一次試驗之前卻不能斷言 它出現哪個結果 則稱這種試驗為隨機試驗 試驗的可能結果稱為隨機事件 例如 擲一枚硬幣 出現正面及出現反面 擲一顆骰子 出現 1 點 5 點和出現偶數點都是隨機事件 電話接線員在上午 9 時到 10 時接到的電話呼喚次數 泊松分布 對某一目標發射一發炮彈 彈著點到目標 的距離為 0 1 米 0 5 米及 1 米到 3 米之間都是隨機事件 正態分布 在一個試驗下 不管事件有多少個 總可以從其中找出這樣一組事件 它具有如下性質 1 每進行一次試驗 必須發生且只能發生這一組中的一個事件 2 任何事件 都是由這一組中的部分事件組成的 這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件 用 來表示 例如 n L 21 離散 基本事件的全體 稱為試驗的樣本空間 用 表示 一個事件就是由 中的部分點 基本事件 組成的集合 通常用大寫字母A B C 表示事件 它們是 的子集 如果某個 是事件A的組成部分 即這個 在事件A中出現 記為A 如果在一次試驗中所出現的 有 A 則稱在這次試驗中事件A發生 如果 不是事件A的組成部分 就記為A 在一次試驗中 所出現的 有A 則稱此次試驗A沒有 發生 為必然事件 為不可能事件 2 2 事件的關系與運算 事件的關系與運算 關系 如果事件 A 的組成部分也是事件B的組成部分 A發生必有事件B發生 BA 如果同時有BA AB 則稱事件A與事件B等價 或稱A等于B A B A B中至少有一個發生的事件 AUB 或者A B 3 屬于A而不屬于B的部分所構成的事件 稱為A 與 B的差 記為A B 也可表示為A AB或者BA 它表示A 發生而B不發生的事件 A B同時發生 AIB 或者AB AIB 則表示 A 與 B 不可能同時發生 稱事件 A 與事件 B 互不相容或者互 斥 基本事件是互不相容的 A 稱為事件 A 的逆事件 或稱 A 的對立事件 記為A 它表示 A 不發生的事件 互斥未必對立 運算 結合率 A BC AB CA B C A B C 分配率 AB C A C B C A B C AC BC 德摩根率 UI 11i i i iAA BABAIU BABAUI 例 1 16 一口袋中裝有五只乒乓球 其中三只是白色的 兩只是紅色的 現從袋中取球兩次 每次一只 取出 后不再放回 寫出該試驗的樣本空間 若 表示取到的兩只球是白色的事件 表示取到的兩只球是紅色的 事件 試用 表示下列事件 1 兩只球是顏色相同的事件C 2 兩只球是顏色不同的事件D 3 兩只球中至少有一只白球的事件E 例 1 17 硬幣有正反兩面 連續拋三次 若 Ai表示第 i 次正面朝上 用 Ai表示下列事件 1 前兩次正面朝上 第三次正面朝下的事件C 2 至少有一次正面朝上的事件D 3 前兩次正面朝上的事件E 3 3 概率的定義和性質 概率的定義和性質 1 1 概率的公理化定義 概率的公理化定義 設 為樣本空間 A為事件 對每一個事件A都有一個實數 P A 若滿足下列三個條件 1 0 P A 1 2 P 1 3 對于兩兩互不相容的事件 1A 2A 有 11 i i i iAPAP U 常稱為可列 完全 可加性 則稱 P A 為事件A的概率 2 2 古典概型 等可能概型 古典概型 等可能概型 1 n L 21 2 n PPP n 1 21 L 設任一事件A 它是由 m L 21 組成的 則有 P A 21m ULUU 21m PPP L n m 基本事件總數 所包含的基本事件數A 4 例 1 18 集合 A 中有 100 個數 B 中有 50 個數 并且滿足 A 中元素與 B 中元素關系 a b 10 的有 20 對 問任意 分別從 A 和 B 中各抽取一個 抽到滿足 a b 10 的 a b 的概率 例 1 19 5 雙不同顏色的襪子 從中任取兩只 是一對的概率為多少 例 1 20 在共有 10 個座位的小會議室內隨機地坐上 6 名與會者 則指定的 4 個座位被坐滿的概率是 A 14 1 B 13 1 C 12 1 D 11 1 例 1 21 3 白球 2 黑球 先后取 2 球 放回 2 白的概率 有序 例 1 22 3 白球 2 黑球 先后取 2 球 不放回 2 白的概率 有序 例 1 23 3 白球 2 黑球 任取 2 球 2 白的概率 無序 注意 事件的分解 放回與不放回 順序問題 4 4 五大公式 加法 減法 乘法 全概 貝葉斯 五大公式 加法 減法 乘法 全概 貝葉斯 1 1 加法公式 加法公式 P A B P A P B P AB 當 P AB 0 時 P A B P A P B 例 1 24 從 0 1 9 這十個數字中任意選出三個不同的數字 試求下列事件的概率 A 三個數字中不含 0 或者不含 5 2 2 減法公式 減法公式 P A B P A P AB 當 B A 時 P A B P A P B 當 A 時 P B 1 P B 例 1 25 若 P A 0 5 P B 0 4 P A B 0 3 求 P A B 和 P A B 例 1 26 對于任意兩個互不相容的事件 A 與 B 以下等式中只有一個不正確 它是 A P A B P A B P A B P A P A B 1 C P A B P A P B D P A B A B P A E p BA P A P A B 3 3 條件概率和乘法公式 條件概率和乘法公式 定義 設 A B 是兩個事件 且 P A 0 則稱 AP ABP 為事件 A 發生條件下 事件 B 發生的條件概率 記為 ABP AP ABP 條件概率是概率的一種 所有概率的性質都適合于條件概率 例如 P B 1 P B A 1 P B A 乘法公式 ABPAPABP 更一般地 對事件 A1 A2 An 若 P A1A2 An 1 0 則有 21 AAP nA 213121AAAPAAPAP 21 AAAPn 1 nA 例 1 27 甲乙兩班共有 70 名同學 其中女同學 40 名 設甲班有 30 名同學 而女生 15 名 問在碰到甲班同學 時 正好碰到一名女同學的概率 例 1 28 5 把鑰匙 只有一把能打開 如果某次打不開就扔掉 問以下事件的概率 5 第一次打開 第二次打開 第三次打開 4 4 全概公式 全概公式 設事件 nBBB 21L 滿足 1 nBBB 21L 兩兩互不相容 2 1 0 niBPiL 2 U n i iBA 1 則有 2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP L 此公式即為全概率公式 例 1 29 播種小麥時所用的種子中二等種子占 2 三等種子占 1 5 四等種子占 1 其他為一等種子 用 一等 二等 三等 四等種子播種長出的穗含 50 顆以上麥粒的概率分別為 0 5 0 15 0 1 0 05 試求種子所 結的穗含有 50 顆以上麥粒的概率 例 1 30 甲盒內有紅球 4 只 黑球 2 只 白球 2 只 乙盒內有紅球 5 只 黑球 3 只 丙盒內有黑球 2 只 白球 2 只 從這三只盒子的任意一只中任取出一只球 它是紅球的概率是 A 0 5625B 0 5C 0 45D 0 375E 0 225 例 1 31 100 個球 40 個白球 60 個紅球 不放回先后取 2 次 第 2 次取出白球的概率 第 20 次取出白球的 概率 5 5 貝葉斯公式 貝葉斯公式 設事件 1B 2B nB 及A滿足 1 1B 2B nB 兩兩互不相容 BiP 0 i 1 2 n 2 U n i iBA 1 0 AP 則 n j jj ii i BAPBP BAPBP ABP 1 i 1 2 n 此公式即為貝葉斯公式 i BP 1 i 2 n 通常叫先驗概率 ABP i 1 i 2 n 通常稱為后驗概率 如果我 們把A當作觀察的 結果 而 1B 2B nB 理解為 原因 則貝葉斯公式反映了 因果 的概率規律 并 作出了 由果朔因 的推斷 例 1 32 假定用甲胎蛋白法診斷肝癌 設C表示被檢驗者的確患有肝癌的事件 A表示診斷出被檢驗者患有肝 癌的事件 已知95 0 CAP 98 0 CAP 004 0 CP 現有一人被檢驗法診斷為患有肝癌 求 此人的確患有肝癌的概率 ACP 5 5 事件的獨立性和伯努利試驗 事件的獨立性和伯努利試驗 1 1 兩個事件的獨立性 兩個事件的獨立性 設事件A B滿足 BPAPABP 則稱事件A B是相互獨立的 這個性質不是想當然成立的 若事件A B相互獨立 且 0 AP 則有 BP AP BPAP AP ABP ABP 6 所以這與我們所理解的獨立性是一致的 若事件A B相互獨立 則可得到A與B A與B A與B也都相互獨立 證明 由定義 我們可知必然事件 和不可能事件 與任何事件都相互獨立 證明 同時 與任何事件都互斥 2 2 多個事件的獨立性 多個事件的獨立性 設 ABC 是三個事件 如果滿足兩兩獨立的條件 P AB P A P B P BC P B P C P CA P C P A 并且同時滿足 P ABC P A P B P C 那么 A B C 相互獨立 對于 n 個事件類似 兩兩互斥 互相互斥 兩兩獨立 互相獨立 例 1 33 已知 ABPABP 證明事件A B相互獨立 例 1 34 A B C 相互獨立的充分條件 1 A B C兩兩獨立 2 A與BC獨立 例 1 35 甲 乙兩個射手彼此獨立地射擊同一目標各一次 甲射中的概率為 0 9 乙射中的概率為 0 8 求目 標沒有被射中的概率 3 3 伯努利試驗 伯努利試驗 定義 我們作了n次試驗 且滿足 每次試驗只有兩種可能結果 A發生或A不發生 n次試驗是重復進行的 即A發生的概率每次均一樣 每次試驗是獨立的 即每次試驗A發生與否與其他次試驗A發生與否是互不影響的 這種試驗稱為伯努利概型 或稱為n重伯努利試驗 用 p 表示每次試驗A發生的概率 則A發生的概率為 qp 1 用 kPn 表示n重伯努利試驗中A出現 0 nkk 次的概率 knk k n nqpkP C nk 2 1 0L 例 1 36 袋中裝有 個白球及 個黑球 從袋中任取 a b 次球 每次放回 試求其中含 a 個白球 b 個黑球的概率 a b 例 1 37 做一系列獨立試驗 每次試驗成功的概率為 p 求在第 n 次成功之前恰失敗 m 次的概率 7 第二節第二節練習題練習題 1 1 事件的運算和概率的性質 事件的運算和概率的性質 例 1 38 化簡 A B A B A B 例 1 39 ABC AB C B 成立的充分條件為 1 AB C 2 B C 例 1 40 已知 P A x P B 2x P C 3x P AB P BC 求 x 的最大值 例 1 41 當事件 A 與 B 同時發生時 事件 C 必發生 則下列結論正確的是 A P C P AB B P C P AUB C P C P A P B 1 D P C P A P B 1 2 2 古典概型 古典概型 例 1 42 3 男生 3 女生 從中挑出 4 個 問男女相等的概率 例 1 43 電話號碼由四個數字組成 每個數字可以是 0 1 2 9 中的任一個數 求電話號碼是由完全不同的數 字組成的概率 例 1 44 袋中有 6 只紅球 4 只黑球 今從袋中隨機取出 4 只球 設取到一只紅球得 2 分 取到一只黑球得 1 分 則得分不大于 6 分的概率是 A 42 23 B 7 4 C 42 25 D 21 13 例 1 45 10 個盒子 每個裝著標號為 1 6 的卡片 每個盒子任取一張 問 10 張中最大數是 4 的概率 例 1 46 將 n 個人等可能地分到 N n N 間房間中去 試求下列事件的概率 A 某指定的 n 間房中各有 1 人 B 恰有 n 間房中各有 1 人 C 某指定的房中恰有 m m n 人 例 1 47 有 5 個白色珠子和 4 個黑色珠子 從中任取 3 個 問全是白色的概率 3 3 條件概率和乘法公式 條件概率和乘法公式 例 1 48 假設事件 A 和 B 滿足 P B A 1 則 A A 是必然事件 B BA C BA D 0 BAP 例 1 49 設 A B 為兩個互斥事件 且 P A 0 P B 0 則結論正確的是 A P B A 0 B P A B P A C P A B 0 D P AB P A P B 例 1 50 某種動物由出生而活到 20 歲的概率為 0 7 活到 25 歲的概率為 0 56 求現齡為 20 歲的這種動物活 到 25 歲的概率 例 1 51 某人忘記三位號碼鎖 每位均有 0 9 十個數碼 的最后一個數碼 因此在正確撥出前兩個數碼后 只能隨機地試撥最后一個數碼 每撥一次算作一次試開 則他在第 4 次試開時才將鎖打開的概率是 A 4 1 B 6 1 C 5 2 D 10 1 例 1 52 在空戰訓練中 甲機先向乙機開火 擊落乙機的概率為 0 2 若乙機未被擊落 就進行還擊 擊落甲 機的概率是 0 3 若甲機未被擊落 則再進攻乙機 擊落乙機的概率是 0 4 求在這幾個回合中 甲機被擊落 8 的概率 乙機被擊落的概率 例 1 53 為防止意外事故 在礦井內同時安裝兩種報警系統 A 與 B 每種系統單獨使用時 其有效率 A 為 0 92 B 為 0 93 在 A 失靈條件下 B 有效概率為 0 85 求 1 這兩種警報系統至少有一個有效的概率 2 在 B 失 靈條件下 A 有效的概率 4 4 全概和貝葉斯公式 全概和貝葉斯公式 例 1 54 甲文具盒內有 2 支藍色筆和 3 支黑色筆 乙文具盒內也有 2 支藍色筆和 3 支黑色筆 現從甲文具盒中 任取 2 支筆放入乙文具盒 然后再從乙文具盒中任取 2 支筆 求最后取出的 2 支筆都是黑色筆的概率 例 1 55 三個箱子中 第一箱裝有 4 個黑球 1 個白球 每二箱裝有 3 個黑球 3 個白球 第三箱裝有 3 個黑球 5 個白球 現先任取一箱 再從該箱中任取一球 問 1 取出的球是白球的概率 2 若取出的為白球 則該 球屬于第二箱的概率 例 1 56 袋中有 4 個白球 6 個紅球 先從中任取出 4 個 然后再從剩下的 6 個球中任取一個 則它恰為白球 的概率是 5 5 獨立性和伯努利概型 獨立性和伯努利概型 例 1 57 設 P A 0 P B 0 證明 1 若 A 與 B 相互獨立 則 A 與 B 不互斥 2 若 A 與 B 互斥 則 A 與 B 不獨立 例 1 58 設兩個隨機事件 A B 相互獨立 已知僅有 A 發生的概率為 4 1 僅有 B 發生的概率為 4 1 則 P A P B 例 1 59 若兩事件 A 和 B 相互獨立 且滿足 P AB P A B P A 0 4 求 P B 例 1 60 設兩兩相互獨立的三事件A B和C滿足條件 ABC P A P B P C 2 1 且已知 16 9 CBAPUU 則P A 例 1 61 A 發生的概率是 0 6 B 發生的概率是 0 5 問 A B 同時發生的概率的范圍 例 1 62 設某類型的高炮每次擊中飛機的概率為 0 2 問至少需要多少門這樣的高炮同時獨立發射 每門射一 次 才能使擊中飛機的概率達到 95 以上 例 1 63 由射手對飛機進行 4 次獨立射擊 每次射擊命中的概率為 0 3 一次命中時飛機被擊落的概率為 0 6 至少兩次命中時飛機必然被擊落 求飛機被擊落的概率 例 1 64 將一骰子擲 m n 次 已知至少有一次出 6 點 求首次出 6 點在第 n 次拋擲時出現的概率 例 1 65 兩只一模一樣的鐵罐里都裝有大量的紅球和黑球 其中一罐 取名 甲罐 內的紅球數與黑球數之 比為 2 1 另一罐 取名 乙罐 內的黑球數與紅球數之比為 2 1 今任取一罐并從中取出 50 只球 查得 其中有 30 只紅球和 20 只黑球 則該罐為 甲罐 的概率是該罐為 乙罐 的概率的 A 154 倍 B 254 倍 C 798 倍 D 1024 倍 9 第二章第二章隨機變量及其分布隨機變量及其分布 第一節第一節基本概念基本概念 在許多試驗中 觀察的對象常常是一個隨同取值的量 例如擲一顆骰子出現的點數 它本身就是一個數值 因此 P A 這個函數可以看作是普通函數 定義域和值域都是數字 數字到數字 但是觀察硬幣出現正面還是反面 就不能簡單理解為普通函數 但我們可以通過下面的方法使它與數值聯系起來 當出現正面時 規定其對應數為 1 而出現反面時 規定其對應數為 0 于是 XX 當反面出現 當正面出現 0 1 稱X為隨機變量 又由于X是隨著試驗結果 基本事件 不同而變化的 所以X實際上是基本事件 的函 數 即 X X 同時事件 A 包含了一定量的 例如古典概型中 A 包含了 1 2 m 共 m 個基本事件 于是 P A 可以由 P X 來計算 這是一個普通函數 定義設試驗的樣本空間為 如果對 中每個事件 都有唯一的實數值 X X 與之對應 則稱 X X 為隨 機變量 簡記為X 有了隨機變量 就可以通過它來描述隨機試驗中的各種事件 能全面反映試驗的情況 這就使得我們對隨機 現象的研究 從前一章事件與事件的概率的研究 擴大到對隨機變量的研究 這樣數學分析的方法也可用來研究 隨機現象了 一個隨機變量所可能取到的值只有有限個 如擲骰子出現的點數 或可列無窮多個 如電話交換臺接到的呼 喚次數 則稱為離散型隨機變量 像彈著點到目標的距離這樣的隨機變量 它的取值連續地充滿了一個區間 這稱為連續型隨機變量 1 1 隨機變量的分布函數 隨機變量的分布函數 1 1 離散型隨機變量的分布率 離散型隨機變量的分布率 10 設離散型隨機變量X的可能取值為 Xk k 1 2 且取各個值的概率 即事件 X Xk 的概率為 P X xk pk k 1 2 則稱上式為離散型隨機變量X的概率分布或分布律 有時也用分布列的形式給出 LL LL 21 21 k k kppp xxx xXP X 顯然分布律應滿足下列條件 1 0 kp L 2 1 k 2 1 1 k kp 例 2 1 投骰子 出現偶數的概率 例 2 2 4 黑球 2 白球 每次取一個 不放回 直到取到黑為止 令 X 為 取白球的數 求 X 的分布律 例 2 3 若干個容器 每個標號 1 3 取出某號容器的概率與該號碼成反比 令 X 表示取出的號碼 求 X 的分布律 2 2 分布函數 分布函數 對于非離散型隨機變量 通常有0 xXP 不可能用分布率表達 例如日光燈管的壽命X 0 0 xXP 所以我們考慮用X落在某個區間 ba內的概率表示 定義定義設X為隨機變量 x是任意實數 則函數 xXPxF 稱為隨機變量 X 的分布函數 aFbFbXaP 可以得到 X 落入區間 ba的概率 也就是說 分布函數完整地描述了隨機 變量 X 隨機取值的統計規律性 分布函數 xF是一個普通的函數 它表示隨機變量落入區間 x 內的概率 xF的圖形是階梯圖形 L 21 xx是第一類間斷點 隨機變量X在 k x處的概率就是 xF在 k x處的躍度 分布函數具有如下性質 1 1 0 xF x 2 xF是單調不減的函數 即21xx 時 有 1xF 2xF 3 0 lim xFF x 1 lim xFF x 4 0 xFxF 即 xF是右連續的 5 0 xFxFxXP 例 2 4 設離散隨機變量X的分布列為 2 1 4 1 8 1 8 1 2 1 0 1 P X 11 求X的分布函數 并求 2 1 XP 2 3 1 XP 2 3 1 XP 例 2 5 設隨機變量X的分布函數為 00 0 1 x x x Ax xF 其中A是一個常數 求 1 常數A 2 P 1 X 2 3 3 連續型隨機變量的密度函數連續型隨機變量的密度函數 定義 設 xF 是隨機變量X的分布函數 若存在非負函數 xf 對任意實數x 有 x dxxfxF 則稱X為連續型隨機變量 xf 稱為X的概率密度函數或密度函數 簡稱概率密度 xf 的圖形是一條曲線 稱為密度 分布 曲線 由上式可知 連續型隨機變量的分布函數 xF 是連續函數 所以 1221212121 xFxFxXxPxXxPxXxPxXxP 密度函數具有下面 4 個性質 1 0 xf 2 1 dxxf 1 dxxfF 的幾何意義 在橫軸上面 密度曲線下面的全部面積等于 1 如果一個函數 xf 滿足 1 2 則它一定是某個隨機變量的密度函數 3 21 xXxP 12 xFxF 2 1 x x dxxf 4 若 xf 在x處連續 則有 xfxF dxxfdxxXxP 它在連續型隨機變量理論中所起的作用與 kkpxXP 在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似 獨立性古典概型 五大公式 APAE xXPxFxXX 對于連續型隨機變量X 雖然有 0 xXP 但事件 xX 并非是不可能事件 hx x dxxfhxXxPxXP 令 0 h 則右端為零 而概率 0 xXP 故得 0 xXP 不可能事件 的概率為零 而概率為零的事件不一定是不可能事件 同理 必然事件 的概率為 1 而 12 概率為 1 的事件也不一定是必然事件 例 2 6 隨機變量 X 的概率密度為 f x 其他 0 10 xxA xf 求 A 和 F x 例 2 7 隨機變量X的概率密度為 0 0 0 2 1 2 3 2 x xex xf x f 求X的分布函數 xF和 42 XP 2 2 常見分布 常見分布 0 0 1 1 分布分布 P X 1 p P X 0 q 例如樹葉落在地面的試驗 結果只能出現正面或反面 二項分布二項分布 在n重貝努里試驗中 設事件A發生的概率為p 事件A發生的次數是隨機變量 設為X 則X可能取值為 n 2 1 0L knk k n nqpkPkXP C 其中nkppq 2 1 0 10 1L L2 1 0 k 則稱隨機變量X服從參數為 的泊松分布 記為 X或者 P 泊松分布為二項分布的極限分布 np n 如飛機被擊中的子彈數 來到公共汽車站的乘客數 機床發生故障的次數 自動控制系統中元件損壞的個數 某 商店中來到的顧客人數等 均近似地服從泊松分布 例 2 9 某人進行射擊 設每次射擊的命中率為 0 001 若獨立地射擊 5000 次 試求射中的次數不少于兩次的 13 概率 用泊松分布來近似計算 超幾何分布超幾何分布 min 2 1 0 nMl lk C CC kXP n N kn MN k M L 隨機變量 X 服從參數為 n N M 的超幾何分布 例 2 10 袋中裝有 個白球及 個黑球 從袋中任取 a b 個球 試求其中含 a 個白球 b 個黑球的概率 a b ba ba C CC 非重復排列 例 2 11 袋中裝有 個白球及 個黑球 從袋中連續地取 a b 個球 不放回 試求其中含 a 個白球 b 個黑球 的概率 a b ba ba ba ba P PCC 非重復排列 例 2 12 袋中裝有 個白球及 個黑球 從袋中連續地取 a b 個球 放回 試求其中含 a 個白球 b 個黑球的 概率 a b a ba ba C 重復排列 幾何分布幾何分布 L 3 2 1 1 kpqkXP k 其中 p 0 q 1 p 隨機變量 X 服從參數為 p 的幾何分布 例 2 13 5 把鑰匙 只有一把能打開 如果某次打不開不扔掉 問以下事件的概率 第一次打開 第二次打開 第三次打開 均勻分布均勻分布 設隨機變量X的值只落在 a b 內 其密度函數 xf 在 a b 上為常數 k 即 0 k xf 其他 其中 k ab 1 則稱隨機變量X在 a b 上服從均勻分布 記為 X U a b 分布函數為 x dxxfxF 當 a x1 x2 b 時 X 落在區間 21 x x 內的概率為 0 xb a x b 14 P 則稱隨機變量 X 服從參數為 的指數分布 X 的分布函數為 記住幾個積分 1 0 dxxe x 2 0 2 dxex x 1 0 1 ndxex xn 0 1 dxex x 1 5432 考研論壇 友情提供下載 例 2 15 一個電子元件的壽命是一個隨機變量X 它的分布函數 xF 的含義是 該電子元件的壽命不超過x 的概率 通常我們都假定電子元件的壽命服從指數分布 試證明服從指數分布的隨機變量具有 無記憶性 000 xXPxXxxXxP 正態分布正態分布 設隨機變量X的密度函數為 2 2 2 2 1 x exf 為常數 則稱隨機變量X服從參數為 的正態分布或高斯 Gauss 分布 記為 2 NX xf 具有如下性質 1 xf 的圖形是關于 x 對稱的 2 當 x 時 2 1 f為最大值 3 xf 以ox軸為漸近線 特別當 固定 改變 時 xf 的圖形形狀不變 只是集體沿ox軸平行移動 所以 又稱為位置參數 當 固 定 改變 時 xf 的圖形形狀要發生變化 隨 變大 xf 圖形的形狀變得平坦 所以又稱 為形狀參數 若 2 NX 則X的分布函數為 xf x e 0 x 0 0 x xF 1 x e 0 x 0 x 0 15 dtexF x t 2 2 2 2 1 參數 0 1 時的正態分布稱為標準正態分布 記為 1 0 NX 其密度函數記為 2 2 2 1 x ex x 分布函數為 dtex x t 2 2 2 1 x 是不可求積函數 其函數值 已編制成表可供查用 x 和 x 的性質如下 1 x 是偶函數 x x 2 當 x 0 時 x 2 1 為最大值 3 x 1 x 且 0 2 1 如果X 2 N 則 X 1 0 N 所以我們可以通過變換將 xF的計算轉化為 x 的計算 而 x 的值是可以通過查表得到的 12 21 xx xXxP 分位數的定義 例 2 16 設 4 1 NX 求 2 75 XP 6 10 c 2P X c 例 2 17 某人需乘車到機場搭乘飛機 現有兩條路線可供選擇 第一條路線較短 但交通比較擁擠 到達機場 所需時間 X 單位為分 服從正態分布 N 50 100 第二條路線較長 但出現意外的阻塞較少 所需時間 X 服 從正態分布 N 60 16 1 若有 70 分鐘可用 問應走哪一條路線 2 若有 65 分鐘可用 又應選擇哪一條 路線 3 3 隨機變量函數的分布 隨機變量函數的分布 隨機變量Y是隨機變量X的函數 XgY 若X的分布函數 xFX或密度函數 xfX知道 則如何求出 XgY 的分布函數 yFY或密度函數 yfY 1 1 X是離散型隨機變量是離散型隨機變量 已知X的分布列為 LL LL 21 21 n n ippp xxx xXP X 顯然 XgY 的取值只可能是LL 21nxgxgxg 若 ixg互不相等 則Y的分布列如下 LL LL 21 21 n n i ppp xgxgxg yYP Y 若有某些 ixg相等 則應將對應的iP相加作為 ixg的概率 16 例 2 18 已知隨機變量X的分布列為 3 1 3 1 3 1 2 1 0 P X 求 2 XY 的分布列 2 2 X是連續型隨機變量是連續型隨機變量 先利用 X 的概率密度 fX x 寫出 Y 的分布函數 FY y 再利用變上下限積分的求導公式求出 fY y 例 2 19 已知隨機變量 0 則 A 例 2 22 21 xfxf 是概率密度函數的充分條件是 1 21 xfxf均為概率密度函數 2 1 0 21 xfxf 例 2 23 一個不懂英語的人參加 GMAT 機考 假設考試有 5 個選擇題 每題有 5 個選項 單選 試求 此人答 對 3 題或者 3 題以上 至少獲得 600 分 的概率 例 2 24 設隨機變量 X U 0 5 求方程0244 2 XXxx有實根的概率 例 2 25 設隨機變量 X 的概率密度為 其他 0 6 3 9 2 1 0 3 1 x x xf 其使得 3 2 kXP 則 k 的取值范圍是 例 2 26 已知某種電子元件的壽命 單位 小時 服從指數分布 若它工作了 900 小時而未損壞的概率是 9 0 e 則該種電子元件的平均壽命是 17 A 990 小時B 1000 小時C 1010 小時D 1020 小時 例 2 27 設隨機變量 X 的概率密度為 2 1 xex x 則其分布函數F x 是 A 0 1 0 2 1 x xe xF x B 0 2 1 1 0 2 1 xe xe xF x x C 0 1 0 2 1 1 x xe xF x D 0 且 P x 2 1 則 2 2 函數分布 函數分布 例 2 30 設隨機變量 X 具有連續的分布函數 F x 求 Y F X 的分布函數 F y 或證明題 設 X 的分布函數 F x 是連續函數 證明隨機變量 Y F X 在區間 0 1 上服從均勻分布 例 2 31 設隨機變量 X 的分布函數為 F x 則 Y 2lnF X 的概率分布密度函數fY y 例 2 32 設 X U 2 2 并且 y tanx 求 Y 的分布密度函數 f y 例 2 33 設隨機變量 X 服從指數分布 則隨機變量Y min X 2 的分布函數 A 是連續函數 B 至少有兩個間斷點 C 是階梯函數 D 恰好有一個間斷點 18 第三章第三章二維隨機變量及其分布二維隨機變量及其分布 第一節第一節基本概念基本概念 1 1 二維隨機變量的基本概念 二維隨機變量的基本概念 1 1 二維離散型隨機變量聯合概率分布及邊緣分布 二維離散型隨機變量聯合概率分布及邊緣分布 如果二維隨機向量 X Y 的所有可能取值為至多可列個有序對 x y 時 則稱 為離散型隨機量 理解 X x Y y X x Y y 設 X Y 的所有可能取值為 2 1 L jiyx ji 且事件 ji yx 的概率為pij 稱 2 1 L jipyxYXP ijji 為 X Y 的分布律或稱為 X 和 Y 的聯合分布律 聯合分布有時也用下面的概率分布表來表示 Y X y1y2 yj pi x1p11p12 p1j p1 x2p21p22 p2j p2 MMMMMM xipi1 pi MMMMMM p jp 1p 2 p j 1 這里pij具有下面兩個性質 1 pij 0 i j 1 2 2 1 ij ij p 對于隨機向量 X Y 稱其分量 X 或 Y 的分布為 X Y 的關于 X 或 Y 的邊緣分布 上表中的最后一列 或行 給出了 X 為離散型 并且其聯合分布律為 2 1 L jipyxYXP ijji 則 X 的邊緣分布為 2 1 L jipxXPP ij j ii Y 的邊緣分布為 2 1 L jipyYPP ij i ii 例 3 1 二維隨機向量 X Y 共有六個取正概率的點 它們是 1 1 2 1 2 0 2 2 3 1 3 2 并且 X Y 取得它們的概率相同 則 X Y 的聯合分布及邊緣分布為 Y X 1012p1 1 6 1000 6 1 19 2 6 1 6 10 6 1 2 1 300 6 1 6 1 3 1 p j 3 1 6 1 6 1 3 11 2 2 二維連續型隨機向量聯合分布密度及邊緣分布 二維連續型隨機向量聯合分布密度及邊緣分布 對于二維隨機向量 YX 如果存在非負函數 yxyxf 使對任意一個其鄰邊 分別平行于坐標軸的矩形區域 D 即 D X Y a x b c y d 有 D dxdyyxfDYXP 則稱 為連續型隨機向量 并稱 f x y 為 X Y 的分布密度或稱為 X 和 Y 的聯合分布密度 分布密度 f x y 具有下面兩個性質 1 f x y 0 2 1 dxdyyxf 一般來說 當 X Y 為連續型隨機向量 并且其聯合分布密度為 f x y 則 X 和 Y 的邊緣分布密度為 dxyxfyfdyyxfxf YX 注意 聯合概率分布 邊緣分布 例 3 2 設 X Y 的聯合分布密度為 其他 0 0 0 43 yxCe yxf yx 試求 1 常數 C 2 P 0 X 1 0 Y yfxf YX 分別為 X Y 的邊緣分布密度 例 3 3 設二維隨向量 X Y 的聯合分布為 XY0 40 8 20 150 05 50 300 12 80 350 03 求 1 X 與 Y 的邊緣分布 2 X 關于 Y 取值 y1 0 4 的條件分布 3 Y 關于 X 取值 x2 5 的條件分布 4 4 常見的二維分布 常見的二維分布 均勻分布均勻分布 設隨機向量 X Y 的分布密度函數為 其他 0 1 Dyx S yxf D 其中 SD為區域 D 的面積 則稱 X Y 服從 D 上的均勻分布 記為 X Y U D 例如圖 3 1 圖 3 2 和圖 3 3 y 1 D1 O1x 圖 3 1 y 1 O2x 圖 3 2 y d D2 1 D3 21 c Oabx 圖 3 3 例 3 4 設二維連續型隨機變量 X Y 在區域 D 上服從均勻分布 其中 1 1 yxyxyxD 求 X 的邊緣密度 fX x 畫線觀察積分上下限 正態分布正態分布 設隨機向量 X Y 的分布密度函數為 12 1 2 2 2 21 21 2 1 1 2 21 2 1 2 1 2 yyxx eyxf 其中1 0 0 2121 共 5 個參數 則稱 X Y 服從二維正態分布 記為 X Y N 2 2 2 1 2 1 由邊緣密度的計算公式 可以推出二維正態分布的兩個邊緣分布仍為正態分布 反推則錯 即 X N 2 2 2 2 11 NY 5 5 二維隨機向量聯合分布函數及其性質 二維隨機向量聯合分布函數及其性質 設 X Y 為二維隨機變量 對于任意實數 x y 二元函數 yYxXPyxF 稱為二維隨機向量 X Y 的分布函數 或稱為隨機變量 X 和 Y 的聯合分布函數 分布函數是一個以全平面為其定義域 以事件 2121 yYxX x1時 有 F x2 y F x1 y 當 y2 y1時 有 F x y2 F x y1 3 F x y 分別對 x 和 y 是右連續的 即 0 0 yxFyxFyxFyxF 4 1 0 FxFyFF 2 2 隨機變量的獨立性 隨機變量的獨立性 1 1 一般型隨機變量 一般型隨機變量 F X Y FX x FY y 22 2 2 離散型隨機變量 離散型隨機變量 jiij ppp 例 3 5 二維隨機向量 X Y 共有六個取正概率的點 它們是 1 1 2 1 2 0 2 2 3 1 3 2 并且 X Y 取得它們的概率相同 則 X Y 的聯合分布及邊緣分布為 Y X 1012p1 1 6 1000 6 1 2 6 1 6 10 6 1 2 1 300 6 1 6 1 3 1 p j 3 1 6 1 6 1 3 11 3 3 連續型隨機變量 連續型隨機變量 f x y fX x fY y 聯合分布 邊緣分布 f x y fX x fY y 直接判斷 充要條件 可分離變量 正概率密度區間為矩形 例 3 6 如圖 3 1 f x y 8xy fX x 4x 3 f Y y 4y 4y 3 不獨立 例 3 7 f x y 其他 0 10 20 2 yxAxy 4 4 二維正態分布 二維正態分布 12 1 2 2 2 21 21 2 1 1 2 21 2 1 2 1 2 yyxx eyxf 0 5 5 隨機變量函數的獨立性 隨機變量函數的獨立性 若 X 與 Y 獨立 h g 為連續函數 則 h X 和 g Y 獨立 例如 若 X 與 Y 獨立 則 3X 1 和 5Y 2 獨立 3 3 簡單函數的分布 簡單函數的分布 兩個隨機變量的和兩個隨機變量的和 Z X YZ X Y 離散型 例 3 8 設 X Y 的聯合分布為 23 XY012 0 12 1 6 1 12 1 1 3 1 6 1 6 1 求 i Z1 X Y ii Z2 X Y iii Z3 XY 的分布列 連續型 fZ z dxxzxf 兩個獨立的正態分布的和仍為正態分布 2 2 2 121 例 3 9 設 X 和 Y 是兩個相互獨立的隨機變量 且 X U 0 1 Y e 1 求 Z X Y 的分布密度函數 fz z 混合型 例 3 10 設隨機變量 X 與 Y 獨立 其中 X 的概率分布為 7 03 0 21 X 而 Y 的概率密度為 f y 求隨機變量 U X Y 的概率密度 g u 第二節第二節練習題練習題 1 1 二維隨機變量聯合分布函數 二維隨機變量聯合分布函數 例 3 11 如下四個二元函數 哪個不能作為二維隨機變量 X Y 的分布函數 A 0 0 0 1 1 1 其他 yxee yxF yx B 3 arctan 22 arctan 2 1 2 2 yx yxF C 12 0 12 1 3 yx yx yxF 24 D 的泊松分布 每位乘客在中途下車的概率為 p 0 p 1 并且他們在中途下車與否是相互獨立的 用 Y 表示在中途下車的人數 求 1 在發車時有 n 個乘客的條件下 中途有 m 人下車的概率 2 二維隨機向量 X Y 的概率分布 例 3 13 一射手進行射擊 擊中目標的概率為 p 0 p 1 射擊直到擊中目標兩次為止 設以 X 表示首次擊中 目標所進行的射擊次數 以 Y 表示總共進行的射擊次數 試求 X 與 Y 的聯合分布律及條件分布律 例 3 14 設 X Y 只在曲線 y x 2與 x y2所圍成的區域 D 中不為零且服從均勻分布 試求 1 X Y 的聯合密度 2 邊緣密度 yx YX 3 P Y X 例 3 15 設隨機變量 X Y 的概率密度為 YXP 例 3 16 設隨機變量X在區間 1 0 上服從均勻分布 在 10 YXP 2 2 隨機變量的獨立性 隨機變量的獨立性 例 3 17 設 X Y 的聯合分布密度為 0 10 其他 xyyxC yxf 1 求 C 2 求 X Y 的邊緣分布 3 討論 X 與 Y 的獨立性 4 計算 P X Y 1 例 3 18 設 X Y 的密度函數為 0 0 其他 xyxe yx y 試求 1 X Y 的邊緣密度函數 并判別其獨立性 2 X Y 的條件分布密度 25 3 P X 2 Y 4 3 3 簡單函數的分布 簡單函數的分布 例 3 19 設兩個獨立的隨機變量 X 與 Y 的分布律為 7 03 0 31 i P X 4 06 0 42 j P Y 求隨機變量 1 Z X Y 2 Z XY 3 Z max X Y 的分布律 例 3 20 設兩個相互獨立的隨機變量 X 與 Y 分別服從 N 0 1 和 N 1 1 求 P X Y 1 或選擇題為 A 2 1 0 YXP B 2 1 1 YXP C 2 1 0 YXP D 2 1 1 YXP 例 3 21 設隨機變量 X Y 的分布密度為 0 0 103 其他 xyxx yx 試求Z X Y 的分布密度 例 3 22 設 X 與 Y 相互獨立 且都服從 0 a 上的均勻分布 試求 Y X Z 的分布密度與分布函數 第四章第四章隨機變量的數字特征隨機變量的數字特征 第一節第一節基本概念基本概念 1 1 一維隨機變量的數字特征 一維隨機變量的數字特征 1 1 一維隨機變量及其函數的期望 一維隨機變量及其函數的期望 設 X 是離散型隨機變量 其分布律為 P k xX pk k 1 2 n n k kkp xXE 1 期望就是平均值 例 4 1 100 個考生 100 分 10 人 90 分 20 人 80 分 40 人 70 分 20 人 60 分 10 人 求期望 26 例 4 2 設某長生產的某種產品不合格率為 10 假設生產一件不合格品要虧損 2 元 每生產一件合格品獲利 10 元 求每件產品的平均利潤 設 X 是連續型隨機變量 其概率密度為 f x dxxxfXE 例 4 3 設在某一規定的時間間隔里 某電氣設備用于最大負荷的時間 X 以分鐘計 是一個隨機變量 其概 率密度為 其他0 30001500 1500 3000 15000 1500 2 2 x x x x xf 求EX 數學期望的性質 1 E C C 2 E CX CE X 3 E X Y E X E Y n i n i iiii XECXCE 11 4 E XY E X E Y 充分條件 X 和 Y 獨立 充要條件 X 和 Y