考點突破 夯基釋疑 考點一 考點三 考點二 例1 訓練1 例2 訓練2 例3 訓練3 第2講導數與函數的單調性 極值 最值 概要 課堂小結 判斷正誤 在括號內打 或 1 f x 0是f x 為增函數的充要條件 2 函數在某區間上或定義域內極大值是唯一的 3 函數的極大值不一定比極小值大 4 對可導函數f x f x0 0是x0點為極值點的充要條件 夯基釋疑 考點突破 所以曲線y f x 在 1 f 1 處的切線方程為x 2y 1 0 考點一利用導數研究函數的單調性 首先要確定函數的定義域 又f 1 0 利用導數研究 考點突破 考點一利用導數研究函數的單調性 2 函數f x 的定義域為 0 當a 0時 f x 0 函數f x 在 0 上單調遞增 當a 0時 令g x ax2 2a 2 x a 由于 2a 2 2 4a2 4 2a 1 函數f x 在 0 上單調遞減 考點突破 考點一利用導數研究函數的單調性 設x1 x2 x1 x2 是函數g x 的兩個零點 所以x 0 x1 時 g x 0 f x 0 函數f x 單調遞減 f x 0 函數f x 在 0 上單調遞減 考點突破 考點一利用導數研究函數的單調性 x x1 x2 時 g x 0 f x 0 函數f x 單調遞增 x x2 時 g x 0 f x 0 函數f x 單調遞減 綜上可得 當a 0時 函數f x 在 0 上單調遞增 考點突破 規律方法 1 利用導數研究函數單調性的關鍵在于準確判定導數的符號 當f x 含參數時 需要根據參數取值對不等式解集的影響進行分類討論 2 若可導函數f x 在指定的區間d上單調遞增 減 求參數范圍問題 可轉化為f x 0 或f x 0 恒成立問題 從而構建不等式 要注意 是否可以取到 考點一利用導數研究函數的單調性 考點突破 令f x 0 得ex 1或ex 2 考點一利用導數研究函數的單調性 即x 0或x ln2 令f x 0 則x 0或x ln2 令f x 0 則0 x ln2 f x 的遞增區間是 0 ln2 遞減區間是 0 ln2 考點突破 令ex t 由于x 1 1 考點一利用導數研究函數的單調性 考點突破 函數f x 在 1 1 上為單調函數 考點一利用導數研究函數的單調性 若函數f x 在 1 1 上單調遞增 若函數f x 在 1 1 上單調遞減 考點突破 考點二利用導數研究函數的極值 考點突破 考點二利用導數研究函數的極值 令f x 0 解得x 1或x 5 因為x 1不在f x 的定義域 0 內 故舍去 當x 0 5 時 f x 0 故f x 在 0 5 內為減函數 當x 5 時 f x 0 故f x 在 5 內為增函數 由此知函數f x 在x 5時取得極小值f 5 ln5 考點突破 考點二利用導數研究函數的極值 規律方法 1 可導函數y f x 在x0處取得極值的充要條件是f x0 0 且在x0左側與右側f x 的符號不同 2 若函數y f x 在區間 a b 內有極值 那么y f x 在 a b 內絕不是單調函數 即在某區間上單調函數沒有極值 考點突破 解由題得f x 3ax2 4x 1 1 函數圖象過 0 1 時 有f 0 c 1 當a 1時 f x 3x2 4x 1 考點二利用導數研究函數的極值 故函數f x 的極小值是f 1 13 2 12 1 1 1 考點突破 2 若f x 在r上無極值點 則f x 在r上是單調函數 即f x 0或f x 0恒成立 當a 0時 f x 4x 1 顯然不滿足條件 當a 0時 f x 0或f x 0恒成立的充要條件是 4 2 4 3a 1 0 考點二利用導數研究函數的極值 考點突破 考點三利用導數研究函數的最值 考點突破 考點三利用導數研究函數的最值 深度思考對于第 2 小問已知函數f x 在某個閉區間上的最值 求參數值 一般解法你了解嗎 先求f x 的最值再解方程求參數 考點突破 考點三利用導數研究函數的最值 f x 在 1 4 上的最小值可能在x 1或x 4處取得 考點突破 考點三利用導數研究函數的最值 而f 1 8 由f 4 2 64 16a a2 8得a 10或a 6 舍去 當a 10時 f x 在 1 4 上單調遞減 f x 在 1 4 上的最小值為f 4 8 符合題意 綜上 a 10 接上一頁f x 在 1 4 上的最小值可能在x 1或x 4處取得 考點突破 規律方法 1 求解函數的最值時 要先求函數y f x 在 a b 內所有使f x 0的點 再計算函數y f x 在區間內所有使f x 0的點和區間端點處的函數值 最后比較即得 2 已知函數的最值求參數 一般先求出最值 利用待定系數法求解 考點三利用導數研究函數的最值 考點突破 解 1 f x lnx 1 x 0 考點三利用導數研究函數的最值 考點突破 2 g x xlnx a x 1 則g x lnx 1 a 由g x 0 得x ea 1 所以 在區間 0 ea 1 上 g x 為遞減函數 在區間 ea 1 上 g x 為遞增函數 當ea 1 1 即a 1時 在區間 1 e 上 g x 為遞增函數 所以g x 的最小值為g 1 0 考點三利用導數研究函數的最值 考點突破 當1 ea 1 e 即1 a 2時 g x 的最小值為g ea 1 a ea 1 當ea 1 e 即a 2時 在區間 1 e 上 g x 為遞減函數 所以g