【3年高考2年模擬】立體幾何第一部分 三年高考薈2012年高考數學（1）空間幾何體一、選擇題1 （2012新課標理）已知三棱錐的所有頂點都在球的求面上,是邊長為的正三角形,為球的直徑,且;則此棱錐的體積為（）ABCD2 （2012浙江文）已知某三棱錐的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該三棱錐的體積是（）A1cm3B2cm3C3cm3D6cm33 （2012重慶文）設四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1,和且長為的棱與長為的棱異面,則的取值范圍是（）ABCD4 4（2012重慶理）設四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1,和,且長為的棱與長為的棱異面,則的取值范圍是（）ABCD5 （2012陜西文）將正方形(如圖1所示)截去兩個三棱錐,得到圖2所示的幾何體,則該幾何體的左視圖為 6 （2012課標文）平面截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面的距離為,則此球的體積為（）AB4C4D67 （2012課標文理）如圖,網格上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則幾何體的體積為.6 .9 .12 .188 （2012江西文）若一個幾何體的三視圖如下左圖所示,則此幾何體的體積為（）AB5C4D9（2012湖南文）某幾何體的正視圖和側視圖均如圖1所示,則該幾何體的俯視圖不可能是第7題圖10（2012廣東文）(立體幾何)某幾何體的三視圖如圖1所示,它的體積為（）ABCD11（2012福建文）一個幾何體的三視圖形狀都相同,大小均等,那么這個幾何體不可以是（）A球B三棱錐 C正方體D圓柱 、12 13（2012北京文）某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是（）ABCD 14 （2012江西理）如圖,已知正四棱錐S-ABCD所有棱長都為1,點E是側棱SC上一動點,過點E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分.記SE=x(0x1),截面下面部分的體積為V(x),則函數y=V(x)的圖像大致為15（2012湖南理）某幾何體的正視圖和側視圖均如圖1所示,則該幾何體的俯視圖不可能是A圖1BCD16（2012湖北理）我國古代數學名著九章算術中“開立圓術”曰:置積尺數,以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即立圓徑. “開立圓術”相當于給出了已知球的體積,求其直徑的一個近似公式. 人們還用過一些類似的近似公式. 根據判斷,下列近似公式中最精確的一個是（）側視圖正視圖24242俯視圖ABCD(一)必考題(1114題)17（2012湖北理）已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（）AB CD18（2012廣東理）(立體幾何)某幾何體的三視圖如圖1所示,它的體積為（）ABCD19（2012福建理）一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等,那么這個幾何體不可以是（）A球B三棱柱C正方形D圓柱20（2012大綱理）已知正四棱柱中,為的中點,則直線 與平面的距離為（）A2BCD121（2012北京理）某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是（）ABCD 二、填空題22（2012天津文）一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:),則該幾何體的體積_.23（2012上海文）一個高為2的圓柱,底面周長為2p,該圓柱的表面積為_.24（2012山東文）如圖,正方體的棱長為1,E為線段上的一點,則三棱錐的體積為_.25（2012遼寧文）已知點P,A,B,C,D是球O表面上的點,PA平面ABCD,四邊形ABCD是邊長為2正方形.若PA=2,則OAB的面積為_.26（2012遼寧文）一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為_.27（2012湖北文）已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為_.28（2012安徽文）若四面體的三組對棱分別相等,即,則_.(寫出所有正確結論編號) 四面體每組對棱相互垂直四面體每個面的面積相等從四面體每個頂點出發的三條棱兩兩夾角之和大于而小于連接四面體每組對棱中點的線段互垂直平分從四面體每個頂點出發的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長29（2012安徽文）某幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是30（2012天津理）個幾何體的三視圖如圖所示(單位:),則該幾何體的體積為_.31（2012浙江理）已知某三棱錐的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該三棱錐的體積等于_cm3.ABCD32（2012上海理）如圖,AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱,BC=2。若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c為常數,則四面體ABCD的體積的最大值是 _ .33（2012上海理）若一個圓錐的側面展開圖是面積為2p的半圓面,則該圓錐的體積為_ .34（2012山東理）如圖,正方體的棱長為1,分別為線段上的點,則三棱錐的體積為_.35（2012遼寧理）已知正三棱錐ABC,點P,A,B,C都在半徑為的求面上,若PA,PB,PC兩兩互相垂直,則球心到截面ABC的距離為_.36（2012遼寧理）一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為_.37（2012江蘇）DABC如圖,在長方體中,則四棱錐的體積為_cm3.38（2012安徽理）某幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的表面積是.參考答案一、選擇題1. 【解析】選 的外接圓的半徑,點到面的距離 為球的直徑點到面的距離為 此棱錐的體積為 另:排除 2. 【答案】:A 【解析】:, 【考點定位】本題考查棱錐的結構特征,考查空間想象能力,極限思想的應用,是中檔題. 3. 【答案】C 【命題意圖】本題考查的是三棱錐的三視圖問題,體現了對學生空間想象能力的綜合考查.【解析】由題意判斷出,底面是一個直角三角形,兩個直角邊分別為1和2,整個棱錐的高由側視圖可得為3,所以三棱錐的體積為. 4. 【答案】A 【解析】. 【考點定位】本題考查棱錐的結構特征,考查空間相象力,極限思想的運用,是中檔題. 5. 答案C 解析若兩條直線和同一平面所成角相等,這兩條直線可能平行,也可能為異面直線,也可能相交,所以A錯;一個平面不在同一條直線的三點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行,故B錯;若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行,也可以垂直;故D錯;故選項C正確. 點評本題旨在考查立體幾何的線、面位置關系及線面的判定和性質,需要熟練掌握課本基礎知識的定義、定理及公式. 6. 畫出三視圖,故選B 7. 【命題意圖】本題主要考查簡單幾何體的三視圖及體積計算,是簡單題. 【解析】由三視圖知,其對應幾何體為三棱錐,其底面為一邊長為6,這邊上高為3,棱錐的高為3,故其體積為=9,故選B. 8. 【答案】C 【解析】本題的主視圖是一個六棱柱,由三視圖可得地面為變長為1的正六邊形,高為1,則直接帶公式可求該直六棱柱的體積是:,故選C. 【考點定位】本題是基礎題,考查三視圖與地觀圖的關系,注意幾何體的位置與放法是解題的關鍵,考查空間想象能力,轉化思想、計算能力. 9. 【答案】D 【解析】本題是組合體的三視圖問題,由幾何體的正視圖和側視圖均如圖1所示知,原圖下面圖為圓柱或直四棱柱,上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C,都可能是該幾何體的俯視圖,D不可能是該幾何體的俯視圖,因為它的正視圖上面應為如圖的矩形. 【點評】本題主要考查空間幾何體的三視圖,考查空間想象能力.是近年來熱點題型. 10. 解析:C.該幾何體下部分是半徑為3,高為4的圓錐,體積為,上部分是半球,體積為,所以體積為. 11. 【答案】D 【解析】分別比較A、B、C的三視圖不符合條件,D 符合 【考點定位】考查空間幾何體的三視圖與直觀圖,考查空間想象能力、邏輯推理能力. 12. 答案D 【命題意圖】本試題主要考查了正四棱柱的性質的運用,以及點到面的距離的求解.體現了轉換與化歸的思想的運用,以及線面平行的距離,轉化為點到面的距離即可. 【解析】連結交于點,連結,因為是中點,所以,且,所以,即直線 與平面BED的距離等于點C到平面BED的距離,過C做于,則即為所求距離.因為底面邊長為2,高為,所以,所以利用等積法得,選D. 13. 【答案】B 【解析】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐,本題所求表面積為三棱錐四個面的面積之和.利用垂直關系和三角形面積公式,可得:,因此該幾何體表面積,故選B. 【考點定位】本小題主要考查的是三棱錐的三視圖問題,原來考查的是棱錐或棱柱的體積而今年者的是表面積,因此考查了學生的計算基本功和空間想象能力. 14. A【解析】本題綜合考查了棱錐的體積公式,線面垂直,同時考查了函數的思想,導數法解決幾何問題等重要的解題方法. (定性法)當時,隨著的增大,觀察圖形可知,單調遞減,且遞減的速度越來越快;當時,隨著的增大,觀察圖形可知,單調遞減,且遞減的速度越來越慢;再觀察各選項中的圖象,發現只有A圖象符合.故選A. 【點評】對于函數圖象的識別問題,若函數的圖象對應的解析式不好求時,作為選擇題,沒必要去求解具體的解析式,不但方法繁瑣,而且計算復雜,很容易出現某一步的計算錯誤而造成前功盡棄;再次,作為選擇題也沒有太多的時間去給學生解答;因此,使用定性法,不但求解快速,而且準確節約時間. 15. 【答案】D 【解析】本題是組合體的三視圖問題,由幾何體的正視圖和側視圖均如圖1所示知,原圖下面圖為圓柱或直四棱柱,上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C都可能是該幾何體的俯視圖,D不可能是該幾何體的俯視圖,因為它的正視圖上面應為如圖的矩形. 【點評】本題主要考查空間幾何體的三視圖,考查空間想象能力.是近年高考中的熱點題型. 16.考點分析:考察球的體積公式以及估算. 解析:由,設選項中常數為,則;A中代入得,B中代入得,C中代入得,D中代和主得,由于D中值最接近的真實值,故選擇D. 17.考點分析:本題考察空間幾何體的三視圖. 解析:顯然有三視圖我們易知原幾何體為 一個圓柱體的一部分,并且有正視圖知是一個1/2的圓柱體,底面圓的半徑為1,圓柱體的高為6,則知所求幾何體體積為原體積的一半為.選B. 18.解析:C.該幾何體下部分是半徑為3,高為5的圓柱,體積為,上部分是半徑為3,高為4的圓錐,體積為,所以體積為. 19. 【答案】D 【解析】分別比較ABC的三視圖不符合條件,D符合. 【考點定位】考查空間幾何體的三視圖與直觀圖,考查空間想象能力、邏輯推理能力. 20.答案D 【命題意圖】本試題主要考查了正四棱柱的性質的運用,以及點到面的距離的求解.體現了轉換與化歸的思想的運用,以及線面平行的距離,轉化為點到面的距離即可. 【解析】連結交于點,連結,因為是中點,所以,且,所以,即直線 與平面BED的距離等于點C到平面BED的距離,過C做于,則即為所求距離.因為底面邊長為2,高為,所以,所以利用等積法得,選D. 21. 【答案】B 【解析】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐,本題所求表面積為三棱錐四個面的面積之和.利用垂直關系和三角形面積公式,可得:,因此該幾何體表面積,故選B. 【考點定位】本小題主要考查的是三棱錐的三視圖問題,原來考查的是棱錐或棱柱的體積而今年者的是表面積,因此考查了學生的計算基本功和空間想象能力. 二、填空題22. 【解析】由三視圖可知這是一個下面是個長方體,上面是個平躺著的五棱柱構成的組合體.長方體的體積為,五棱柱的體積是,所以幾何體的總體積為. 23. 解析 2pr=2p,r=1,S表=2prh+2pr2=4p+2p=6p. 24. 答案: 解析:. 25. 【答案】 【解析】點 【點評】本題主要考查組合體的位置關系、抽象概括能力、空間想象能力、運算求解能力以及轉化思想,該題靈活性較強,難度較大.該題若直接利用三棱錐來考慮不宜入手,注意到條件中的垂直關系,把三棱錐轉化為長方體來考慮就容易多了. 26. 【答案】12+ 【解析】由三視圖可知該幾何體為一個長方體和一個等高的圓柱的組合體,其中長方體的長、寬、高分別為4、3、1,圓柱的底面直徑為2,高位1,所以該幾何體的體積為 【點評】本題主要考查幾何體的三視圖、柱體的體積公式,考查空間想象能力、運算求解能力,屬于容易題.本題解決的關鍵是根據三視圖還原出幾何體,確定幾何體的形狀,然后再根據幾何體的形狀計算出體積. 27. 【解析】由三視圖可知,該幾何體是由左右兩個相同的圓柱(底面圓半徑為2,高為1)與中間一個圓柱(底面圓半徑為1,高為4)組合而成,故該幾何體的體積是. 【點評】本題考查圓柱的三視圖的識別,圓柱的體積.學生們平常在生活中要多多觀察身邊的實物都是由什么幾何形體構成的,以及它們的三視圖的畫法. 來年需注意以三視圖為背景,考查常見組合體的表面積. 28. 【解析】正確的是 四面體每個面是全等三角形,面積相等 從四面體每個頂點出發的三條棱兩兩夾角之和等于 連接四面體每組對棱中點構成菱形,線段互垂直平分 從四面體每個頂點出發的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長 29. 【解析】表面積是 該幾何體是底面是直角梯形,高為的直四棱柱幾何體的的體積是 30. 【答案】 【命題意圖】本試題主要考查了簡單組合體的三視圖的畫法與體積的計算以及空間想象能力. 【解析】由三視圖可該幾何體為兩個相切的球上方了一個長方體組成的組合體,所以其體積為:=. 31. 【答案】1 【解析】觀察三視圖知該三棱錐的底面為一直角三角 形,右側面也是一直角三角形.故體積等于. 點評異面直線夾角問題通常可以采用兩種途徑: 第一,把兩條異面直線平移到同一平面中借助三角形處理; 第二,建立空間直角坐標系,利用向量夾角公式解決. 32. ADBEC解析 作BEAD于E,連接CE,則AD平面BEC,所以CEAD, 由題設,B與C都是在以AD為焦距的橢球上,且BE、CE都 垂直于焦距AD,所以BE=CE. 取BC中點F, 連接EF,則EFBC,EF=2, 四面體ABCD的體積,顯然,當E在AD中點,即 B是短軸端點時,BE有最大值為b=,所以. 評注 本題把橢圓拓展到空間,對缺少聯想思維的考生打擊甚大!當然,作為填空押軸題,區分度還是要的,不過,就搶分而言,膽大、靈活的考生也容易找到突破點:AB=BD(同時AC=CD),從而致命一擊,逃出生天! 33. POrlhPl2pr解析 如圖,l=2,又2pr2=pl=2pr=1, 所以h=,故體積. 34. 【解析】因為點在線段上,所以,又因為點在線段上,所以點到平面的距離為1,即,所以. 【答案】 35. 【答案】 【解析】因為在正三棱錐ABC中,PA,PB,PC兩兩互相垂直,所以可以把該正三棱錐看作為一個正方體的一部分,(如圖所示),此正方體內接于球,正方體的體對角線為球的直徑,球心為正方體對角線的中點. 球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐ABC在面ABC上的 高.已知球的半徑為,所以正方體的棱長為2,可求得正三棱錐ABC在面ABC上的高為,所以球心到截面ABC的距離為 【點評】本題主要考查組合體的位置關系、抽象概括能力、空間想象能力、運算求解能力以及轉化思想,該題靈活性較強,難度較大.該題若直接利用三棱錐來考慮不宜入手,注意到條件中的垂直關系,把三棱錐轉化為正方體來考慮就容易多了. 36. 【答案】38 【解析】由三視圖可知該幾何體為一個長方體在中間挖去了一個等高的圓柱,其中長方體的長、寬、高分別為4、3、1,圓柱的底面直徑為2,所以該幾何體的表面積為長方體的表面積加圓柱的側面積再減去圓柱的底面積,即為 【點評】本題主要考查幾何體的三視圖、柱體的表面積公式,考查空間想象能力、運算求解能力,屬于容易題.本題解決的關鍵是根據三視圖還原出幾何體,確定幾何體的形狀,然后再根據幾何體的形狀計算出表面積. 37. 【答案】6. 【考點】正方形的性質,棱錐的體積. 【解析】長方體底面是正方形,中 cm,邊上的高是cm(它也是中上的高). 四棱錐的體積為. 38. 【答案】92 【解析】由三視圖可知,原幾何體是一個底面是直角梯形,高為4的直四棱柱,其底面積為,側面積為,故表面積為92. 【考點定位】考查三視圖和表面積計算. 2012年高考數學（2）點直線平面之間的位置關系一、選擇題 （2012浙江文）設是直線,a,是兩個不同的平面（）A若a,則aB若a,則a C若a,a,則D若a, a,則 （2012四川文）下列命題正確的是（）A若兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線平行B若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行C若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行D若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面平行 （2012浙江理）已知矩形ABCD,AB=1,BC=.將ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻著,在翻著過程中,（）A存在某個位置,使得直線AC與直線BD垂直 B存在某個位置,使得直線AB與直線CD垂直 C存在某個位置,使得直線AD與直線BC垂直 D對任意位置,三直線“AC與BD”,“AB與CD”,“AD與BC”均不垂直 （2012四川理）下列命題正確的是（）A若兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線平行B若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行C若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行D若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面平行 （2012上海春）已知空間三條直線若與異面,且與異面,則 答（）A與異面.B與相交.C與平行.D與異面、相交、平行均有可能.二、填空題（2012四川文）如圖,在正方體中,、分別是、的中點,則異面直線與所成的角的大小是_.（2012大綱文）已知正方形中,分別為,的中點,那么異面直線與所成角的余弦值為_.（ 2012四川理）如圖,在正方體中,、分別是、的中點,則異面直線與所成角的大小是_.（2012大綱理）三棱柱中,底面邊長和側棱長都相等,則異面直線與所成角的余弦值為_.三、解答題（2012重慶文）(本小題滿分12分,()小問4分,()小問8分)已知直三棱柱中,為的中點.()求異面直線和的距離;()若,求二面角的平面角的余弦值.（2012浙江文）如圖,在側棱錐垂直底面的四棱錐ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,ADAB,AB=.AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中點,F是平面B1C1E與直線AA1的交點.(1)證明:(i)EFA1D1;(ii)BA1平面B1C1EF;(2)求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值.（2012天津文）如圖,在四棱錐中,底面是矩形,.(I)求異面直線與所成角的正切值;(II)證明平面平面;(III)求直線與平面所成角的正弦值.（2012四川文）如圖,在三棱錐中,點在平面內的射影在上.()求直線與平面所成的角的大小;()求二面角的大小.（2012上海文）PABCD如圖,在三棱錐P-ABC中,PA底面ABC,D是PC的中點.已知BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:(1)三棱錐P-ABC的體積;(2)異面直線BC與AD所成的角的大小(結果用反三角函數值表示).（2012陜西文）直三棱柱ABC- A1B1C1中,AB=A A1 ,=()證明;()已知AB=2,BC=,求三棱錐的體積.（2012山東文）如圖,幾何體是四棱錐,為正三角形,.()求證:;()若,M為線段AE的中點,求證:平面.（2012遼寧文）如圖,直三棱柱,AA=1,點M,N分別為和的中點.()證明:平面;()求三棱錐的體積.(椎體體積公式V=Sh,其中S為地面面積,h為高)（2012課標文）如圖,三棱柱中,側棱垂直底面,ACB=90,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中點.(I) 證明:平面平面()平面分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.（2012江西文）如圖,在梯形ABCD中,ABCD,E,F是線段AB上的兩點,且DEAB,CFAB,AB=12,AD=5,BC=4,DE=4.現將ADE,CFB分別沿DE,CF折起,使A,B兩點重合與點G,得到多面體CDEFG.(1)求證:平面DEG平面CFG;(2)求多面體CDEFG的體積.（2012湖南文）如圖6,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,ADBC,ACBD.()證明:BDPC;()若AD=4,BC=2,直線PD與平面PAC所成的角為30,求四棱錐P-ABCD的體積.（2012湖北文）某個實心零部件的形狀是如圖所示的幾何體,其下部是底面均是正方形,側面是全等的等腰梯形的四棱臺,上不是一個底面與四棱臺的上底面重合,側面是全等的矩形的四棱柱.(1)證明:直線平面;(2)現需要對該零部件表面進行防腐處理,已知(單位:厘米),每平方厘米的加工處理費為元,需加工處理費多少元?（2012廣東文）(立體幾何)如圖5所示,在四棱錐中,平面,是的中點,是上的點且,為中邊上的高.()證明:平面;()若,求三棱錐的體積;()證明:平面.（2012福建文）如圖,在長方體中,為棱上的一點.(1)求三棱錐的體積;(2)當取得最小值時,求證:平面.（2012大綱文）如圖,四棱錐中,底面為菱形,底面,是上的一點,.()證明:平面;DABPCE()設二面角為90,求與平面所成角的大小.（2012北京文）如圖1,在RtABC中,C=90,D,E分別是AC,AB上的中點,點F為線段CD上的一點.將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如圖2. (1)求證:DE平面A1CB;(2)求證:A1FBE;(3)線段A1B上是否存在點Q,使A1C平面DEQ?說明理由. （2012安徽文）如圖,長方體中,底面是正方形,是的中點,是棱上任意一點.()證明: ;()如果=2,=, , 求 的長.（2012天津理）如圖,在四棱錐中,丄平面,丄,丄,.()證明丄;()求二面角的正弦值;()設E為棱上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為,求AE的長.（2012新課標理）如圖,直三棱柱中,是棱的中點,(1)證明:(2)求二面角的大小.（2012浙江理）如圖,在四棱錐PABCD中,底面是邊長為的菱形,且BAD=120,且PA平面ABCD,PA=,M,N分別為PB,PD的中點.()證明:MN平面ABCD;() 過點A作AQPC,垂足為點Q,求二面角AMNQ的平面角的余弦值.（2012重慶理）(本小題滿分12分()小問4分()小問8分)如圖,在直三棱柱 中,AB=4,AC=BC=3,D為AB的中點()求點C到平面 的距離;()若,求二面角 的平面角的余弦值.（2012四川理）如圖,在三棱錐中,平面平面.()求直線與平面所成角的大小;()求二面角的大小.（2012上海理）如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,E是PC的中點.已知AB=2,ABCDPEAD=2,PA=2.求:(1)三角形PCD的面積;(2)異面直線BC與AE所成的角的大小.（2012上海春）如圖,正四棱柱的底面邊長為,高為,為線段的中點.求:(1)三棱錐的體積;(2)異面直線與所成角的大小(結果用反三角函數值表示)（2012陜西理）(1)如圖,證明命題“是平面內的一條直線,是外的一條直線(不垂直于),是直線在上的投影,若,則”為真.(2)寫出上述命題的逆命題,并判斷其真假 (不需要證明)（2012山東理）在如圖所示的幾何體中,四邊形是等腰梯形,平面.()求證:平面;()求二面角的余弦值.（2012遼寧理） 如圖,直三棱柱,點M,N分別為和的中點.()證明:平面;()若二面角為直二面角,求的值.（2012江西理）在三棱柱中,已知,在在底面的投影是線段的中點。(1)證明在側棱上存在一點,使得平面,并求出的長;(2)求平面與平面夾角的余弦值。（2012江蘇）如圖,在直三棱柱中,分別是棱上的點(點 不同于點),且為的中點.求證:(1)平面平面;(2)直線平面.（2012湖南理） 如圖5,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,DAB=ABC=90,E是CD的中點.()證明:CD平面PAE;()若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,求四棱錐P-ABCD的體積.ABCDPE圖5（2012湖北理）如圖1,過動點A作,垂足D在線段BC上且異于點B,連接AB,沿將折起,使(如圖2所示). ()當的長為多少時,三棱錐的體積最大;()當三棱錐的體積最大時,設點,分別為棱,的中點,試在棱上確定一點,使得,并求與平面所成角的大小.DABCACDB圖2圖1ME.（2012廣東理）如圖5所示,在四棱錐中,底面為矩形,平面,點在線段上,平面.()證明:平面;()若,求二面角的正切值.（2012福建理）如圖,在長方體中為中點.()求證:()在棱上是否存在一點,使得平面?若存在,求的長;若不存在,說明理由. ()若二面角的大小為,求的長.（2012大綱理）(注意:在試題卷上作答無效)如圖,四棱錐中,底面為菱形,底面,是上的一點,.(1)證明:平面;(2)設二面角為,求與平面所成角的大小.（2012北京理）如圖1,在RtABC中,C=90,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點,且DEBC,DE=2,將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1CCD,如圖2. (1)求證:A1C平面BCDE;(2)若M是A1D的中點,求CM與平面A1BE所成角的大小;(3)線段BC上是否存在點P,使平面A1DP與平面A1BE垂直?說明理由. （2012安徽理）平面圖形如圖4所示,其中是矩形,.現將該平面圖形分別沿和折疊,使與所在平面都與平面垂直,再分別連接,得到如圖2所示的空間圖形,對此空間圖形解答下列問題.()證明:; ()求的長;()求二面角的余弦值.參考答案一、選擇題 【答案】B 【命題意圖】本題考查的是平面幾何的基本知識,具體為線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性質. 【解析】利用排除法可得選項B是正確的,a,則a.如選項A:a,時, a或a;選項C:若a,a,或;選項D:若若a, a,或. 答案C 解析若兩條直線和同一平面所成角相等,這兩條直線可能平行,也可能為異面直線,也可能相交,所以A錯;一個平面不在同一條直線的三點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行,故B錯;若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行,也可以垂直;故D錯;故選項C正確. 點評本題旨在考查立體幾何的線、面位置關系及線面的判定和性質,需要熟練掌握課本基礎知識的定義、定理及公式. 【答案】B 【解析】最簡單的方法是取一長方形動手按照其要求進行翻著,觀察在翻著過程,即可知選項B是正確的. 答案C 解析若兩條直線和同一平面所成角相等,這兩條直線可能平行,也可能為異面直線,也可能相交,所以A錯;一個平面不在同一條直線的三點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行,故B錯;若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行,也可以垂直;故D錯;故選項C正確. 點評本題旨在考查立體幾何的線、面位置關系及線面的判定和性質,需要熟練掌握課本基礎知識的定義、定理及公式. D 二、填空題 答案90 解析方法一:連接D1M,易得DNA1D1 ,DND1M, 所以,DN平面A1MD1, 又A1M平面A1MD1,所以,DNA1D1,故夾角為90 方法二:以D為原點,分別以DA, DC, DD1為x, y, z軸,建立空間直角坐標系Dxyz.設正方體邊長為2,則D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2) 故, 所以,cos = 0,故DND1M,所以夾角為90 點評異面直線夾角問題通常可以采用兩種途徑: 第一,把兩條異面直線平移到同一平面中借助三角形處理; 第二,建立空間直角坐標系,利用向量夾角公式解決. 【解析】正確的是 四面體每個面是全等三角形,面積相等 從四面體每個頂點出發的三條棱兩兩夾角之和等于 連接四面體每組對棱中點構成菱形,線段互垂直平分 從四面體每個頂點出發的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長 解析方法一:連接D1M,易得DNA1D1 ,DND1M, 所以,DN平面A1MD1, 又A1M平面A1MD1,所以,DNA1D1,故夾角為90 方法二:以D為原點,分別以DA, DC, DD1為x, y, z軸,建立空間直角坐標系Dxyz.設正方體邊長為2,則D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2) 故, 所以,cos = 0,故DND1M,所以夾角為90 答案 【命題意圖】本試題考查了斜棱柱中異面直線的角的求解.用空間向量進行求解即可. 【解析】設該三棱柱的邊長為1,依題意有,則 而 三、解答題 【答案】:()() 【解析】:()如答(20)圖1,因AC=BC, D為AB的中點,故CD AB.又直三棱柱中, 面 ,故 ,所以異面直線 和AB的距離為 ():由故 面 ,從而 ,故 為所求的二面角的平面角. 因是在面上的射影,又已知 由三垂線定理的逆定理得從而,都與互余,因此,所以,因此得 從而 所以在中,由余弦定理得 【命題意圖】本題主要以四棱錐為載體考查線線平行,線面垂直和線面角的計算,注重與平面幾何的綜合, 同時考查空間想象能力和推理論證能力. (1)(i)因為, 平面ADD1 A1,所以平面ADD1 A1. 又因為平面平面ADD1 A1=,所以.所以. (ii)因為,所以, 又因為,所以, 在矩形中,F是AA的中點,即.即 ,故. 所以平面. (2) 設與交點為H,連結. 由(1)知,所以是與平面所成的角. 在矩形中,得,在直角中,得 ,所以BC與平面所成角的正弦值是. 解:(1)如圖,在四棱錐中,因為底面是矩形,所以,且,又因為,故或其補角是異面直線與所成的角. 在中,所以異面直線與所成角的正切值為2. (2)證明:由于底面是矩形,故,又由于,因此平面,而平面,所以平面平面. (3)在平面內,過點作交直線于點,連接.由于平面平面,由此得為直線與平面所成的角. 在中,可得 在中, 由平面,得平面,因此 在中,在中, 所以直線與平面所成角的正弦值為. 解析(1)連接OC. 由已知,所成的角 設AB的中點為D,連接PD、CD. 因為AB=BC=CA,所以CDAB. 因為等邊三角形, 不妨設PA=2,則OD=1,OP=, AB=4. 所以CD=2,OC=. 在Rttan (2)過D作DE于E,連接CE.由已知可得,CD平面PAB. 據三垂線定理可知,CEPA, 所以,. 由(1)知,DE= 在RtCDE中,tan 故 點評本題旨在考查線面位置關系和二面角的基礎概念,重點考查思維能力和空間想象能力,進一步深化對二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常規步驟:一找(尋找現成的二面角的平面角)、二作(若沒有找到現成的,需要引出輔助線作出二面角的平面角)、三求(有了二面角的平面角后,在三角形中求出該角相應的三角函數值). PABCDE解(1), 三棱錐P-ABC的體積為 (2)取PB的中點E,連接DE、AE,則 EDBC,所以ADE(或其補角)是異面直線 BC與AD所成的角 在三角形ADE中,DE=2,AE=,AD=2, ,所以ADE=. 因此,異面直線BC與AD所成的角的大小是 證明:(I)設中點為O,連接OC,OE,則由知, 又已知,所以平面OCE. 所以,即OE是BD的垂直平分線,所以. (II)取AB中點N,連接,M是AE的中點, 是等邊三角形,.由BCD=120知,CBD=30, 所以ABC=60+30=90,即,所以NDBC, 所以平面MND平面BEC,又DM平面MND,故DM平面BEC. 另證:延長相交于點,連接EF.因為CB=CD,. 因為為正三角形,所以,則, 所以,又, 所以D是線段AF的中點,連接DM, 又由點M是線段AE的中點知, 而平面BEC, 平面BEC,故DM平面BEC. 【答案與解析】 (1)證明:取中點P,連結MP,NP,而M,N分別是A與的中點,所以, MPA,PN,所以,MP平面AC,PN平面AC,又,因此平面MPN平面AC,而MN平面MPN,所以,MN平面AC, ()（解法一）連結BN，由題意,面面=,面NBC， =1, .(解法2) 【點評】本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定、棱錐體積的計算,考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力,難度適中.第一小題可以通過線線平行來證明線面平行,也可通過面面平行來證明;第二小題求體積根據條件選擇合適的底面是關鍵,也可以采用割補發來球體積. 【命題意圖】本題主要考查空間線線、線面、面面垂直的判定與性質及幾何體的體積計算,考查空間想象能力、邏輯推理能力,是簡單題. 【解析】()由題設知BC,BCAC,面, 又面, 由題設知,=,即, 又, 面, 面, 面面; ()設棱錐的體積為,=1,由題意得,=, 由三棱柱的體積=1, =1:1, 平面分此棱柱為兩部分體積之比為1:1. 法二:(I)證明:設,則, 因側棱垂直底面,即,所以, 又D是棱AA1的中點,所以 在中,由勾股定理得: ; 同理,又, 所以:, 即有 因平面,所以, 又,所以 ,所以側面,而平面, 所以:;由(1)和(2)得:平面, 又平面 ,所以平面平面 (II) 平面BDC1分此棱柱的下半部分可看作底面為直角梯形,高為的一個四棱錐,其體積為:, 該四棱柱的總體積為, 所以,平面BDC1分此棱柱的上半部的體積為 所以 ,所求兩部分體積之比為 【解析】(1)由已知可得AE=3,BF=4,則折疊完后EG=3,GF=4,又因為EF=5,所以可得 又因為,可得,即所以平面DEG平面CFG. (2)過G作GO垂直于EF,GO 即為四棱錐G-EFCD的高,所以所求體積為 【解析】()因為 又是平面PAC內的兩條相較直線,所以BD平面PAC, 而平面PAC,所以. ()設AC和BD相交于點O,連接PO,由()知,BD平面PAC, 所以是直線PD和平面PAC所成的角,從而. 由BD平面PAC,平面PAC,知. 在中,由,得PD=2OD. 因為四邊形ABCD為等腰梯形,所以均為等腰直角三角形, 從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積 在等腰三角形AOD中, 所以 故四棱錐的體積為. 【點評】本題考查空間直線垂直關系的證明,考查空間角的應用,及幾何體體積計算.第一問只要證明BD平面PAC即可,第二問由()知,BD平面PAC,所以是直線PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面積和棱錐的高,由算得體積. 【解析】(1)因為四棱柱的側面是全等的矩形,所以 又因為,所以平面 連接,因為平面,所以 因為底面是正方形,所以.根據棱臺的定義可知,與共面. 又已知平面平面,且平面平面 平面,所以,于是 由,可得, 又因為,所以平面. (2)因為四棱柱的底面是正方形,側面是全等的矩形,所以 又因為四棱臺的上、下底面均是正方形,側面是全等的等腰梯形,所以 于是該實心零部件的表面積為,故所需加工處理費為(元) 【點評】本題考查線面垂直,空間幾何體的表面積;考查空間想象,運算求解以及轉化與劃歸的能力.線線垂直線面垂直面面垂直是有關垂直的幾何問題的常用轉化方法;四棱柱與四棱臺的表面積都是由簡單的四邊形的面積而構成,只需求解四邊形的各邊長即可.來年需注意線線平行,面面平行特別是線面平行,以及體積等的考查. 解析:()因為平面,平面,所以.又因為為中邊上的高,所以.,平面,平面,所以平面. (),因為是的中點,平面,所以點到平面的距離等于,即三棱錐的高,于是. ()取中點,連接、.因為是的中點,所以且.而是上的點且,所以且.所以四邊形是平行四邊形,所以.而,所以.又因為平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面,即平面. 【考點定位】本題主要考察直線與直線、直線與平面的位置關系以及體積等基本知識,考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力、數形結合思想、化歸與轉化思想. 【解析】(1)又長方體AD平面.點A到平面的距離AD=1, =21=1 , (2)將側面繞逆時針轉動90展開,與側面共面.當,M,C共線時, +MC取得最小值AD=CD=1 ,=2得M為的中點連接M在中,=MC=,=2, =+ , =90,CM, 平面,CM AMMC=C CM平面,同理可證AM 平面MAC 【命題意圖】本試題主要是考查了四棱錐中關于線面垂直的證明以及線面角的求解的運用.從題中的線面垂直以及邊長和特殊的菱形入手得到相應的垂直關系和長度,并加以證明和求解. 解:設,以為原點,為軸,為軸建立空間直角坐標系,則設. ()證明:由得, 所以,所以, .所以,所以平面; () 設平面的法向量為,又,由得,設平面的法向量為,又,由,得,由于二面角為,所以,解得. 所以,平面的法向量為,所以與平面所成角的正弦值為,所以與平面所成角為. 【點評】試題從命題的角度來看,整體上題目與我們平時練習的試題和相似,底面也是特殊的菱形,一個側面垂直于底面的四棱錐問題,那么創新的地