分位數回歸 主要內容 1 OLS估計原理與QR估計的提出2 總體分位數及樣本分位數3 損失函數4 分位數回歸的估計方法與假設檢驗5 分位數估計的Stata操作 2020 1 30 東北大學工商管理學院 2 1 OLS回歸原理與QR估計的提出 傳統的回歸分析主要關注均值 即采用因變量條件均值的函數來描述自變量每一特定數值下的因變量均值 從而揭示自變量與因變量的關系 這類回歸模型實際上是研究被解釋變量的條件期望 描述了因變量條件均值的變化 OLS回歸模型著重考察x對y的條件期望E y x 的影響 實際上是均值回歸 2020 1 30 東北大學工商管理學院 3 1 OLS回歸原理與QR估計的提出 對于典型的一元回歸模型 2020 1 30 東北大學工商管理學院 4 外生性 球型擾動項 1 OLS回歸原理與QR估計的提出 2020 1 30 東北大學工商管理學院 5 1 OLS回歸原理與QR估計的提出 2020 1 30 東北大學工商管理學院 6 x y 擬合值和殘差 2020 1 30 東北大學工商管理學院 7 1 OLS回歸原理與QR估計的提出 2020 1 30 東北大學工商管理學院 8 1 OLS回歸原理與QR估計的提出 OLS回歸的缺點 1 對異常值特別敏感 2 是均值回歸 E y x 只是刻畫條件分布y x集中趨勢的指標 而我們關心x對整個條件分布y x的影響 3 假設嚴格 誤差項條件均值為零 且方差獨立同分布 即y x服從漸進正態分布 如果y x不是對稱分布 則E y x 很難反映條件分布的全貌 2020 1 30 東北大學工商管理學院 9 異方差下的簡單回歸 2020 1 30 東北大學工商管理學院 10 1 OLS回歸原理與QR估計的提出 異方差的一種情形 2020 1 30 東北大學工商管理學院 11 1 OLS回歸原理與QR估計的提出 異方差下不同分位數的回歸結果 2020 1 30 東北大學工商管理學院 12 1 OLS回歸原理與QR估計的提出 1 OLS回歸原理與QR估計的提出 人們也關心解釋變量與被解釋變量分布的中位數 分位數呈何種關系 這就是分位數回歸 它最早由Koenker和Bassett于1978年提出 是估計一組回歸變量X與被解釋變量Y的分位數之間線性關系的建模方法 強調條件分位數的變化 分位數回歸使用殘差絕對值的加權平均 如 作為最小化的目標函數 而不是像OLS采用作為目標函數 不易受極端值影響 較為穩健 分位數回歸還能提供關于條件分布y x的全面信息 2020 1 30 東北大學工商管理學院 13 1 OLS回歸原理與QR估計的提出 2020 1 30 東北大學工商管理學院 14 2 總體分位數與樣本分位數 2020 1 30 東北大學工商管理學院 15 2 總體分位數與樣本分位數 2020 1 30 東北大學工商管理學院 16 2 總體分位數與樣本分位數 2020 1 30 東北大學工商管理學院 17 2 總體分位數與樣本分位數 2020 1 30 東北大學工商管理學院 18 2 總體分位數與樣本分位數 2020 1 30 東北大學工商管理學院 19 2 總體分位數與樣本分位數 2020 1 30 東北大學工商管理學院 20 在統計學中損失函數是一種衡量損失和錯誤程度的函數 常記作 建模的主要目的是在給定x時表示求y的條件預測值 設表示預測函數 且表示預測誤差 如果損失的準則是 那么就是OLS回歸 最優預測值為條件均值 如果損失準則是絕對誤差損失 那就是中位數回歸 最優預測值為條件中位數 2020 1 30 東北大學工商管理學院 21 3 損失函數 線性損失函數其中 k1和k2是兩個常數 反映在大于a和小于a時的損失程度 當k1和k2相等時 可以得到絕對值形式的損失函數 2020 1 30 東北大學工商管理學院 22 3 損失函數 對于之前的OLS來說 就是使得殘差平方和最小 即損失函數為平方損失函數 此為最小二乘回歸 而中位數回歸的損失函數為絕對值損失函數 則稱為最小一乘回歸 使得殘差絕對值的和最小 最小一乘回歸是分位數回歸的特例 在QR中 通過計算數據點到回歸線的加權距離 沒有平方 賦予擬合線下數據點的權重是1 q 賦予擬合線上數據點的權重為q 對于選擇的每個q 都會產生不同的條件分位數擬合函數 2020 1 30 東北大學工商管理學院 23 3 損失函數 對一個樣本 估計的分位數回歸式越多 對被解釋變量yt條件分布的理解就越充分 以一元回歸為例 如果用LAD 最小絕對離差和 法估計的中位數回歸直線與用OLS法估計的均值回歸直線有顯著差別 則表明被解釋變量yt的分布是非對稱的 2020 1 30 東北大學工商管理學院 24 4 分位數回歸的估計方法與假設檢驗 如果散點圖上側分位數回歸直線之間與下側分位數回歸直線之間相比 上側比較接近 則說明被解釋變量yt的分布是左偏的 反之是右偏的 對于不同分位數回歸函數 如果回歸系數的差異很大 說明在不同分位數上解釋變量對被解釋變量的影響是不同的 2020 1 30 東北大學工商管理學院 25 4 分位數回歸的估計方法與假設檢驗 4 分位數回歸的估計方法與假設檢驗 2020 1 30 東北大學工商管理學院 26 不可微分 線性規劃 單純形法 4 分位數回歸的估計方法與假設檢驗 2020 1 30 東北大學工商管理學院 27 4 分位數回歸的估計方法與假設檢驗 2020 1 30 東北大學工商管理學院 28 使用自助法來求聚類穩健標準誤 協方差矩陣 很難進行估計 4 分位數回歸的估計方法與假設檢驗 2020 1 30 東北大學工商管理學院 29 4 分位數回歸的估計方法與假設檢驗 分位數回歸估計的檢驗包括兩部分 一是與均值回歸類似的檢驗 例如擬合優度檢驗 擬似然比檢驗和Wald檢驗等 一是分位數回歸估計特殊要求的檢驗 例如斜率相等檢驗和斜率對稱性檢驗等 2020 1 30 東北大學工商管理學院 30 1 擬合優度檢驗 假設分位數回歸直線為 則q分位數的加權誤差項的擬合值為 而實際的樣本q分位數的加權誤差項為 擬和優度準則表達式如下 2 斜率相等檢驗 斜率相等檢驗 即檢驗對于不同的分位點 估計得到的結構參數 在線性模型中即為斜率 是否相等 原假設被設定為 其中指常數項以外的解釋變量所對應的 k 1 維參數列向量 因此 原假設共含有 k 1 m 1 個約束條件 構造Wald形式的統計量檢驗零假設是否成立 如果接受該假設 說明