第二章函數概念與基本初等函數i 2 2函數的單調性與最值 內容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 答題模板系列 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 1 函數的單調性 1 單調函數的定義 f x1 f x2 f x1 f x2 知識梳理 1 答案 上升的 下降的 2 單調區間的定義 如果函數y f x 在區間d上是或 那么就說函數y f x 在這一區間具有 嚴格的 單調性 叫做y f x 的單調區間 增函數 減函數 區間d 答案 2 函數的最值 f x m f x0 m f x m f x0 m 答案 1 函數單調性的兩種等價形式設任意x1 x2 a b 且x1 x2 那么 知識拓展 2 x1 x2 f x1 f x2 0 f x 在 a b 上是增函數 x1 x2 f x1 f x2 0 f x 在 a b 上是減函數 2 函數的值域和最值的區別與聯系 1 函數的值域一定存在 而函數的最值不一定存在 2 若函數的最值存在 則一定是值域中的元素 若函數的值域是開區間 則函數無最值 若函數的值域是閉區間 則閉區間的端點值就是函數的最值 判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 在增函數與減函數的定義中 可以把 任意兩個自變量 改為 存在兩個自變量 2 對于函數f x x d 若x1 x2 d且 x1 x2 f x1 f x2 0 則函數f x 在d上是增函數 3 函數y f x 在 1 上是增函數 則函數的單調遞增區間是 1 思考辨析 答案 4 函數y 的單調遞減區間是 0 0 5 所有的單調函數都有最值 6 對于函數y f x 若f 1 f 3 則f x 為增函數 答案 y2 x在 0 內是增函數 b c d選項中的函數在 0 上均不單調 故選a a 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 若函數f x 2x a 的單調遞增區間是 3 則a的值為 a 2b 2c 6d 6 c 解析答案 1 2 3 4 5 a 增函數b 減函數c 先增后減d 先減后增 解析由y ax在 0 上是減函數 知a 0 又 y ax2 bx的開口向下 y ax2 bx在 0 上是減函數 故選b b 解析答案 1 2 3 4 5 2 解析答案 1 2 3 4 5 5 已知函數f x x2 2ax 3在區間 1 2 上具有單調性 則實數a的取值范圍為 解析函數f x x2 2ax 3的圖象開口向上 對稱軸為直線x a 畫出草圖如圖所示 由圖象可知函數在 a 和 a 上都具有單調性 因此要使函數f x 在區間 1 2 上具有單調性 只需a 1或a 2 從而a 1 2 1 2 解析答案 返回 1 2 3 4 5 題型分類深度剖析 命題點1給出具體解析式的函數的單調性 解析y ln x 2 的增區間為 2 在區間 0 上為增函數 a 題型一確定函數的單調性 區間 解析答案 d 所以求原函數的單調遞增區間 即求函數t x2 4的單調遞減區間 結合函數的定義域 可知所求區間為 2 解析答案 3 y x2 2 x 3的單調增區間為 解析由題意知 當x 0時 y x2 2x 3 x 1 2 4 當x 0時 y x2 2x 3 x 1 2 4 二次函數的圖象如圖 由圖象可知 函數y x2 2 x 3在 1 0 1 上是增函數 1 0 1 解析答案 命題點2解析式含參函數的單調性 解析答案 解析答案 由于 10 x1 10時 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函數f x 在 1 1 上遞減 當a0時 f x 在 1 1 上單調遞減 當a 0時 f x 在 1 1 上單調遞增 解析答案 思維升華 引申探究 解設 1 x1 x2 1 1 x1 x2 1 解析答案 又 a 0 f x1 f x2 0 函數在 1 1 上為減函數 思維升華 確定函數單調性的方法 1 定義法和導數法 證明函數單調性只能用定義法和導數法 2 復合函數法 復合函數單調性的規律是 同增異減 3 圖象法 圖象不連續的單調區間不能用 連接 跟蹤訓練1 解析答案 解析答案 有f x1 f x2 0 即f x1 f x2 有f x1 f x2 0 即f x1 f x2 解析答案 題型二函數的最值 解析答案 2 若對任意x 1 f x 0恒成立 試求實數a的取值范圍 當a 0時 f x 在 1 內為增函數 最小值為f 1 a 3 要使f x 0在x 1 上恒成立 只需a 3 0 即a 3 所以 30 a 3 所以0 a 1 綜上所述 f x 在 1 上恒大于零時 a的取值范圍是 3 1 解析答案 思維升華 思維升華 求函數最值的常用方法 1 單調性法 先確定函數的單調性 再由單調性求最值 2 圖象法 先作出函數的圖象 再觀察其最高點 最低點 求出最值 3 換元法 對比較復雜的函數可通過換元轉化為熟悉的函數 再用相應的方法求最值 2 所以f x 在x 1處取得最大值 為f 1 1 當x 1時 易知函數f x x2 2在x 0處取得最大值 為f 0 2 故函數f x 的最大值為2 跟蹤訓練2 解析答案 解析答案 命題點1比較大小 當x1 1 2 時 f x1 f 2 0 即f x1 0 b 題型三函數單調性的應用 解析答案 命題點2解不等式 c a 1 1 b 0 1 c 1 0 0 1 d 1 1 解析答案 命題點3求參數范圍 解析答案 因為f x 在 4 上單調遞增 答案d 解析當a 0時 f x 2x 3 在定義域r上是單調遞增的 故在 4 上單調遞增 解析答案 思維升華 思維升華 函數單調性應用問題的常見類型及解題策略 1 比較大小 比較函數值的大小 應將自變量轉化到同一個單調區間內 然后利用函數的單調性解決 2 解不等式 在求解與抽象函數有關的不等式時 往往是利用函數的單調性將 f 符號脫掉 使其轉化為具體的不等式求解 此時應特別注意函數的定義域 3 利用單調性求參數 視參數為已知數 依據函數的圖象或單調性定義 確定函數的單調區間 與已知單調區間比較求參數 需注意若函數在區間 a b 上是單調的 則該函數在此區間的任意子集上也是單調的 分段函數的單調性 除注意各段的單調性外 還要注意銜接點的取值 1 f x 是定義在 0 上的單調增函數 滿足f xy f x f y f 3 1 當f x f x 8 2時 x的取值范圍是 a 8 b 8 9 c 8 9 d 0 8 解析2 1 1 f 3 f 3 f 9 由f x f x 8 2 可得f x x 8 f 9 因為f x 是定義在 0 上的增函數 b 跟蹤訓練3 解析答案 a 1 0 0 1 b 1 0 0 1 c 0 1 d 0 1 d 解析由f x x2 2ax在 1 2 上是減函數可得 1 2 a a 1 解析答案 返回 答題模板系列 典例 14分 函數f x 對任意的m n r 都有f m n f m f n 1 并且x 0時 恒有f x 1 1 求證 f x 在r上是增函數 思維點撥對于抽象函數的單調性的證明 只能用定義 應該構造出f x2 f x1 并與0比較大小 答題模板系列 1 確定抽象函數單調性函數不等式 解析答案 思維點撥 證明設x1 x2 r 且x10 當x 0時 f x 1 f x2 x1 1 2分 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 1 4分 f x2 f x1 f x2 x1 1 0 f x1 f x2 f x 在r上為增函數 7分 規范解答 2 若f 3 4 解不等式f a2 a 5 2 思維點撥將函數不等式中的抽象函數符號 f 運用單調性 去掉 是本題的切入點 要構造出f m f n 的形式 解析答案 答題模板 溫馨提醒 思維點撥 返回 解 m n r 不妨設m n 1 f 1 1 f 1 f 1 1 f 2 2f 1 1 9分 f 3 4 f 2 1 4 f 2 f 1 1 4 3f 1 2 4 f 1 2 f a2 a 5 2 f 1 12分 f x 在r上為增函數 a2 a 5 1 3 a 2 即a 3 2 14分 規范解答 答題模板 解函數不等式問題的一般步驟 第一步 定性 確定函數f x 在給定區間上的單調性 第二步 轉化 將函數不等式轉化為f m f n 的形式 第三步 去f 運用函數的單調性 去掉 函數的抽象符號 f 轉化成一般的不等式或不等式組 第四步 求解 解不等式或不等式組確定解集 第五步 反思 反思回顧 查看關鍵點 易錯點及解題規范 溫馨提醒 返回 本題對函數的單調性的判斷是一個關鍵點 不會運用條件x 0時 f x 1 構造不出f x2 f x1 f x2 x1 1的形式 便找不到問題的突破口 第二個關鍵應該是將不等式化為f m f n 的形式 解決此類問題的易錯點 忽視了m n的取值范圍 即忽視了f x 所在的單調區間的約束 思想方法感悟提高 1 利用定義證明或判斷函數單調性的步驟 1 取值 2 作差 3 定量 4 判斷 2 確定函數單調性有四種常用方法 定義法 導數法 復合函數法 圖象法 也可利用單調函數的和差確定單調性 3 求函數最值的常用求法 單調性法 圖象法 換元法 方法與技巧 1 分段函數單調性不僅要考慮各段的單調性 還要注意銜接點 2 函數在兩個不同的區間上單調性相同 一般要分開寫 用 或 和 連接 不要用 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 下列函數在 0 1 上為減函數的是 a y cosxb y 2xc y sinxd y tanx a 解析答案 2 函數f x x2 9 的單調遞增區間為 a 0 b 0 c 3 d 3 解析函數f x x2 9 的定義域為 3 3 求函數f x x2 9 的單調遞增區間即求函數u x x2 9的單調遞減區間 即 3 故選d d 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析 函數圖象關于x 1對稱 b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 若函數f x x2 2x m在 3 上的最小值為1 則實數m的值為 a 3b 2c 1d 1解析 f x x 1 2 m 1在 3 上為單調增函數 且f x 在 3 上的最小值為1 f 3 1 即22 m 1 1 m 2 b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析當a 0時 f x 12x 5 在 3 上是減函數 d 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 已知函數f x ln 4 x2 則f x 的定義域為 當x 時 f x 有最大值為 解析由4 x2 0得 2 x 2 f x 的定義域為 2 2 當x 0時 f x max ln4 2 2 0 ln4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 則a 2 又ax a是增函數 故a 1 所以a的取值范圍為1 a 2 1 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以f x 在 1 1 上單調遞減 故f x 在 1 1 上的最大值為f 1 3 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 證明任設x1 x2 2 x1 2 x2 2 0 x1 x2 0 f x1 f x2 f x 在 2 上單調遞增 1 若a 2 試證明f x 在 2 內單調遞增 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 若a 0且f x 在 1 上單調遞減 求a的取值范圍 解任設1 x1 x2 則 a 0 x2 x1 0 要使f x1 f x2 0 只需 x1 a x2 a 0在 1 上恒成立 a 1 綜上所述 a的取值范圍是 0 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 設函數y f x 是定義在 0 上的函數 并且滿足下面三個條件 對任意正數x y 都有f xy f x f y 當x 1時 f x 0 f 3 1 解令x y 1易得f 1 0 而f 9 f 3 f 3 1 1 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 如果不等式f x f 2 x 2成立 求x的取值范圍 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由f xy f x f y 得 所以f x 是減函數 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 b中 f x x 1 2在 0 1 上是減函數 在 1 上是增函數 c中 f x ex是增函數 d中 f x ln x 1 是增函數 答案a 解析由題意知f x 在 0 上是減函數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解