基于ARIMA模型對河南省2010年GDP預測摘要：ARIMA模型是對ARMA模型的差分得到的平穩時間序列模型，具有序列相關性，本文收集了1978-2009年河南省GDP數據，根據ARIMA模型的性質、利用統計軟件對河南省2010年GDP進行預測。關鍵字：平穩性、ARMA模型、ARIMA模型 由于2008年金融海嘯的全面性的爆發，我國的整體經濟水平難免呈現不良的發展趨勢，4萬億的救市計劃，終于達到2009年的保八目標。在這個時候如果對我國GDP進行預測，難免有些偏差，因此本文選擇受金融危機影響較小、地處中原、經濟持續平穩增長的河南省為例，收集改革開放30年來的數據對2010年的GDP進行預測。GDP時間序列具有明顯的增長趨勢，因此ARMA模型顯然的不穩定的，基于ARMA模型進行差分，發現二次差分的結果不僅穩定，而且表示出良好的序列相關性，所以能用ARMIMA模型對為例GDP進行預測。比較原始值GDP和預測值GDPF，兩曲線吻合的比較好。1、 ARIMA模型的建立時間序列模型有四種：自回歸模型AR、移動平均模型MA、自回歸移動平均模型ARMA、自回歸差分移動平均模型ARIMA，可以說前三種都是ARIMA模型的特殊形式。1. 自回歸模型AR(p) p 階自回歸模型記作AR(p)，滿足下面的方程： 其中：參數 c 為常數；1，2 ,p 是自回歸模型系數；p為自回歸模型階數；是均值為0方差為 的白噪聲序列。 2. 移動平均模型MA(q) q 階移動平均模型記作MA(q) ，滿足下面的方程： 其中：參數為常數；是 q 階移動平均模型的系數；是均值為0，方差為 的白噪聲序列。 3. ARMA(p,q)模型 顯然此模型是模型AR(p)與MA(q)的組合形式，稱為混合模型，常記作ARMA(p,q)。當 p=0 時，ARMA(0, q) = MA(q)；當q = 0時，ARMA(p, 0) = AR(p)。4. ARIMA（p,d,q）模型 對于非平穩序列，經過幾次差分后，如果能得到平穩的時間序列，就稱這樣的序列為單整序列。設是 d 階單整序列，記作： I(d)，則 為平穩序列，即 I(0) ，于是可以對 建立ARMA(p,q) 模型 ： 如果時間序列經過d次差分后是一個ARIMA(p,q)過程，則稱原時間序列是一個p階自回歸、d階求整、q階移動平均過程，記作ARIMA（p,d,q），d代表差分的次數。2、 基于ARIMA模型對河南省GDP進行預測 改革開放以來，隨著對傳統的計劃經濟體制的一系列突破，河南經濟煥發出新的生機和活力，國民經濟不斷躍上新臺階。改革開放之初的1978年全省GDP總量僅為162.92億元，1991年跨上千億元臺階，2000年GDP突破5000億元，2005年GDP突破1萬億元大關，未來兩三年內有望進一步突破20000億元大關。在全國各省市的排位由1978年的第9位上升到2009年的第5位，居中西部地區首位。30年來全省GDP以年均11.2%的速度增長，高于同期全國平均水平1.4個百分點。河南省1978-2009年的GDP以及取對數后時間序列圖如下：年份 GDP Y年份 GDP Y1978162.925.093259282819942224.437.7072559821979190.095.247497644219953002.748.00728048421980229.165.434420449519963661.188.20554077881981249.695.520220148419974079.268.31367087841982263.35.573294066519984356.68.37944721561983327.955.792861157719994,576.108.4286023861984370.045.913611107920005,137.668.54435300191985451.746.113106793120015,533.018.61848725021986502.916.220411227720026,035.488.70541066641987609.66.412803004420036,867.708.83458454021988749.096.618859136520048,553.799.05412973861989850.716.7460712949200510,587.429.26742178291990934.656.8401721277200612,362.799.422446433719911045.736.9524704851200715,012.469.616635801919921279.757.1544200253200818,407.789.820528680319931662.767.4162341513200919,367.289.8713403232（Y=ln(GDP) 單位：億元 數據來自全球EPS數據庫）博克斯詹金斯的建模思想如為：2.對所選模型進行參數估計1.模型識別（選擇實驗性p,d q ）3.診斷檢驗（所估計的標準誤是白噪聲嗎？） 否 是 4.預測根據博克斯詹金斯的建模ln(GDP)進行識別、估計、診斷、預測。 1.模型識別在識別階段，我們可以利用自相關函數和偏自相關函數來試探性用ARIMA模型表現數據的產生機制。根據上表中的數據，用Eviews計算GDP的對數Y的自相關函數和偏自相關函數的表如下：從上圖可以看出，GDP的對數Y的自相關函數隨著時間的間隔的增加，很緩慢的下降，因此序列Y是非平穩的。這些年來GDP有明顯的增長趨勢從中也可以判斷Y不是平穩的，可以對此序列進行差分。現在對Y進行一次差分，令y1=d(y)則： 用Eviews對y1分析，其相關圖和散步圖如下： 從y1的相關圖沒有觀察到相關函數和偏自相關函數急劇下降的情況，不能判斷時間序列是平穩的還是非平穩的。從y1的散步圖的分布圖可以判斷此序列是非平穩的。現在對y1進行差分，即y的二次差分。令y2=d(y1) 用Eviews對y2分析，其相關圖和散步圖如下： 無論從y2的相關圖，還是從其散步圖的分布來看，均可以判斷y2是平穩的，所以y2可以用ARMA模型來擬合，即ln(GDP)可以用二階求整的ARIMA過程來擬合。 2.估計 經差分過程得到平穩的時間序列后，要估計模型中所含的自回歸和移動平均項的參數。由于ARMA涉及非線性估計問題，我們用數據處理軟件對此估計。非平穩的ln(GDP)，經差分得到平穩的時間序列y2,根據適應性期望模型的思路進行對y2的ARMA擬合。分別對ARMA（1，1）、ARMA（1，2）、ARMA（2，1）、ARMA（2，2）做回歸，然后根據赤池信息準則得到ARMA（1，2）的AIC值最小，所以樣本模型的參數為P=1,Q=2。回歸結果如下：方程為： 3.診斷 在選定ARIMA（1，2，2）后診斷的目的就是看所選的模型對數據擬合的是否夠好。為了選取正確的ARIMA模型，需要有高度的技巧。對所選模型的一個簡單的檢驗，是看從該模型估計算出來的殘差是不是白噪聲；如果是，就可以接受這個擬合；如果不是就需進行修改，知道殘差是白噪聲為止。Y2的ARMA（1，2）殘差的相關函數與非相關函數分布如下：殘差的自相關函數的AC值和偏自相關函數的PAC值全部落在置信區間內。因此殘差服從白噪聲分布，所以說模型ARIMA參數選擇是正確了，擬合的效果能符合要求。4.預測依據時間序列數據進行預測的方法有五種：指數平滑法、單一方程回歸法、聯立方程回歸模型、自回歸求積移動平均模型以及向量自回歸模型。在這里我用指數平滑法預測。指數平滑法是針對給定時間序列的歷史數據擬合出一條適當曲線的基本方法。將樣本容量擴大到預測點2010年選擇靜態預測。根據估計結果，y2超前一期的預期模型為： =0.038132 即預測河南省2010年的GDP值為21157.29億元。3、 總結 河南省歷年GDP值與預測值GDPF的散步圖分布如下，從整體分布來看比較吻合。 根據預測的結果河南省2010年的GDP將達到21157.29億元,比2009年增長9.24%。ARMA模型預測方法是當前比較先進的時間序列預測方法，它真實地刻畫動態變化規律，在一定的要求下可以為經濟做判斷與預測，具有良好的政策性指導意義。它根據時間序列反映出來的規律和發展趨勢進行推導和延伸，從而預測以后時期可能達到的水平。但是這種預測方法適合短期預測，預測長期將出現較大的偏差，因此本文只預測了2010年河南省GDP值。ARMA的不足之處是ARMA模型對突