第二十一章 二次根式 教材內容 1本單元教學的主要內容： 二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡二次根式 2本單元在教材中的地位和作用： 二次根式是在學完了八年級下冊第十七章反比例正函數、第十八章勾股定理及其應用等內容的基礎之上繼續學習的，它也是今后學習其他數學知識的基礎 教學目標 1知識與技能 （1）理解二次根式的概念 （2）理解（a0）是一個非負數，（）2=a（a0），=a（a0） （3）掌握（a0，b0），=；=（a0，b0），=（a0，b0） （4）了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行加減 2過程與方法 （1）先提出問題，讓學生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念再對概念的內涵進行分析，得出幾個重要結論，并運用這些重要結論進行二次根式的計算和化簡 （2）用具體數據探究規律，用不完全歸納法得出二次根式的乘（除）法規定，并運用規定進行計算 （3）利用逆向思維，得出二次根式的乘（除）法規定的逆向等式并運用它進行化簡 （4）通過分析前面的計算和化簡結果，抓住它們的共同特點，給出最簡二次根式的概念利用最簡二次根式的概念，來對相同的二次根式進行合并，達到對二次根式進行計算和化簡的目的 3情感、態度與價值觀 通過本單元的學習培養學生：利用規定準確計算和化簡的嚴謹的科學精神，經過探索二次根式的重要結論，二次根式的乘除規定，發展學生觀察、分析、發現問題的能力 教學重點 1二次根式（a0）的內涵（a0）是一個非負數；（）2a（a0）；=a（a0）及其運用 2二次根式乘除法的規定及其運用3最簡二次根式的概念 4二次根式的加減運算 教學難點 1對（a0）是一個非負數的理解；對等式（）2a（a0）及=a（a0）的理解及應用 2二次根式的乘法、除法的條件限制 3利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式 教學關鍵 1潛移默化地培養學生從具體到一般的推理能力，突出重點，突破難點 2培養學生利用二次根式的規定和重要結論進行準確計算的能力，培養學生一絲不茍的科學精神 單元課時劃分 本單元教學時間約需11課時，具體分配如下： 211 二次根式 3課時 212 二次根式的乘法 3課時 213 二次根式的加減 3課時 小結與自測 2課時211 二次根式第一課時 教學內容 二次根式的概念及其運用 教學目標 知識與技能：理解二次根式的概念，并利用（a0）的意義解答具體題目 過程與方法： 提出問題，根據問題給出概念，應用概念解決實際問題 情感、態度、價值觀：培養學生課前預習的習慣，培養學生利用概念解決問題的能力. 教學重難點關鍵 1重點：形如（a0）的式子叫做二次根式的概念； 2難點與關鍵：利用“（a0）”解決具體問題 教學過程 一、復習引入 （學生活動）請同學們獨立完成下列三個問題： 問題1：已知反比例函數y=，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標相等的點的坐標是_問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，C=90，那么AB邊的長是_ 問題3：甲射擊6次，各次擊中的環數如下：8、7、9、9、7、8，那么甲這次射擊的方差是S2，那么S=_ 老師點評：問題1：橫、縱坐標相等，即x=y，所以x2=3因為點在第一象限，所以x=，所以所求點的坐標（，） 問題2：由勾股定理得AB= 問題3：由方差的概念得S= . 二、探索新知 很明顯、，都是一些正數的算術平方根像這樣一些正數的算術平方根的式子，我們就把它稱二次根式因此，一般地，我們把形如（a0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號 （學生活動）議一議： 1-1有算術平方根嗎？ 20的算術平方根是多少？ 3當a0）、-、（x0，y0） 分析：二次根式應滿足兩個條件：第一，有二次根號“”；第二，被開方數是正數或0 解：二次根式有：、（x0）、-、（x0，y0）；不是二次根式的有：、 例2當x是多少時，在實數范圍內有意義？ 分析：由二次根式的定義可知，被開方數一定要大于或等于0，所以3x-10，才能有意義 解：由3x-10，得：x 當x時，在實數范圍內有意義 三、鞏固練習 教材P練習1、2、3 四、應用拓展 例3當x是多少時，+在實數范圍內有意義？ 分析：要使+在實數范圍內有意義，必須同時滿足中的0和中的x+10（解題過程略） 例4(1)已知y=+5，求的值(2)若+=0，求a2004+b2004的值 五、歸納小結（學生活動，老師點評） 本節課要掌握： 1形如（a0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號 2要使二次根式在實數范圍內有意義，必須滿足被開方數是非負數 六、布置作業 1教材P8復習鞏固1、綜合應用5 2選用課時作業設計 第一課時作業設計 一、選擇題 1下列式子中，是二次根式的是（ ） A- B C Dx 2下列式子中，不是二次根式的是（ ） A B C D 3已知一個正方形的面積是5，那么它的邊長是（ ） A5 B C D以上皆不對 二、填空題 1形如_的式子叫做二次根式 2面積為a的正方形的邊長為_ 3負數_平方根 三、綜合提高題 1當x是多少時，+x2在實數范圍內有意義？ 2若+有意義，則=_ 3.使式子有意義的未知數x有（ ）個 A0 B1 C2 D無數4.已知a、b為實數，且+2=b+4，求a、b的值21.1 二次根式(2)第二課時 教學內容 1（a0）是一個非負數； 2（）2=a（a0） 教學目標1.知識與技能：理解（a0）是一個非負數和（）2=a（a0），并利用它們進行計算和化簡 2過程與方法：通過復習二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出（a0）是一個非負數，用具體數據結合算術平方根的意義導出（）2=a（a0）；3. 情感、態度、價值觀：強化概念記憶、用聯想、類比思想嘗試去解決問題，以形成良好的數學學習習慣. 教學重難點關鍵 1重點：（a0）是一個非負數；（）2=a（a0）及其運用 2難點、關鍵：用分類思想的方法導出（a0）是一個非負數；用探究的方法導出（）2=a（a0） 教學過程 一、復習引入 （學生活動）口答 1什么叫二次根式？ 2當a0時，叫什么？當a0 Ba0 Ca0 Da=0 二、填空題 1（-）2=_ 2已知有意義，那么是一個_數 三、綜合提高題 1計算（1）（）2 （2）-（）2 （3）（）2 （4）（-3）2 (5) 2把下列非負數寫成一個數的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x0）3已知+=0，求xy的值 4在實數范圍內分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-521.1 二次根式(3)第三課時 教學內容 a（a0） 教學目標 知識與技能：理解=a（a0）并利用它進行計算和化簡過程與方法：通過具體數據的解答，探究=a（a0），并利用這個結論解決具體問題情感、態度與價值觀：潛移默化地培養學生從具體到一般的推理能力，掌握較好的數感、符號感. 教學重難點關鍵 1重點：a（a0） 2難點：探究結論 3關鍵：講清a0時，a才成立 教學過程 一、復習引入 老師口述并板收上兩節課的重要內容； 1形如（a0）的式子叫做二次根式； 2（a0）是一個非負數； 3()2a（a0） 那么，我們猜想當a0時，=a是否也成立呢？下面我們就來探究這個問題 二、探究新知 （學生活動）填空： =_；=_；=_； =_；=_；=_ （老師點評）：根據算術平方根的意義，我們可以得到： =2；=0.01；=；=；=0；= 因此，一般地：=a（a0） 例1 化簡 （1） （2） （3） （4）分析：因為（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可運用=a（a0）去化簡解：（1）=3 （2）=4 （3）=5 （4）=3 三、鞏固練習 教材P7練習2 四、應用拓展 例2 填空：當a0時，=_；當aa，則a可以是什么數？ 分析：=a（a0），要填第一個空格可以根據這個結論，第二空格就不行，應變形，使“（ ）2”中的數是正數，因為，當a0時，=，那么-a0 （1）根據結論求條件；（2）根據第二個填空的分析，逆向思想；（3）根據（1）、（2）可知=a，而a要大于a，只有什么時候才能保證呢？aa，即使aa所以a不存在；當aa，即使-aa，a0綜上，a2，化簡-分析：(略) 五、歸納小結 本節課應掌握：=a（a0）及其運用，同時理解當a0時，a的應用拓展 六、布置作業 1教材P8習題211 3、4、6、8 2選作課時作業設計 第三課時作業設計 一、選擇題 1的值是（ ） A0 B C4 D以上都不對 二、填空題 1-=_ 2若是一個正整數，則正整數m的最小值是_ 三、綜合提高題 1先化簡再求值：當a=9時，求a+的值，甲乙兩人的解答如下： 甲的解答為：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答為：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17兩種解答中，_的解答是錯誤的，錯誤的原因是_2. 若-3x2時，試化簡x-2+。212 二次根式的乘除第一課時 教學內容 （a0，b0），反之=（a0，b0）及其運用 教學目標 知識與技能：理解（a0，b0），=（a0，b0），并利用它們進行計算和化簡過程與方法：由具體數據，發現規律，導出（a0，b0）并運用它進行計算；利用逆向思維，得出=（a0，b0）并運用它進行解題和化簡情感、態度與價值觀：經過探索二次根式的重要結論，二次根式的乘除規定，發展學生觀察、分析、發現問題的能力 教學重難點關鍵 重點：（a0，b0），=（a0，b0）及它們的運用 難點：發現規律，導出（a0，b0） 關鍵：要講清（a0,b、0）,并驗證你的結論212 二次根式的乘除第二課時 教學內容 =（a0，b0），反過來=（a0，b0）及利用它們進行計算和化簡 教學目標 知識與技能：理解=（a0，b0）和=（a0，b0）及利用它們進行運算過程與方法：利用具體數據，通過學生練習活動，發現規律，歸納出除法規定，并用逆向思維寫出逆向等式及利用它們進行計算和化簡情感、態度與價值觀：發展學生觀察、分析、發現問題的能力 教學重難點關鍵 1重點：理解=（a0，b0），=（a0，b0）及利用它們進行計算和化簡 2難點關鍵：發現規律，歸納出二次根式的除法規定 教學過程 一、復習引入 （學生活動）請同學們完成下列各題： 1寫出二次根式的乘法規定及逆向等式 2填空 （1）=_，=_； （2）=_，=_； （3）=_，=_規律：_； _；_ 二、探索新知 剛才同學們都練習都很好，上臺的同學也回答得十分準確，根據大家的練習和回答，我們可以得到： 一般地，對二次根式的除法規定：=（a0，b0），反過來，=（a0，b0） 下面我們利用這個規定來計算和化簡一些題目 例1計算：（1） （2） （3） （4） 分析：上面4小題利用=（a0，b0）便可直接得出答案解：（1）=2 （2）=2（3）=2（4）=2 例2化簡： （1） （2） （3） （4） 分析：直接利用=（a0，b0）就可以達到化簡之目的解：（1）= （2）= （3）= （4）= 三、鞏固練習 教材P14 練習1 四、應用拓展 例3已知，且x為偶數，求（1+x）的值分析：式子=，只有a0，b0時才能成立因此得到9-x0且x-60，即6x9，又因為x為偶數，所以x=8 解：由題意得，即 60）和=（a0，b0）及其運用 六、布置作業 1教材P15 習題212 2、7、8、9 2選用課時作業設計 第二課時作業設計 一、選擇題 1計算的結果是（ ） A B C D2閱讀下列運算過程：， 數學上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”，那么，化簡的結果是（ ） A2 B6 C D 二、填空題 1分母有理化:(1) =_;(2) =_;(3) =_. 2已知x=3，y=4，z=5，那么的最后結果是_ 21.2 二次根式的乘除(3)第三課時 教學內容 最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進行二次根式的化簡運算 教學目標 知識與技能：理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式過程與方法：通過計算或化簡的結果來提煉出最簡二次根式的概念，并根據它的特點來檢驗最后結果是否滿足最簡二次根式的要求情感、態度與價值觀：通過交流與合作學習，培養學生良好的數學思維。 重難點關鍵 1重點：最簡二次根式的運用 2難點關鍵：會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式 教學過程 一、復習引入 （學生活動）請同學們完成下列各題（請三位同學上臺板書） 1計算（1），（2），（3） 老師點評：=，=，= 2現在我們來看本章引言中的問題：如果兩個電視塔的高分別是h1km，h2km，那么它們的傳播半徑的比是_ 它們的比是 二、探索新知 觀察上面計算題1的最后結果，可以發現這些式子中的二次根式有如下兩個特點： 1被開方數不含分母； 2被開方數中不含能開得盡方的因數或因式 我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式 那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？如果不是，把它們化成最簡二次根式 學生分組討論，推薦34個人到黑板上板書老師點評：不是=. 例1(1) ; (2) ; (3) 例2如圖，在RtABC中，C=90，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的長 解：因為AB2=AC2+BC2 所以AB=6.5（cm） 因此AB的長為6.5cm 三、鞏固練習 教材P14 練習2、3 四、應用拓展例3觀察下列各式，通過分母有理數，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：=-1，=-， 同理可得：=-， 從計算結果中找出規律，并利用這一規律計算 （+）（+1）的值 分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達到化簡的目的 解：原式=（-1+-+-+-）（+1） =（-1）（+1） =2002-1=2001 五、歸納小結 本節課應掌握：最簡二次根式的概念及其運用 六、布置作業 1教材P15 習題212 3、7、102選用課時作業設計 第三課時作業設計 一、選擇題 1如果（y0）是二次根式，那么，化為最簡二次根式是（ ） A（y0） B（y0） C（y0） D以上都不對 2把（a-1）中根號外的（a-1）移入根號內得（ ） A B C- D- 3在下列各式中，化簡正確的是（ ）A=3 B=C=a2 D =x4化簡的結果是（ ） A- B- C- D- 二、填空題 1化簡=_（x0） 2a化簡二次根式號后的結果是_ 三、綜合提高題 1 若x、y為實數，且y=，求的值 21.3 二次根式的加減(1)第一課時 教學內容 二次根式的加減 教學目標 知識與技能：理解和掌握二次根式加減的方法過程與方法：先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行加減的方法的理解再總結經驗，用它來指導根式的計算和化簡情感、態度與價值觀：培養合作精神，滲透類比、轉化思想. 重難點關鍵 1重點：二次根式化簡為最簡根式 2難點關鍵：會判定是否是最簡二次根式 教學過程 一、復習引入 學生活動：計算下列各式 （1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3 教師點評：上面題目的結果，實際上是我們以前所學的同類項合并同類項合并就是字母不變，系數相加減 二、探索新知 學生活動：計算下列各式（1）2+3 （2）2-3+5 （3）+2+3 （4）3-2+ 老師點評： （1）如果我們把當成x，不就轉化為上面的問題嗎？ 2+3=（2+3）=5 （2）把當成y； 2-3+5=（2-3+5）=4=8 （3）把當成z； +2+ =2+2+3=（1+2+3）=6 （4）看為x，看為y 3-2+ =（3-2）+ =+ 因此，二次根式的被開方數相同是可以合并的，如2與表面上看是不相同的，但它們可以合并嗎？可以的 （板書）3+=3+2=5 3+=3+3=6 所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并 例1計算 （1）+ （2）+ 分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進行合并 解：（1）+=2+3=（2+3）=5 （2）+=4+8=（4+8）=12 例2計算 （1）3-9+3 （2）（+）+（-） 解：（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）=15 （2）（+）+（-）=+- =4+2+2-=6+ 三、鞏固練習 教材P19 練習1、2 四、應用拓展 例3已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值 分析：本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3其次，根據二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，再合并同類二次根式，最后代入求值(解題過程略) 五、歸納小結 本節課應掌握：（1）不是最簡二次根式的，應化成最簡二次根式；（2）相同的最簡二次根式進行合并 六、布置作業 1教材P21 習題213 1、2、3、52選作課時作業設計 第一課時作業設計 一、選擇題 1以下二次根式：；中，與是同類二次根式的是（ ） A和 B和 C和 D和 2下列各式：3+3=6；=1；+=2；=2，其中錯誤的有（ ） A3個 B2個 C1個 D0個 二、填空題 1在、3、-2中，與是同類二次根式的有_ 2計算二次根式5-3-7+9的最后結果是_ 21.3 二次根式的加減(2)第二課時 教學內容 利用二次根式化簡的數學思想解應用題 教學目標 知識與技能：運用二次根式、化簡解應用題過程與方法：通過復習，將二次根式化成被開方數相同的最簡二次根式，進行合并后解應用題.情感、態度、價值觀：通過學習，利用二次根式化簡的數學思想，形成解決問題的能力. 重難點關鍵 講清如何解答應用題既是本節課的重點，又是本節課的難點、關鍵點 教學過程 一、復習引入 上節課，我們已經講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個步驟：第一步，先將二次根式化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數相同的二次根式進行合并，下面我們講三道例題以做鞏固二、探索新知例1如圖所示的RtABC中，B=90，點P從點B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C移動問：幾秒后PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結果用最簡二次根式表示） 分析：設x秒后PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根據三角形面積公式就可以求出x的值 解：設x 后PBQ的面積為35平方厘米 則有PB=x，BQ=2x 依題意，得：x2x=35 x2=35 x= 所以秒后PBQ的面積為35平方厘米 PQ=5 答：秒后PBQ的面積為35平方厘米，PQ的距離為5厘米 三、鞏固練習 教材P19 練習3 四、應用拓展例3若最簡根式與根式是同類二次根式，求a、b的值分析：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數相同；事實上，根式不是最簡二次根式，因此把化簡成|b|，才由同類二次根式的定義得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b (解略) 五、歸納小結 本節課應掌握運用最簡二次根式的合并原理解決實際問題 六、布置作業 1教材P21 習題213 72選用課時作業設計 作業設計 一、選擇題 1已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和5，那么斜邊的長應為（ ）（結果用最簡二次根式） A5 B C2 D以上都不對 2小明想自己釘一個長與寬分別為30cm和20cm的長方形的木框，為了增加其穩定性，他沿長方形的對角線又釘上了一根木條，木條的長應為（ ）米（結果同最簡二次根式表示） A13 B C10 D5 二、填空題 3已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為，那么這個等腰直角三角形的周長是_（結果用最簡二次根式） 三、綜合提高題 4若最簡二次根式與是同類二次根式，求m、n的值 5同學們，我們以前學過完全平方公式a22ab+b2=（ab）2，你一定熟練掌握了吧!現在，我們又學習了二次根式，那么所有的正數（包括0）都可以看作是一個數的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是誰的二次根式呢？下面我們觀察： （-1）2=（）2-21+12=2-2+1=3-2 反之，3-2=2-2+1=（-1）2 3-2=（-1）2 =-1求：（1）；（2）；21.3 二次根式的加減(3)第三課時 教學內容 含有二次根式的單項式與單項式相乘、相除；多項式與單項式相乘、相除；多項式與多項式相乘、相除；乘法公式的應用 教學目標 知識與技能：含有二次根式的式子進行乘除運算和含有二次根式的多項式乘法公式的應用 過程與方法： 復習整式運算知識并將該知識運用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運算中情感、態度、價值觀：通過本單元的學習，培養學生利用規定準確計算和化簡的嚴謹的科學精神，發展學生觀察、分析、發現問題的能力 重難點關鍵 重點：二次根式的乘除、乘方等運算規律； 難點關鍵：由整式運算知識遷移到含二次根式的運算 教學過程 一、復習引入 學生活動：請同學們完成下列各題: 1計算 （1）（2x+y）zx （2）（2x2y+3xy2）xy 2計算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2 老師點評：這些內容是對八年級上冊整式運算的再現它主要有（1）單項式單項式；（2）單項式多項式；（3）多項式單項式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的運用 二、探索新知 如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運算規律是否仍成立呢？仍成立 整式運算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當然也可以代表二次根式，所以，整式中的運算規律也適用于二次根式 例1計算: （1）（+） （2）（4-3）2 分析：剛才已經分析，二次根式仍然滿足整式的運算規律，所以直接可用整式的運算規律 解：（1）（+）=+ =+=3+2 解：（4-3）2=42-32 =2- 例2計算 （1）（+6）（3-） （2）（+）（-） 分析：剛才已經分析，二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算中仍然成立 解：（1）（+6）（3-） =3-（）2+18-6 =13-3 （2）（+）（-）=（）2-（）2 =10-7=3 三、鞏固練習 課本P20練習1、2 四、歸納小結 本節課應掌握二次根式的乘、除、乘方等運算 五、布置作業 1教材P21 習題213 1、8、9 2選用課時作業設計 作業設計 一、選擇題 1（-3+2）的值是（ ） A-3 B3- C2- D- 2計算（+）（-）的值是（ ） A2 B3 C4 D1 二、填空題 1（-+）2的計算結果（用最簡根式表示）是_2若x=-1，則x2+2x+1=_ 3已知a=3+2，b=3-2，則a2b-ab2=_ 課外知識 1同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，它們的被開方數相同，這些二次根式就稱為同類二次根式，就是本書中所講的被開方數相同的二次根式 練習：下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（ ）A與 B與C與 D與 2互為有理化因式：互為有理化因式是指兩個二次根式的乘積可以運用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同時它們的積是有理數，不含有二次根式：如x+1-與x+1+就是互為有理化因式；與也是互為有理化因式 練習：+的有理化因式是_； x-的有理化因式是_ -的有理化因式是_ 3分母有理化是指把分母中的根號化去，通常在分子、分母上同乘以一個二次根式，達到化去分母中的根號的目的 練習：把下列各式的分母有理化（1）； （2）； （3）； （4）二次根式小結與復習（2課時）【主要內容】本單元是在學習了平方根和算術平方根的意義的基礎上，引入一個符號“”主要內容有：（1）二次根式的有關概念，如：二次根式定義、最簡二次根式、同類二次根式等；（2）二次根式的性質；（3）二次根式的運算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加減法等【要點歸納】 1. 二次根式的定義：形如的式子叫二次根式，其中叫被開方數，只有當是一個非負數時，才有意義 2. 二次根式的性質： 3. 二次根式的運算二次根式的運算主要是研究二次根式的乘除和加減 （1）二次根式的加減：需要先把二次根式化簡，然后把被開方數相同的二次根式（即同類二次根式）的系數相加減，被開方數不變。注意：對于二次根式的加減，關鍵是合并同類二次根式，