Zhang Shihui第四章 功和能 學習指導 典型例題學習指導 典型例題3 學習指導 典型例題學習指導 典型例題4 學習指導 典型例題學習指導 典型例題5 學習指導 典型例題學習指導 典型例題2 學習指導 典型例題學習指導 典型例題4 練習冊 第4題 練習冊 第3題 Zhang Shihui學習指導學習指導 第四章 功和能第四章 功和能 典型例題第典型例題第2 3題題 題 題 倔強系數為倔強系數為k 原長為 原長為l的彈簧 一端固定在圓周上的的彈簧 一端固定在圓周上的A 點 圓周半徑為點 圓周半徑為l 彈簧的另一端從距 彈簧的另一端從距A點點2l的的B點沿圓周移 動 點沿圓周移 動1 4周長到周長到C點 求彈性力在此過程中所作的功 點 求彈性力在此過程中所作的功 C A 提示提示 機械能 機械能 2 211 22 22 Aklkl 2 3 2 kl B 題題 兩個自由質點 其質量分別為兩個自由質點 其質量分別為m1和和m2 它們之間的相互 作用符合萬有引力定律 開始時 兩質點間的距離為 它們之間的相互 作用符合萬有引力定律 開始時 兩質點間的距離為l 它 們都處于靜止狀態 試求當它們的距離變為 它 們都處于靜止狀態 試求當它們的距離變為l 2時 兩質點 的速度各為多少 時 兩質點 的速度各為多少 解解 保守力做功等于相應勢能增量的相反數 保守力做功等于相應勢能增量的相反數 1 122 mvm v 22 1212 1 122 11 222 Gm mGm m mvm v ll 動量守恒動量守恒 Zhang Shihui學習指導學習指導 第四章 功和能第四章 功和能 典型例題第典型例題第4題題 題 題 光滑圓盤上有一質量為光滑圓盤上有一質量為m的物體的物體A 拴在一根穿過圓 盤中心光滑小孔的細繩上 如圖所示 開始時 該物體 距圓盤中心 拴在一根穿過圓 盤中心光滑小孔的細繩上 如圖所示 開始時 該物體 距圓盤中心O的距離為的距離為r0 并以角速度 并以角速度 0 0繞盤心繞盤心O作圓周 運動 現向下拉繩 當質點 作圓周 運動 現向下拉繩 當質點A的徑向距離由的徑向距離由r0 0減少到減少到r0 0 2 時 向下拉的速度為時 向下拉的速度為v 求下拉過程中拉力所作的功 求下拉過程中拉力所作的功 A r0 O v 0 解解 以 以O為參考點 拉力始終沿細繩 因 此 相對于 為參考點 拉力始終沿細繩 因 此 相對于O的力矩為的力矩為0 設半徑減小為 設半徑減小為 r0 2小球的切向速度小球的切向速度vt 根據角動量守恒 根據角動量守恒 0 0t mv rmv r 22 0 11 22 B Wmvmv 222 Bt vvv 222 00 31 22 mrmv 半徑為半徑為r0 2時小球的總速度時小球的總速度 Zhang Shihui學習指導學習指導 第四章 功和能第四章 功和能 典型例題第典型例題第5題 第題 第6題題 題 題 一質點在如圖所示的坐標平面內作圓周運動 有一力 作用在質點上 在該質點從坐標原點運動到 一質點在如圖所示的坐標平面內作圓周運動 有一力 作用在質點上 在該質點從坐標原點運動到 0 2R 位置過程中 力對它所作的功為多少 位置過程中 力對它所作的功為多少 0 j yi xFF 00 02 2 000 00 2 PP OO R AF dr F xdxiF ydy F xdxF ydyF R 解 解 Ox P y R 題 題 設兩粒子之間的相互作用力為排斥力 其變化規律為設兩粒子之間的相互作用力為排斥力 其變化規律為 f k r3 k為常數 若取無窮遠處為零勢能參考位置 試求 兩粒子相距為 為常數 若取無窮遠處為零勢能參考位置 試求 兩粒子相距為r時的勢能 時的勢能 解 解 既然求勢能 那提到的力就是保守力 保守力做功與 路徑無關 因此可以選沿 既然求勢能 那提到的力就是保守力 保守力做功與 路徑無關 因此可以選沿r的方向積分 以 處為零勢能點的方向積分 以 處為零勢能點 32 2 p rrr kk Ef drfdrdr rr r處勢能處勢能 Zhang Shihui練習冊練習冊 第四章 功和能第四章 功和能 第第3題題 題 題 質量為質量為m的輪船在水中行駛 停機時的速度大小為的輪船在水中行駛 停機時的速度大小為v0 水的阻力為 水的阻力為 kv k為常數 求停機后輪船滑行為常數 求停機后輪船滑行L距離的 過程中水的阻力作的功 距離的 過程中水的阻力作的功 dv Fmam dt 00 00 1 2 2 lL f kkL Akvdxkx v dxkLv mm 解 解 由牛頓第二定律 積分 水阻力作功 由牛頓第二定律 積分 水阻力作功 dv kvm dt dxdv km dtdt 0 0 xv v kdxmdv 0 k vxv m Zhang Shihui練習冊練習冊 第四章 功和能第四章 功和能 第第4題題 y 解 解 設繩長設繩長l 柱質量 柱質量m1 框質量 框質量 m2 建立圖示坐標 建立圖示坐標Oxy 柱和框在 柱和框在 O點速度均為零 點速度均為零 題 題 輕且不可伸長的線懸掛質量為輕且不可伸長的線懸掛質量為500g的圓柱體 圓柱體又 套在可沿水平方向移動的框架內 框架槽沿鉛直方向 框 架質量為 的圓柱體 圓柱體又 套在可沿水平方向移動的框架內 框架槽沿鉛直方向 框 架質量為200g 自懸線靜止于鉛直位置開始 框架在水平 力 自懸線靜止于鉛直位置開始 框架在水平 力F 20 0N作用下移至圖中位置 求圓柱體的速度 線長作用下移至圖中位置 求圓柱體的速度 線長 20cm 不計摩擦 不計摩擦 l 1 v 30 30 x F 2 v O 1 m g 設柱在圖示位置的速度為設柱在圖示位置的速度為v1 方向 與線 方向 與線l垂直 框的速度為垂直 框的速度為v2 方向 水平向右 則由套接關系 方向 水平向右 則由套接關系 知知 211 cos30 x vvv Zhang Shihui練習冊練習冊 第四章 功和能第四章 功和能 第第4題題 柱柱m1與框與框m2構成的質點系在從豎直位置運動到圖示位置過 程中 構成的質點系在從豎直位置運動到圖示位置過 程中 只有重力只有重力W1和拉力和拉力F做功做功 根據質點系的動能定理 根據質點系的動能定理 22 1 1221 11 sin30 1 cos30 22 mvm vFlm gl l 1 v 30 30 x F 2 v O 1 m g 將 式代入 式 可得 將 式代入 式 可得 222 1 12 11 11 cos 30sin30 1 cos30 22 mvm vFlm gl 2 1 1 12 sin30 1 cos30 13 28 Flm gl v mm 2 4m sv Zhang Shihui質點力學綜合 例例例例1 1 1 1 彈簧勁度系數為彈簧勁度系數為k 質量忽略質量忽略 豎直放置 下端懸一質量為 豎直放置 下端懸一質量為m的小球 開始使彈簧為原 長而小球恰好與地接觸 今將彈簧上端緩慢 提起 直到小球剛能脫離地面為止 在此過 程中外力作功為 的小球 開始使彈簧為原 長而小球恰好與地接觸 今將彈簧上端緩慢 提起 直到小球剛能脫離地面為止 在此過 程中外力作功為 F 22 2m gk 例例例例2 2 2 2 半徑為半徑為R的半球形容器中 質量為的半球形容器中 質量為m的 質點自邊緣上的 的 質點自邊緣上的A點由靜止下滑 到達最 低點 點由靜止下滑 到達最 低點B時對容器的正壓力大小為時對容器的正壓力大小為 N 在由 在由A 滑到滑到B的過程中 摩擦力對質點做的功的過程中 摩擦力對質點做的功 R O A B 2 2 21 11 3 22 f mv WEEmvmgRNmgR Nmg R 提示 提示 提示 提示 Zhang Shihui學習指導學習指導 質點力學綜合質點力學綜合 第第15題題 題 題 兩個質量分別為兩個質量分別為m1和和m2的木塊的木塊A和和B 用一個質量忽略 不計 勁度系數為 用一個質量忽略 不計 勁度系數為k的彈簧聯接起來 放置在光滑水平面 上 使 的彈簧聯接起來 放置在光滑水平面 上 使A緊靠墻壁 用力推木塊緊靠墻壁 用力推木塊B使彈簧壓縮使彈簧壓縮x0 然后釋 放 已知 然后釋 放 已知m1 m m2 3m 求 1 釋放后 求 1 釋放后 A B速度相等 時 瞬時速度的大小 2 釋放后 彈簧的最大伸長量 速度相等 時 瞬時速度的大小 2 釋放后 彈簧的最大伸長量 解解 設彈簧恢復原長時設彈簧恢復原長時B物體的 速度為 物體的 速度為v0 根據機械能守恒 根據機械能守恒 AB k 1 m 2 m 22 020 11 22 kxm v 00 3m vx k 2012 m vmm v 速度相等時 據動量守恒 速度相等時 據動量守恒 00 333 44 m vvx k 速度相等時 伸長量最大 速度相等時 伸長量最大 222 2012maxmax0 1111 2222 m vmm vkxxx Zhang Shihui學習指導學習指導 質點力學綜合質點力學綜合 第第17題題 題 題 質量為質量為mA的粒子的粒子A受到另一重粒子受到另一重粒子B的萬有引力作用 的萬有引力作用 B保持在原點不動 起初 當保持在原點不動 起初 當A離離B很遠很遠 r 時 時 A具有速 度 方向沿圖中所示直線 具有速 度 方向沿圖中所示直線Aa B與這直線的垂直距離為與這直線的垂直距離為 D 粒子 粒子A由于粒子由于粒子B的作用而偏離原來的路線 沿著圖中 所示的軌道運動 已知這軌道與 的作用而偏離原來的路線 沿著圖中 所示的軌道運動 已知這軌道與B之間的最短距離為之間的最短距離為d 求 求 B的質量的質量mB A B a d D v 0 v 解 解 設粒子設粒子A到達距到達距B最短距 離為 最短距 離為d時的速度為時的速度為v A對對B所 在點的角動量守恒 有 所 在點的角動量守恒 有 0AA Dm vm vd A B系統機械能守恒系統機械能守恒 A在很遠處時 引力勢能為零在很遠處時 引力勢能為零 22 0 11 22 AB AA Gm m m vm v d 22 2 0 2 B Dd mv Gd 聯立聯立 Zhang Shihui 例例例例3 3 3 3 在光滑的水平面上 平放有一固定半圓形屏障 質量為 在光滑的水平面上 平放有一固定半圓形屏障 質量為m滑塊以初速度沿切線方向進入屏障內 滑 塊與屏障間的摩擦系數為 求滑塊從屏障另一端滑 出后摩擦力所作的功 滑塊以初速度沿切線方向進入屏障內 滑 塊與屏障間的摩擦系數為 求滑塊從屏障另一端滑 出后摩擦力所作的功 0 解 解 解 解 分析滑塊的受力 如圖所示 采用自然坐標系 列寫方程 法向 切向 分析滑塊的受力 如圖所示 采用自然坐標系 列寫方程 法向 切向 1 2 n R mmaN 2 d d t mmaN 0 R n fN N 1 代入代入 2 式得 式得 Rt 2 d d 學習指導學習指導 質點力學綜合質點力學綜合 第第18題題 Zhang Shihui 12 St S Std d d d d d d d 代入上式得代入上式得S R d d 兩邊積分兩邊積分 R S R 0 d d 0 0 R R R 0 ln e 0 1 代入代入 2 式得式得 Rt 2 d d n fN N 2 0 1 1 2 KBKA AEEme 學習指導學習指導 質點力學綜合質點力學綜合 第第18題題 Zhang Shihui 題 題 光滑水平面上水平固定一半徑為光滑水平面上水平固定一半徑為R圓 環 物體與環內側的摩擦系數為 圓 環 物體與環內側的摩擦系數為 k t 0 時 物體的速率為時 物體的速率為v0 求 求 1 t 時刻物體 的速率 時刻物體 的速率 2 在時間 在時間t內物體經過的路程 內物體經過的路程 R v0 解 解 物體做圓周運動物體做圓周運動 R v mNF n 2 2 k vdv Rdt 0 2 0 tv k v dv dt Rv 0 0k v R v Rvt ds v dt 0 00 0 st k v R dsdt Rvt 0 ln 1 k k vtR s R tk dv FNm dt 又又 練習冊練習冊 質點力學綜合質點力學綜合 第第1題題 Zhang Shihui 子彈射入過程 斜面對木塊支持力不可忽略 而內力子彈射入過程 斜面對木塊支持力不可忽略 而內力 重力 子彈重力 子彈 木塊系統在平行斜面方向動量近似守恒木塊系統在平行斜面方向動量近似守恒 題 題 質量為質量為M的木塊在光滑的固定斜面上 由的木塊在光滑的固定斜面上 由A點從靜止開 始下滑 當經過路程 點從靜止開 始下滑 當經過路程l運動到運