哈爾濱師范大學(xué)學(xué)年論文 題 目 定積分的計算與應(yīng)用 學(xué) 生 劉 影 指導(dǎo)教師 皮曉明 年 級 2010級6班 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 系 別 數(shù)學(xué)系 學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院哈爾濱師范大學(xué)2012年12月 電話：1800450569定積分的計算與應(yīng)用劉影摘 要：定積分計算的方法和技巧是非常豐富的，除用定積分性質(zhì)、基本公式，換元法與分部積分法外，簡單的還有定積分的幾何意義，函數(shù)奇偶性及查積分表等。本文主要列舉了一些定積分計算的方法與技巧以及定積分的一些基本應(yīng)用。 關(guān)鍵詞：牛頓萊布尼茲公式 積分 定積分恩格斯增經(jīng)指出微積分是變量數(shù)學(xué)的重要組成部分,微積分是數(shù)學(xué)一個分支,學(xué)技術(shù)以及自然科學(xué)的各個分支中被廣泛應(yīng)用的最重要的數(shù)學(xué)工具，定積分在幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會學(xué)等應(yīng)用領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用。如復(fù)雜圖形的研究，化學(xué)反應(yīng)過程的分析，求數(shù)列極限等等。一、定積分的計算方法1、 按照定義計算定積分定積分的定義其實已經(jīng)給出了計算定積分的方法，即求面積和的極限： 例1 求由拋物線，及所圍平面圖形的面積。解 根據(jù)定積分的幾何意義，就是要計算定積分 .顯然，這個定積分是存在的。取分割T為等份，并取，則所求面積為： 2、用牛頓-萊布尼茲公式計算定積分若函數(shù)在上連續(xù)，且存在原函數(shù)，即，xa,b,則在上可積，且 ， 這稱為牛頓萊布尼茲公式，它也常寫成 有了牛頓萊布尼茲公式后，計算定積分關(guān)鍵就是找的一個原函數(shù)。這就轉(zhuǎn)化為不定積分的問題了。例2 求解 已知3、 利用分部積分法計算定積分設(shè)函數(shù)、在區(qū)間a，b上連續(xù)可微，則有定積分分部積分公式：例3 求解 4、 利用換元積分法計算定積分若函數(shù)在上連續(xù)，在上連續(xù)可微，且滿足，則有定積分的換元積分公式 。應(yīng)用定積分的換元積分公式計算定積分時，要注意積分上、下限的變化。例4 計算解 先用變量代換方法：令，則，于是。再用分部積分法計算上式右端的積分。 設(shè)，則，。于是從而原式。二、定積分的簡單應(yīng)用1、求平面曲線的弧長1.1、在平面直角坐標(biāo)系下，求曲線上一段的弧長需修改（如圖1）.圖1在區(qū)間上的任意點對應(yīng)的點處，作曲線的切線，取其對應(yīng)自變量增量為的一段作為曲線弧的近似值（“直代曲”），即修改。稱為弧長微元，對其積分，則得所求弧長。例 5 求曲線上一段的弧長。解 .1.2、用參數(shù)方程表示的函數(shù)的弧長計算，如曲線上一段的弧，這時即，則曲線的弧長.2、 計算平面圖形的面積例 6 計算一塊材料（如右圖）的面積。 圖2分析：如圖2中陰影部分面積即為材料面積，它是由拋物線方程為 、坐標(biāo)軸和直線方程圍成的區(qū)域。解 由于曲線與直線在點(1,2)相交,所以, 其中 從而 =+ = 3、求立體圖形的體積一個木塊的體積，我們們可以將此木塊作分割T:劃分成許多基本的小塊,每一塊的厚度為,假設(shè)每一個基本的小塊橫切面積為,為上連續(xù)函數(shù)，則此小的體積大約是,將所有的小塊加起來,令0,可以得到 。 下面來看以下例題: 例 7 一塊由直線和直線及弧,所共圍成的區(qū)域，以x軸為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的體積是多少？分析：如圖3，陰影區(qū)域即為題意所指的區(qū)域, 其旋轉(zhuǎn)體積求法，可將區(qū)域APQB 的旋轉(zhuǎn)體積減去區(qū)域APCB的旋轉(zhuǎn)體積，即為所求。 解 首先來求區(qū)域APQB的旋轉(zhuǎn)體積：而區(qū)域APCB的旋轉(zhuǎn)體積為一個圓柱體的體積其半徑為，高為2，故其體積為。所以區(qū)域PCQ的旋轉(zhuǎn)體積為。 4、定積分在力學(xué)中的應(yīng)用 圖3舉一個最簡單的例子:有一個方向恒定的變力對一個物體做功,若這個變力對物體的作用距離為S， 為S的函數(shù),則有變力所做的功為 (其中a,b為變力的起始與末尾值)；下面列舉實際應(yīng)用中例子 。 例8 重量為的擺錘系于繩的下端,繩長為,上端固定如右圖4所示,一水平變力從零逐漸增大緩慢的作用在擺錘上,使擺錘雖然移動,但在所有時間內(nèi)均勻無限接近力平衡,一直到繩子與豎直直線成角的位置，試計算變力F所做的功。 圖4解 按題意，在任意位置上（由角位置表示），擺錘無限的接近于力平衡，所以可由擺錘所受合力極接近于零來計算。在水平方向與豎直方向分別有： ， ，式中T是擺錘所受繩的拉力，于是有 ；當(dāng)擺錘在位置上沿圓弧作微小位移時，力所做的微功為將代入得：，所以在擺錘從初始位置到位置的過程中，F(xiàn)力對擺錘所作的總功為： 此外,應(yīng)用定積分對物體的運動過程進(jìn)行分析也是十分方便的,例如勻加速運動: 設(shè)質(zhì)點沿X軸作勻加速直線運動,已知加速度為(為一個恒定量)和初始運動狀態(tài)(即t=0時刻質(zhì)點的坐標(biāo)位置和初速度)要確定質(zhì)點某一時刻的運動狀態(tài),也就是要求其坐標(biāo)和速度隨時間的函數(shù)表示式和。先將瞬時加速度的數(shù)學(xué)式改寫成，已知為恒定量,對上式兩邊去積分,并應(yīng)用質(zhì)點在時刻的初始條件得 ，即 （1）式（1）就是確定質(zhì)點在勻加速直線運動中速度的時間函數(shù)式。根據(jù)瞬時速度的數(shù)學(xué)式，把式（1）改寫成或，然后對兩邊取積分得： 即 或（2）式（2）就是在勻加速直線運動中確定質(zhì)點位置的時間函數(shù)式，也就是質(zhì)點的運動方程。此外，如果把瞬時加速度改寫成： 即 ；對兩邊取積分得即： （3）式（3）就是質(zhì)點坐勻加速運動是質(zhì)點坐標(biāo)和速度之間的關(guān)系式 。5、 定積分在電學(xué)中的應(yīng)用例 9 設(shè)真空中有一均勻帶電直線，長為總電量為，線外有一點離直線的垂線距離為，點和直線兩端點的連線之間的夾角分別為和，如圖5所示，求點的場強(qiáng)。 解 這里產(chǎn)生電場的電荷是連續(xù)分布的，所以首先要把整個電荷分布劃分為許多電荷元，求出每一電荷元的給定點的場強(qiáng)，然后根據(jù)場強(qiáng)疊加原理，按的關(guān)系求總場強(qiáng)，由于場強(qiáng)本身是矢量，所以必須注意選取方位適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，以便求出分量，再經(jīng)積分計算求得， 我們以點到直線的垂足為原點，取坐標(biāo)軸，如圖，在帶電直線上離原點為處取長度元,上的電量為，設(shè)直線上每單位長度所帶電量，（稱為電荷線密度），所以 ；設(shè)到點的距離為可知在點處產(chǎn)生的場強(qiáng)的大小為 ，方向如圖5，圖中軸未畫出，顯然。從圖5可知:圖5，。所以 （1）， （2）。 將 式積分 ； ；可注意到,點處的場強(qiáng)的大小與該點離直線的距離反比,的大小和方向可從，確定。如果這一均勻帶電直線是無限長的,即，那么有 。6、在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用近些年來，定積分還越來越多的被應(yīng)用到解決初等數(shù)學(xué)的一些問題上面來，下面來討論一下定積分在證明不等式。運用積分來證明不等式，一般要利用到積分的如下性質(zhì)：設(shè)與都在上可積，且,則特別的當(dāng)時，有。例10 證明貝努利不等式： 已知-1,且0,且，求證。證明 若,則且時，。因此即 。若，或1+,且 時， 。因此由此可得：。 綜合以上可得當(dāng)且,且時有。從上面的證明過程中可以看出，去掉條件之后，結(jié)論仍然成立。而且，更一般的我們有，設(shè),則：若時，有；若或時 ，有且僅當(dāng)= 0時，兩式中的等號成立。