課時分層作業 六十五排列與組合一、選擇題(每小題5分,共35分)1.一個學習小組有6個人,從中選正、副組長各一人,則不同的選法種數為()A.B.C.62D.26【解析】選B.問題可轉化為從6個元素中任選兩個元素的排列問題,共有種不同的選法.2.已知集合A=1,2,3,4,5,6,則集合A的含偶數個元素的子集的個數為()A.16B.32C.64D.128【解析】選B.由題意,集合A的含偶數個元素的子集的個數為+ =1+15+15+1=32.【變式備選】若從1,2,3,9這9個數字中同時取4個不同的數字,其和為偶數,則不同的取法共有()A.60種B.63種C.65種D.66種【解析】選D.共有4個不同的偶數和5個不同的奇數,要使和為偶數,則4個數全為奇數,或全為偶數,或2個奇數和2個偶數,故不同的取法有+ =66(種).3.(2018洛陽模擬)從10名大學畢業生中選3個人擔任村長助理,則甲、乙至少有1人入選,而丙沒有入選的不同選法的種數為()A.72B.56C.49D.28【解析】選C.分兩類:甲、乙中只有1人入選且丙沒有入選,甲、乙均入選且丙沒有入選,計算可得所求選法種數為+=49.【易錯警示】解答本題易誤選B,出錯的原因是分類不清,錯解為=56.4.(2018唐山模擬)某會議室第一排有9個座位,現安排4人就座,若要求每人左右均有空位,則不同的坐法種數為()A.8B.16C.24D.60【解析】選C.根據題意,9個座位中滿足要求的座位只有4個,現有4人就座,把4人進行全排列,即有=24種不同的坐法.5.(2018成都模擬)由數字1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數,若2與4相鄰,且1與2不相鄰,則這樣的五位數共有_個()A.12B.24C.36D.48【解析】選C.分步完成,先排2,4,有種排法,再把排好的2,4看成一個整體,與3,5再排,有種排法;最后把1插空,僅有3個空位可選,有3種插法,故共有3=263=36個不同的五位數.【一題多解】選C.把2與4相鄰看成一個整體,與剩下的3個數全排有種方法,其中1與2相鄰的排法有124,421,有2種方法,故共有-2=36個不同的五位數.【變式備選】如圖,MON的邊OM上有四點A1,A2,A3,A4,ON上有三點B1,B2,B3,則以O,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3為頂點的三角形個數為()A.30B.42C.54D.56【解析】選B.分類完成.在O,A1,A2,A3,A4這5個點中取2個,在B1,B2,B3中取1個,有個三角形;在B1,B2,B3中取2個,在A1,A2,A3,A4中取1個,有個三角形,故共有+=42個.【一題多解】解答本題還可用如下方法:選B.用間接法.先從這8個點中任取3個點,最多構成三角形個,再減去三點共線的情形即可.共有- =42(個).6.某學習小組共6人,現遇到了兩道難題,一道物理題,一道數學題,其中甲、乙、丙三人對數學題感興趣,丁對兩道題都感興趣,戍、己兩人對物理題感興趣,現從感興趣的人中各選2人解這兩道難題,則不同的選法種數為()A.9B.15C.18D.30【解題指南】按丁解物理題或數學題分類求解.【解析】選B.若丁解數學題,則不同的選法為;若丁解物理題,則不同的選法為;故共有+=15種不同的選法.7.(2018漢中模擬)有5本不同的教科書,其中語文書2本,數學書2本,物理書1本.若將它們并排擺放在書架的同一層上,則同一科目的書都不相鄰的放法種數是()A.24B.48C.72D.96【解析】選B.據題意可先擺放2本語文書,當1本物理書在2本語文書之間時,只需將2本數學書插在前3本書形成的4個空中即可,此時共有種擺放方法;當1本物理書放在2本語文書一側時,共有種不同的擺放方法,由分類加法計數原理可得共有+=48種擺放方法.【變式備選】(2018延安模擬)在航天員進行的一項太空實驗中,要先后實施6個程序,其中程序A只能出現在第一或最后一步,程序B和C在實施時必須相鄰,則實驗順序的編排方法共有()A.34種B.48種C.96種D.144種【解析】選C.程序A有=2(種)結果,將程序B和C看作元素集團與除A外的元素排列有=48(種),所以由分步乘法計數原理可知,實驗編排共有248 =96(種)方法.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2018吉林模擬)7位身高均不等的同學排成一排照相,要求中間最高,依次往兩端身高逐漸降低,共有_種排法.【解析】先排最中間位置有一種排法,再排左邊3個位置,由于順序一定,共有種排法,再排剩下右邊三個位置,共一種排法,所以排法種數為=20(種).答案:209.用0,1,2,9十個數字組成五位的車牌號碼,要求“首位與第二位互不相同,后三位數字相同,則這樣的號碼個數為_.【解析】從左到右,首位與第二位有種排法,后三位有10種排法,故共有10=900.答案:90010.(2018武漢模擬)在高三某班進行的演講比賽中,共有5位選手參加,其中3位女生,2位男生,如果2位男生不能連續出場,且女生甲不能排第一個,那么出場的順序的排法種數為_.【解題指南】不相鄰問題用插空法,女生甲不能排第一個,可考慮用間接法.【解析】不相鄰問題插空法.2位男生不能連續出場的排法共有N1= =72(種),女生甲排第一個且2位男生不連續出場的排法共有N2= 12(種),所以出場順序的排法種數為N=N1-N2=60.答案:601.(5分)(2018長沙模擬)三對夫妻站成一排照相,則僅有一對夫妻相鄰的站法總數是()A.72B.144C.240D.288【解題指南】先選一對夫妻捆綁,再選一對夫妻,中間插入1人后捆綁,最后與剩下的一人全排.【解析】選D.第一步,先選一對夫妻使之相鄰,捆綁在一起看作一個復合元素A,有=6種排法;第二步,再選一對夫妻,從剩下的那對夫妻中選擇一個插入到剛選的夫妻中,把這三個人捆綁在一起看作另一個復合元素B,有=8種排法;第三步,將復合元素A,B和剩下的那對夫妻中剩下的那一個進行全排列,有=6種排法,由分步乘法計數原理,知三對夫妻排成一排照相,僅有一對夫妻相鄰的排法有686=288(種).2.(5分)(2018石家莊模擬)航空母艦“遼寧艦”將進行一次編隊配置科學試驗,要求2艘攻擊型核潛艇一前一后,3艘驅逐艦和3艘護衛艦分列左右,每側3艘,同側不能都是同種艦艇,則艦艇分配方案的方法數為()A.72B.324C.648D.1 296【解析】選D.核潛艇排列數為,6艘艦艇任意排列的排列數為,同側均是同種艦艇的排列數為2,則艦艇分配方案的方法數為(-2)=1 296.3.(5分)(2017天津高考)用數字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數字,且至多有一個數字是偶數的四位數,這樣的四位數一共有_個.(用數字作答)【解析】分兩種情況:第一種:四位數都不是偶數的個數為:=120,第二種:四位數中有一位為偶數的個數為=960,則共有1080個.答案:1 0804.(12分)一個學習小組有7個人,其中男生3人,女生4人,現排隊照相. (1)排成兩行,其中前面一行3人,后面一行4人,共有多少種排法?(2)排成一行,其中甲既不排在兩端,也不排在中間,共有多少種排法?(3)排成一行,其中女生必須相鄰,共有多少種排法?(4)排成一行,男生不相鄰,共有多少種排法?(5)甲不在兩端,乙不在中間,共有多少種排法?【解析】(1)方法一:先排第一行,有種排法;再排第二行,有種排法,共有=7654321=5 040種不同排法.方法二:直接排共有=5 040種不同排法.(2)先排甲,有種排法;再排其余6人,有種排法,共有=2 880種不同排法.(3)捆綁法,共有=576種不同排法.(4)插空法.=1 440種不同排法.(5)先排甲,再分類.若甲在中間,有=720種排法,若甲不在中間也不在兩端,有=2 400種排法,故共有720+2 400=3 120種不同排法.5.(13分)有9名學生,其中2名會下象棋但不會下圍棋,3名會下圍棋但不會下象棋,4名既會下圍棋又會下象棋;現在要從這9名學生中選出2名學生,一名參加象棋比賽,另一名參加圍棋比賽,共有多少種不同的選派方法?【解析】設2名會下象棋但不會下圍棋的同學組成集合A,3名會下圍棋但不會下象棋的同學組成集合B,4名既會下圍棋又會下象棋的同學組成集合C,則選派2名參賽同學