常微分方程試題及參考答案發表日期：2008年1月9日 已經有9591位讀者讀過此文 常微分方程試題課程代碼：10002一、填空題(每小題3分，共39分)1.常微分方程中的自變量個數是_.2.路程函數S(t)的加速度是常數a，則此路程函數S(t)的一般形式是_.3.微分方程 =g( )中g(u)為u的連續函數，作變量變換_，方程可化為變量分離方程.4.微分方程F(x,y)=0中令P=y,若x、P平面上的曲線F(x,P)=0的參數形式為x= (t),P=(t),t為參數，則方程參數形式的通解為_.5.方程 =(x+1)3的通解為_.6.如果函數f(x,y)連續，y= (x)是方程 =f(x,y)的定義于區間x0xx0+h上， 滿足初始條件 (x0)=y0的解.則y= (x)是積分方程_定義于x0xx0+h上的 連續解.7.方程 =x2+xy， 滿足初始條件y(0)=0的第二次近似解是_.8.方程 +a1(t) +an-1(t) +an(t)x=0 中ai(t) i=1,2,，n是a,b上的連續函數，又x1(t),x2(t),，xn(t)為方程n個線性無關的解，則其伏朗斯基行列式W(t) 應具有的性質是：_.9.常系數線性方程x(4)(t)-2x(t)+x(t)=0的通解為_.10.設A(t)是區間atb上的連續nn矩陣，x1(t),x2(t),，xn(t)是方程組x=A(t)x的n個線性無關的解向量.則方程組的任一解向量x(t)均可表示為：x(t)=_的形式.11.初值問題 (t)+2x(t)-tx(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x(1)=2,x(1)=3 可化為與之等價的一階方程組_.12.如果A是33的常數矩陣，-2為A的三重特征值，則方程組x=Ax的基解矩陣expAt=_.13.方程組 的奇點類型是_.二、計算題(共45分) 1.(6分)解方程 = .2.(6分)解方程 x(t)+ =0.3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程 - .5.(7分)求方程： S(t)-S(t)=t+1 滿足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程組 的基解矩陣(t).7.(7分)驗證方程： 有奇點 x1=1, x2=0,并討論 相應駐定方程的解的穩定性.三、證明題(每小題8分，共16分)1.設f(x,y)及 連續， 試證方程 dy-f(x,y)dx=0 為線性方程的充要條件是它有僅依賴于x的積分因子.2.函數f(x)定義于-x+，且滿足條件|f(x1)-f(x2)|N|x1-x2|,其中0N1,證明方程 x=f(x) 存在唯一的一個解.常微分 方程試題參考答案課程代碼：10002一、填空題(每小題3分，共39分)1. 12. 2+c1t+c23.u= 4. c為任意常數5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+ 7. (x)= 8.對任意t 9.x(t)=c1et+c2tet+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +cnxn(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2tE+t(A+2E)+ 13.焦點二、計算題（共45分）1. 解：將方程分離變量為 改寫為 等式兩邊積分得 y-ln|1+y|=ln|x|- 即 y=ln 或 ey= 2. 解：令 則得 =0 當 0時 - arc cosy=t+c1 y=cos(t+c1) 即 則x=sin(t+c1)+c2 當 =0時 y= 即 x 3. 解：這里M=y-1-xy, N=x 令 u=xye-x u關于x求 偏導數得 與Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有 則 因此 u=xye-x+e-x 方程的解為 xye-x+e-x=c4. 解：方程改寫為 這是伯努利方程，令 z=y1-2=y-1 代入方程 得 解方程 z= = 于是有 或 5. 特征方程為 特征根為 對應齊線性方程的通解為s(t)=c1et+c2e-t f(t)=t+1, 不是特征方程的根 從而方程有特解 =（At+B）,代入方程得 -(At+B)=t+1 兩邊比較同次冪系數得 A=B=-1 故通解為 S(t)=c1et+c2e-t-(t+1) 據初始條件得 c1= 因此所求解為： S(t)= 6. 解：系數矩陣A= 則 ， 而det 特征方程det( )=0, 有特征根 對 對 對 因此基解矩陣 7. 解：因 故x1=1，x2=0是方程組奇點令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得 化簡得 *這里 R(X)= , 顯然 （當 時）方程組*中，線性部分矩陣 det(A- )= 由det(A- )=0 得 可見相應駐定解漸近穩定三、證明題（每小題8分，共16分）1.證明：若dy-f(x,y)dx=0為 線性方程則f(x,y)= 因此僅有依賴于x的 積分因子反之，若僅有依賴于x的 積分因子。這里f(x,y),N=1由- 方程為 這是線性方程.2.證明：由條件|f(x1)-f(x2)| N|x1-x2|,易 知，f(x)為連續函數，任取x0 作逐步點列 xn+1=f(xn) n=0,1, 考慮級數x0+ 因 由歸納法知對任意k,|xk-