學習雖然辛苦但其樂無窮 我用心所以我快樂 數 與 形 是數學中的兩個最古老 也是最基本的研究對象 它們在一定條件下可以相互轉化 數形結合就是把抽象的數學語言 數量關系與直觀的幾何圖形 位置關系結合起來 通過 以形助數 或 以數解形 即通過抽象思維與形象思維的結合 可以使復雜問題簡單化 抽象問題具體化 從而起到優化解題途徑的目的 二次函數圖象的幾何特征與數量特征緊密結合 體現了數形結合的思想與方法 二次函數的圖象 性質蘊含信息豐富 能培養收集 整理和加工信息的能力 因此成為近年來中考的熱點 信息從圖象中來 二次函數中的數形結合 西安高新一中侯雪梅 一 二次函數的圖象特征與系數符號的關系1 a的作用 1 決定開口方向 a 0開口向上 a 0開口向下 2 決定開口的大小 a 越大 拋物線的開口越小 2 b的作用 b的作用與拋物線的頂點及a有關 1 若b與a同號 則頂點在y軸的左邊 2 若b與a異號 則頂點在y軸的右邊 3 若b 0 則頂點在y軸上 左同右異 3 c的作用c是拋物線與y軸交點的縱坐標 1 拋物線與y軸交于正半軸c 0 2 拋物線與y軸交于負半軸c0 則a b c 0 3 若x 1時y0 則a b c 0 3 若x 1時y 0 則a b c 0 6 b2 4ac的作用確定圖象與x軸是否相交 1 拋物線與x軸有兩個交點 0 2 拋物線與x軸有一個交點 0 3 拋物線與x軸沒有交點 0 二 二次函數圖象與性質的應用1 由拋物線的位置確定a b c的符號 由a b c符號確定拋物線的位置 例1二次函數y ax2 bx c的圖象如圖 則下列關系判斷正確的是 A ab0D a b c 0 D 練習1 已知 a 0 b 0 c 0那么拋物線y ax2 bx c的頂點在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 A 2 判斷同一直角坐標系的函數圖象例2拋物線y ax2 bx c圖象如圖所示 則一次函數y bx 4ac b2與反比例函數在同一坐標系內的圖象大致為 2010甘肅蘭州 D 練習2 在同一平面直角坐標系中 一次函數y ax b和二次函數y ax2 bx c的圖象可能為 A 3 二次函數增減性例3二次函數y ax2 bx c的圖象如圖所示 若點A 1 y1 B 2 y2 是它圖象上的兩點 則y1與y2的大小關系是 A y1 y2B y1 y2 C y1 y2D 不能確定 09深圳 C 練習3下列四個函數圖象中 當x 0時 y隨x的增大而增大的是 2010浙江衢州 C 4 拋物線的平移例4把拋物線y x2向左平移1個單位 然后向上平移3個單位 則平移后拋物線的表達式 2010寧夏回族自治區 A y x 1 2 3B y x 1 2 3C y x 1 2 3D y x 1 2 3 平移 形狀和開口方向不變 即a不變 規律 左加右減 上加下減 B 練習4把拋物線y x2 bx c的圖象向右平移3個單位 再向下平移2個單位 所得圖象的解析式為y x2 4x 5 則b c的取值為 2010年貴州畢節改編題 A b 2 c 4B b 1 c 2C b 10 c 28D b 10 c 24 A 5 由圖象信息求拋物線的解析式例5如圖 拋物線y x2 bx c與x軸交于A 1 0 B 3 0 兩點 求該拋物線的表達式 解法一 拋物線y x2 bx c過點A 1 0 和點B 3 0 所求拋物線的解析式為y x2 2x 3解法二依題意得拋物線的對稱軸為 直線x 1 設所求拋物線的解析式為y x 1 2 k 該拋物線過點B 3 0 4 k 0 k 4 y x 1 2 4即y x2 2x 3解法三拋物線y x2 bx c與x軸交于A 1 0 B 3 0 兩點 所求拋物線的解析式為y x 1 x 3 x2 2x 3 練習5 四川成都 如圖所示的拋物線是二次函數的圖象 那么拋物線的解析式為 小結 1 二次函數的圖象特征與系數符號的關系2 二次函數圖象與性質的應用3 巧妙地進行 數 與 形 的相互轉化4 重視圖形信息的收集 整理和加工5 培養思維能力 形成良好的數學思維習慣 回頭一看 我想說 提高題1 山西 二次函數y ax2 bx c的圖象如圖所示 有下列結論 b2 4ac 0 ab o a b c 0 4a b 0 當y 2時 x只能等于0 其中正確的是 A B C D B 2 二次函數的圖象如圖所示 下列幾個結論 對稱軸為直線x 2 當y 0時 x 0或x 4 函數解析式為y x x 4 當x 0時 y隨x的增大而增大 其中正確的結論有 2010廣西百色 3 貴州省貴陽 二次函數y ax2 bx c a 0 的圖象如圖所示 根據圖象解答下列問題 1 寫出方程ax2 bx c 0的兩個根 2 寫出不等式ax2 bx c 0的解集 3 寫出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍 4 若方程ax2 bx c k有兩個不相等的實數根 求k的取值范圍 解 1 x1 1x2 3 2 1 x 3 3 x 2 4 k 2 知識的升華 祝你成功 A類 分層 P38 P39的選擇題及填空題 補充提高題B類 分層 P38 P39的選擇題及填空題 謝謝指導 數學締造完美 課后練習 1 已知二次函數y ax2 bx c的圖象如圖所示 則下列結論正確的是 2010福建福州 A a 0B c 0C b2 4ac 0D a b c 0 D 2 江西省中考題 已知二次函數的部分圖象如圖所示則關于的一元二次方程的解為 3 2010河北 如圖 已知拋物線的對稱軸x 2 點A B均在拋物線上 且AB與x軸平行 其中點A的坐標為 0 3 則點B的坐標為 A 2 3 B 3 2 C 3 3 D 4 3 D 4 二次函數y ax2 bx c的圖象如圖所示 則點在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 D 二次函數y a x h 2 k的圖象和性質 頂點坐標與對稱軸 位置與開口方向 增減性與最值 拋物線 頂點坐標 對稱軸 位置 開口方向 增減性 最值 y a x h 2 k a 0 y a x h 2 k a 0 h k h k 直線x h 直線x h 由h和k的符號確定 由h和k的符號確定 向上 向下 當x h時 最小值為k 當x h時 最大值為k 在對稱軸的左側 y隨著x的增大而減小 在對稱軸的右側 y隨著x的增大而增大 在對稱軸的左側 y隨著x的增大而增大 在對稱軸的右側 y隨著x的增大而減小 根據圖形填表 二次函數y ax2 bx c a 0 的圖象和性質 頂點坐標與對稱軸 位置與開口方向 增減性與最值 拋物線 頂點坐標 對稱軸 位置 開口方向 增減性 最值 y ax2 bx c a 0 y ax2 bx c a 0