第一講空間幾何體 1 進一步認識柱 錐 臺 球及其簡單組合體的結構特征 2 能畫出簡單空間圖形 長方體 球 圓柱 圓錐 棱柱等的簡易組合 的三視圖 并能識別上述的三視圖所表示的立體模型 3 會用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖 4 了解空間圖形的不同表示形式 平行投影與中心投影 5 記住柱 錐 臺 球的表面積和體積公式 并會應用 一 學習目標 1 柱 錐 臺 球的結構特征 1 棱柱 定義 有兩個面互相 其余各面都是 且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相 由這些面所圍成的幾何體 分類 以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為 三棱柱 四棱柱 五棱柱等 表示 用各頂點字母 如五棱柱 二 基礎知識整合 平行 平行 四邊形 或用對角線的端點字母 如五棱柱 幾何特征 兩底面是對應邊的多邊形 側面 對角面都是 側棱且 平行于底面的截面是與底面的多邊形 平行 全等 平行 全等 全等平行四邊形 相等 2 棱錐定義 有一個面是多邊形 其余各面都是有 的三角形 由這些面所圍成的幾何體 分類 以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱錐 四棱錐 五棱錐等 表示 用各頂點字母 如五棱錐 幾何特征 側面 對角面都是 平行于底面的截面與底面 其相似比等于頂點到截面距離與高的比的 一個公共頂點 三角形 相似 平方 3 棱臺 定義 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐 截面和底面之間的部分 分類 以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三棱態 四棱臺 五棱臺等 表示 用各頂點字母 如五棱臺 幾何特征 上下底面是 的平行多邊形 側面是 側棱交于原棱錐的 梯形 頂點 相似 3 圓柱 定義 以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉 其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體 幾何特征 底面是的圓 母線與平行 軸與底面圓的半徑 側面展開圖是一個 軸 垂直 矩形 全等 4 圓錐 定義 以直角三角形的為旋轉軸 旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體 幾何特征 底面是一個 母線交于圓錐的 側面展開圖是一個 扇形 頂點一條直角邊 圓 頂點 3 圓臺 定義 用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐 截面和底面之間的部分 幾何特征 上下底面是兩個圓 側面母線交于原圓錐的 側面展開圖是一個 頂點 扇環 4 球體 定義 以半圓的直徑所在直線為旋轉軸 半圓面旋轉一周形成的幾何體 幾何特征 球的截面是 球面上任意一點到球心的距離等于 半徑 圓 2 空間幾何體的三視圖定義三視圖 正視圖 光線從幾何體的前面向后面正投影 側視圖 從左向右 俯視圖 從上向下 注 正視圖反映了物體上下 左右的位置關系 即反映了物體的高度和長度 俯視圖反映了物體左右 前后的位置關系 即反映了物體的長度和寬度 側視圖反映了物體上下 前后的位置關系 即反映了物體的高度和寬度 3 空間幾何體的直觀圖 斜二測畫法斜二測畫法特點 x軸平行的線段仍然與x平行且長度 原來與y軸平行的線段仍然與y平行 長度為原來的 一半 不變 4 柱體 錐體 臺體的表面積與體積 1 幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和 2 特殊幾何體表面積公式 c為底面周長 h為高 為斜高 l為母線 3 柱體 錐體 臺體的體積公式 3 柱體 錐體 臺體的體積公式 4 球體的表面積和體積公式 例1 根據下列對幾何體結構特征的描述 說出幾何體的名稱 1 由六個面圍成 其中一個面是凸五邊形 其余各面是有公共頂點的三角形 2 一個等腰梯形繞著兩底邊中點的連線所在的直線旋轉180 形成的封閉曲面所圍成的圖形 3 一個直角梯形繞較長的底邊所在的直線旋轉一周形成的曲面所圍成的幾何體 三 熱點題型展示 3 柱體 錐體 臺體的體積公式 解析 1 如圖 因為該幾何體的五個面是有公共頂點的三角形 所以是棱錐 又其底面是凸五邊形 所以是五棱錐 2 如圖 等腰梯形兩底邊中點的連線將梯形平分為兩個直角梯形 每個直角梯形旋轉180 形成半個圓臺 故該幾何體為圓臺 3 柱體 錐體 臺體的體積公式 3 如圖 過直角梯形abcd的頂點a作ao cd于點o 將直角梯形分為一個直角三角形aod和一個矩形aocb 繞cd旋轉一周形成一個組合體 該組合體由一個圓錐和一個圓柱組成 方法規律 根據所給的幾何體結構特征的描述 結合所學幾何體的結構特征畫圖或找模型做出判斷 變式練習1 斜四棱柱的側面是矩形的面最多有 a 0個b 1個c 2個d 3個 解析 如圖所示 在斜四棱柱ac 中 若aa 不垂直于ab 則dd 也不垂直于dc 所以四邊形abb a 和四邊形dcc d 就不是矩形 但面aa d d和面bb c c可以為矩形 故選c 答案 c 例2 如圖 abcd是一水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖 ab cd ad cd 且bc與y軸平行 若ab 6 cd 4 bc 2 則該平面圖形的實際面積是 解析 由斜二測直觀圖的作圖規則知 該平面圖形是梯形 且ab cd的長度不變 仍為6和4 高 變式練習2 某幾何體的三視圖如圖所示 單位 cm 則該幾何體的體積是 答案 c 例3 如圖 已知底面半徑為r的圓柱被一個平面所截 剩下部分母線長的最大值為a 最小值為b 那么圓柱被截后剩下部分的體積是 方法規律 當幾何體是一個不規則圖形 無法直接利用公式來計算其體積 可通過割補法轉化為規則的幾何體后再利用公式計算 變式練習3 如圖 1 所示 已知正方體面對角線長為a 沿陰影面將它切割成兩塊 拼成如圖 2 所示的幾何體 那么此幾何體的全面積為 1 2 答案 b 例4 如圖所示 圓臺母線ab長為20cm 上 下底面半徑分別為5cm和10cm 從母線ab的中點m拉一條繩子繞圓臺側面轉到b點 求這條繩子長度的最小值 分析 利用圓臺的側面展開圖轉化到平面圖形解決 3 柱體 錐體 臺體的體積公式 變式練習4 圓柱的軸截面是邊長為5cm的正方形abcd 從a到c圓柱側面上的最短距離為 答案 b 答案 b 解析 d選項為主視圖或側視圖 俯視圖中顯然應有一個被遮擋的圓 所以內圓是虛線 故選b 四 課堂練習 1 用一個平行于水平面的平面去截球 得到如圖所示的幾何體 則它的俯視圖是 2 若某空間幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的體積是 答案 c 3 一個橫放的圓柱形水桶 桶內的水占底面周長的四分之一 那么當桶直立時 水的高度與桶的高度的比為 答案 2 4 4 棱長為2cm的正方體容器盛滿水 把半徑為1cm的銅球放入水中剛好被淹沒 然后再放入一個鐵球 使它淹沒水中 要使流出來的水量最多 這個鐵球的半徑應該為多大 解析 本題考查球與多面體相切問題 解決此類問題必須做出正確的截面 即截面一定要過球心 再運用幾何知識解出所求量 過正方體對角面的截面圖如圖所示 答案 五 課后練習 1 棱長為a的正方體中 連接相鄰面的中心 以這些線段為棱的八面體的體積為 答案 c 解析 由俯視圖可知該幾何體為旋轉體 由正視圖 側視圖可知該幾何體是由圓錐 圓柱組合而成 2 如圖是一個物體的三視圖 則此三視圖所描述的物體是下列哪個幾何體 答案 d 3 如圖 一個平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形 則原平面圖形的面積為 答案 b 解析 由直觀圖還原出原圖 如圖 在原圖中找出對應線段長度進而求出面積 所以 4 一塊正方形薄鐵片的邊長為4cm 以它的一個頂點為圓心 邊長為半徑畫弧 沿弧剪下一個扇形 如右圖所示 用這塊扇形鐵片圍成一個圓錐筒 則這個圓錐筒的容積等于 cm3 解析 設圓錐的底面圓的半徑為r 根據題意得 5 一個幾何體的三視圖 單位 m 如圖所示 則該幾何體的體積為 m3 答案 9 18 6 圓錐的側面展開圖是圓心角為120 半徑為2的扇形 則圓錐的表面積是 7 如圖所示 正方體abcd a1b1c1d