文數課標版 第二節空間幾何體的表面積和體積 教材研讀 1 圓柱 圓錐 圓臺的側面展開圖及側面積公式 2 空間幾何體的表面積與體積公式 1 多面體的表面積等于各個面的面積之和 2 錐體的體積等于底面積與高之積 3 臺體的體積可轉化為兩個錐體的體積之差 4 簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差 5 正方體既有外接球又有內切球 6 圓柱的一個底面積為s 側面展開圖是一個正方形 那么這個圓柱的側面積是2 s 判斷下列結論的正誤 正確的打 錯誤的打 1 將一個相鄰邊長分別為4 8 的矩形卷成一個圓柱 則這個圓柱的表面積是 a 40 2b 64 2c 32 2或64 2d 32 2 8 或32 2 32 答案d當底面周長為4 時 底面圓的半徑為2 兩個底面的面積之和是8 當底面周長為8 時 底面圓的半徑為4 兩個底面的面積之和為32 無論哪種方式 側面積都是矩形的面積32 2 故所求的表面積是32 2 8 或32 2 32 2 一個球的表面積是16 那么這個球的體積為 a b c 16 d 24 答案b設球的半徑為r 則由4 r2 16 解得r 2 所以這個球的體積為 r3 3 2016四川 12 5分 已知某三棱錐的三視圖如圖所示 則該三棱錐的體積是 答案解析在長方體 長為2 寬 高均為1 中作出此三棱錐 如圖所示 則vp abc 2 1 1 4 2014山東 13 5分 一個六棱錐的體積為2 其底面是邊長為2的正六邊形 側棱長都相等 則該六棱錐的側面積為 答案12解析設六棱錐的高為h 斜高為h0 因為該六棱錐的底面是邊長為2的正六邊形 所以底面面積為 2 2 sin60 6 6 則 6h 2 得h 1 所以h0 2 所以該六棱錐的側面積為 2 2 6 12 考點一空間幾何體的表面積典例1 1 2016課標全國 10 5分 如圖 網格紙上小正方形的邊長為1 粗實線畫出的是某多面體的三視圖 則該多面體的表面積為 a 18 36b 54 18c 90d 81 考點突破 2 2016安徽江南十校3月聯考 某幾何體的三視圖如圖所示 其中側視圖的下半部分曲線為半圓弧 則該幾何體的表面積為 a 4 16 4b 5 16 4c 4 16 2d 5 16 2 答案 1 b 2 d解析 1 由三視圖可知 該幾何體是底面為正方形 邊長為3 高為6 側棱長為3的斜四棱柱 其表面積s 2 32 2 3 3 2 3 6 54 18 故選b 2 由三視圖可知該幾何體是一個正三棱柱和一個半圓柱的組合體 三棱柱的兩個側面面積之和為2 4 2 16 兩個底面面積之和為2 2 2 半圓柱的側面積為 4 4 兩個底面面積之和為2 12 所以幾何體的表面積為5 16 2 故選d 方法技巧空間幾何體表面積的求法 1 表面積是各個面的面積之和 求多面體的表面積 只需將它們沿著棱剪開展成平面圖形 利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積 求旋轉體的表面積 可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手 將其展開后求表面積 但要弄清它們的底面半徑 母線長與對應側面展開圖中的邊長關系 2 求不規則幾何體的表面積時 通常將所給幾何體分割成基本的柱 錐 臺體 先求出這些基本的柱 錐 臺體的表面積 再通過求和或作差 求出不規則幾何體的表面積 1 2 2016課標全國 7 5分 下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖 則該幾何體的表面積為 a 20 b 24 c 28 d 32 答案c由三視圖可得圓錐的母線長為 4 s圓錐側 2 4 8 又s圓柱側 2 2 4 16 s圓柱底 4 該幾何體的表面積為8 16 4 28 故選c 考點二空間幾何體的體積典例2 1 2016山東 5 5分 一個由半球和四棱錐組成的幾何體 其三視圖如圖所示 則該幾何體的體積為 a b c d 1 2 2016北京 11 5分 某四棱柱的三視圖如圖所示 則該四棱柱的體積為 答案 1 c 2 方法技巧空間幾何體體積的求法 1 若所給定的幾何體是柱體 錐體或臺體等規則幾何體 則可直接利用公式進行求解 其中 等體積轉換法多用來求三棱錐的體積 2 若所給定的幾何體是不規則幾何體 則將不規則的幾何體通過分割或補形轉化為規則幾何體 再利用公式求解 3 若以三視圖的形式給出幾何體 則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖 然后根據條件求解 2 1如圖所示 在多面體abcdef中 已知abcd是邊長為1的正方形 且 ade bcf均為正三角形 ef ab ef 2 則該多面體的體積為 a b c d 答案a解法一 如圖所示 分別過a b作ef的垂線 垂足分別為g h 連接dg ch 則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個直三棱柱 易知三棱錐的高為 直三棱柱的高為1 ag 取ad的中點m 連接mg 則mg s agd 1 v 1 2 解法二 如圖所示 取ef的中點p 則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個 四棱錐 易知三棱錐p aed和三棱錐p bcf都是棱長為1的正四面體 四棱錐p abcd是棱長為1的正四棱錐 v 12 2 2 2某幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的體積為 a 2 b c d 答案b由三視圖可知 該幾何體是由一個圓柱和半個圓錐組合而成的幾何體 其體積為 12 2 12 1 考點三與球有關的切 接問題命題角度一正方體的外接球典例3 2016課標全國 4 5分 體積為8的正方體的頂點都在同一球面上 則該球的表面積為 a 12 b c 8 d 4 答案a解析設正方體的棱長為a 則a3 8 解得a 2 設球的半徑為r 則2r a 即r 所以球的表面積s 4 r2 12 故選a 典例4 1 2016遼寧撫順模擬 已知直三棱柱abc a1b1c1的6個頂點都在球o的球面上 若ab 3 ac 4 ab ac aa1 12 則球o的半徑為 a b 2c d 3 2 在封閉的直三棱柱abc a1b1c1內有一個體積為v的球 若ab bc ab 6 bc 8 aa1 3 則v的最大值是 a 4 b c 6 d 答案 1 c 2 b解析 1 如圖所示 由球心作平面abc的垂線 垂足為bc的中點m 連接oa am 命題角度二直棱柱的外接與內切球 典例5 1 正四棱錐的頂點都在同一球面上 若該棱錐的高為4 底面邊長為2 則該球的表面積為 a b 16 c 9 d 2 若一個正四面體的表面積為s1 其內切球的表面積為s2 則 答案 1 a 2 解析 1 如圖所示 設球的半徑為r 底面中心為o 球心為o 由題意得ao 命題角度三正棱錐的外接與內切球 po 4 oo 4 r 在rt aoo 中 ao2 ao 2 oo 2 r2 2 4 r 2 解得r 該球的表面積為4 r2 4 2 設正四面體內切球的半徑為r 正四面體的棱長為a 則正四面體的表 面積s1 4 a2 a2 其內切球的半徑為正四面體高的 即r a a 因此內切球的表面積s2 4 r2 則 方法指導 切 接 問題處理的注意事項 1 切 的處理解決與球的內切問題時要找準切點 2 接 的處理把一個多面體的幾個頂點放在同一球面上即為球的外接問題 解決這類問題的關鍵是抓住