139第二章 數理探究試驗 光的干涉和衍射一、實驗目的 學習用用模擬實驗方法探究光的干涉和衍射問題. 進一步熟悉MATLAB編程. 二、實驗內容和要求1. 雙縫干涉模擬實驗楊氏雙縫干涉實驗是利用分波前法獲得相干光束的典型例子. 如圖2.24所示，單色光通過兩個窄縫s1，s2射向屏幕，相當于位置不同的兩個同頻率同相位光源向屏幕照射的疊合，由于到達屏幕各點的距離（光程）不同引起相位差，疊合的結果是在有的點加強，在有的點抵消，造成干涉現象. 圖2.24 雙縫干涉示意圖考慮兩個相干光源到屏幕上任意點P的距離差為 （2.19）引起的相位差為設兩束相干光在屏幕上P點產生的幅度相同，均為A0，則夾角為的兩個矢量A0的合成矢量的幅度為A=2A0 cos(/2)光強B正比于振幅的平方，故P點光強為B=4B0cos2(/2) （2.20）運行sy211.m程序得到干涉條紋如圖2.27所示. clear all %sy211.mlam=500e-9; %輸入波長a=2e-3; D=1;ym=5*lam*D/a; xs=ym; %設定光屏的范圍n=101;ys=linspace(-ym,ym,n); % 把光屏的y方向分成101點for i=1:nr1=sqrt(ys(i)-a/2).2+D2);r2=sqrt(ys(i)+a/2).2+D2);phi=2*pi*(r2-r1)/lam; B(i,:)=4*cos(phi/2).2; endN=255; % 確定用的灰度等級為255級Br=(B/4.0)*N; %使最大光強對應于最大灰度級（白色）subplot(1,2,1)image(xs,ys,Br); %畫干涉條紋colormap(gray(N); subplot(1,2,2)plot(B,ys) %畫出光強變化曲線圖2.25中左圖是光屏上的干涉條紋，右圖是光屏上沿y軸方向光強的變化曲線. 從圖中也不難看出，干涉條紋是以點o所對應的水平線為對稱，沿上下兩側交替，等距離排列，相鄰亮條紋中心間距為2.5104m. -1.5-1-0.5x10-300.511.5-0.4-0.200.40.2-1.501234-10.511.5x10-3-0.50圖2.25 單色光的干涉條紋這與理論推導和實驗結果基本一致. 下面我們從理論上加以推導，由上面的式（2.19）可得 考慮到a，y很小，（r1+r2）=2D，所以這樣就得到點P處于亮條紋中心的條件為 （2.21）因此，亮條紋是等間距的，相鄰條紋間距為. 問題2.39：推導出點P處于暗條紋中心的條件并與模擬結果相比較，看是否一致？考慮到純粹的單色光不易獲得，通常都有一定的光譜寬度，這種光的非單色性對光的干涉會產生何種效應，下面我們用MATLAB計算并仿真這一問題. 非單色光的波長不是常數，必須對不同波長的光分別處理再疊加起來. 我們假定光源的光譜寬度為中心波長的10%，并且在該區域均勻分布. 近似取11根譜線，相位差的計算表達式求出的將是不同譜線的11個不同相位. 計算光強時應把這11根譜線產生的光強疊加并取平均值，即將程序sy211.m中的9，10兩句換成以下4句，由此構成的程序就可仿真非單色光的干涉問題. N1=11;dL=linspace(-0.1,0.1,N1); %設光譜相對寬度10%，lam1=lam*(1+dL); %分11根譜線，波長為一個數組Phi1=2*pi*(r2-r1)./ lam1; %從距離差計算各波長的相位差B(i, :)=sum(4*cos(Phi1/2).2)/N1;%疊加各波長并影響計算光強運行修改后的程序得到的干涉條紋如圖2.26所示. 可以看出，光的非單色性導致干涉現象的減弱，光譜很寬的光將不能形成干涉. 圖2.26 非單色光的干涉條紋2. 單縫衍射的模擬實驗一束單色平行光通過寬度可調的狹縫，射到其后的光屏上. 當縫寬足夠小時，光屏上形成一系列亮暗相間的條紋，這是由于從同一個波前上發出的子波產生干涉的結果. 當光源到衍射屏的距離和光屏到衍射屏的距離都是無窮大時，即滿足遠場條件時，我們稱這種衍射為夫瑯禾費衍射. 所以夫瑯禾費衍射中入射光和衍射光都是平行光. 為了模擬單縫衍射現象，我們把單縫看成一排等間隔光源，共NP個光源分布在AB區間內，離A點間距為yp，則屏幕上任一點S處的光強為NP個光源照射結果的合成. 如圖2.27所示，子波射線與入射方向的夾角稱為衍射角，時，子波射線通過透鏡后，必匯聚到O點，這個亮條紋對應的光強稱為主極大. NP個光源在其他方向的射線到達S點的光程差，應等于它們到達平面AC的光程差，即，其中ys為S點的縱坐標，則與A點光源位相差為圖2.27 單縫衍射的模擬實驗設單縫上NP個光源的振幅都為1，在x，y軸上的分量各為，合振幅的平方為：. 又光強正比于振幅的平方，所以相對于O點主極大光強也為程序sy212.m模擬了單縫衍射現象，這里取波長=500nm，縫寬a=1mm，透鏡焦距D=1m，運行結果如圖2.28所示. clear all %sy212.mlam=500e-9;a=1e-3;D=1;ymax=3*lam*D/a; %屏幕范圍（沿y向）Ny=51; %屏幕上的點數（沿y向）ys=linspace(-ymax,ymax,Ny);NP=51; yP=linspace(0,a,NP); %把單縫分成NP個光源for i=1:Ny %對屏幕上y向各點作循環SinPhi=ys(i)/D; 圖2.28 單縫衍射條紋alpha=2*pi*yP*SinPhi/lam;SumCos=sum(cos(alpha); SumSin=sum(sin(alpha);B(i,:)=(SumCos2+SumSin2)/NP2; endN=255; % 確定用的灰度等級為255級%使最大光強對應于最大灰度級（白色）Br=B/max(B)*N; subplot(1,2,1)%畫衍射條紋，用灰度級顏色圖image(ymax,ys,Br); colormap(gray(N); subplot(1,2,2)%畫屏幕上光強曲線plot(B,ys,*,B,ys);grid; 分析圖2.28中的衍射條紋，我們可以看出所有亮暗條紋都平行于單縫，O點光強為最大，這都和理論推導結果相一致. 問題2.40： 從理論上講，中央亮條紋的半角寬和第一條暗條紋的衍射角都應等于/a，各次極大角寬都等于中央亮條紋的半角寬，圖2.28模擬的衍射條紋符合這個結論嗎？3. 光柵衍射的模擬實驗有大量等寬度、等間距的平行狹縫組成的光學系統稱為衍射光柵. 單縫寬度a和刻痕寬度b之和稱為光柵常數d，d=a+b. 光柵衍射條紋是單縫衍射和縫間干涉的共同結果. 設光柵有N條狹縫，透鏡焦距為D，理論分析可以得到，光屏上P點的夫瑯禾費衍射光強IP/I0分布為式中運行程序sy213.m得到衍射條紋如圖2.29所示. clear all %sy213.mlam=632.8e-9; N=2;a=2e-4; D=5;d=5*a;ym=1.89*lam*D/a;xs=ym; %設定光屏的范圍n=1001;ys=linspace(-ym,ym,n); % y方向分成1001點for i=1:nSinphi=ys(i)/D;alpha=pi*a*Sinphi/lam;beta=pi*d*Sinphi/lam;B(i, :)=(sin(alpha)./alpha).2.*(sin(N*beta)./sin(beta).2 ; B1=B/max(B); %將最大光強設為1endNC=255; Br=B/max(B)*NC; subplot(1,2,1)image(xs,ys,Br