第17講銳角三角函數與解直角三角形考綱要求命題趨勢1理解銳角三角函數的定義，掌握特殊銳角(30，45，60)的三角函數值，并會進行計算2掌握直角三角形邊角之間的關系，會解直角三角形3利用解直角三角形的知識解決簡單的實際問題.中考中主要考查銳角三角函數的定義、特殊角的三角函數值及解直角三角形題型以解答題和填空題為主，試題難度不大，其中運用解直角三角形的知識解決與現實生活相關的應用題是熱點.知識梳理一、銳角三角函數定義在rtabc中，c90，a，b，c的對邊分別為a，b，c.a的正弦：sin a_；a的余弦：cos a_；a的正切：tan a_.它們統稱為a的銳角三角函數銳角的三角函數只能在直角三角形中使用，如果沒有直角三角形，常通過作垂線構造直角三角形二、特殊角的三角函數值三、解直角三角形1定義：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即3條邊和2個銳角)2直角三角形的邊角關系：在rtabc中，c90，a，b，c的對邊分別為a，b，c.(1)三邊之間的關系：_；(2)銳角之間的關系：_；(3)邊角之間的關系：sin a，cos a，tan a，sin b，cos b，tan b.3解直角三角形的幾種類型及解法：(1)已知一條直角邊和一個銳角(如a，a)，其解法為：b90a，c，b(或b)；(2)已知斜邊和一個銳角(如c，a)，其解法為：b90a，acsin a，bccos a(或b)；(3)已知兩直角邊a，b，其解法為：c，由tan a，得a，b90a；(4)已知斜邊和一直角邊(如c，a)，其解法為：b，由sin a，求出a，b90a.四、解直角三角形的應用1仰角與俯角：在進行觀察時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角2坡角與坡度：坡角是坡面與水平面所成的角；坡度是斜坡上兩點_與水平距離之比，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面_自主測試1如圖，在rtabc中，acb90，bc1，ab2，則下列結論正確的是()asin abtan accos bdtan b2如圖，a，b，c三點在正方形網格線的交點處，若將acb繞著點a逆時針旋轉得到acb，則tan b的值為()a b c d3已知是銳角，且sin(15)，計算4cos (3.14)0tan 1的值考點一、銳角三角函數的定義【例1】如圖，在abc中，c90，ab13，bc5，則sin a的值是()a b c d解析：在rtabc中，ab13，bc5，sin a，故選a.答案：a方法總結 求銳角三角函數值時，必須牢記銳角三角函數的定義，解題的關鍵是：(1)確定所求的角所在的直角三角形；(2)準確掌握三角函數的公式解題的前提是在直角三角形中，如果題目中無直角時，必須想辦法構造一個直角三角形觸類旁通1 如圖，在矩形abcd中，點e在ab邊上，沿ce折疊矩形abcd，使點b落在ad邊上的點f處，若ab4，bc5，則tanafe的值為()a b c d考點二、特殊角的三角函數值【例2】如果abc中，sin acos b，則下列最確切的結論是()aabc是直角三角形babc是等腰三角形cabc是等腰直角三角形dabc是銳角三角形解析：由sin acos b可知，ab45，所以c90，所以abc是等腰直角三角形答案：c方法總結 特殊角的三角函數值在中考當中出現的概率很大，同學們應該熟記，但不要死記，可以結合圖形，根據定義理解記憶觸類旁通2 計算：|2|2sin 30()2(tan 45)1.考點三、解直角三角形【例3】如圖，在abc中，c90，點d，e分別在ac，ab上，bd平分abc，deab，ae6，cos a.求：(1)de，cd的長；(2)tandbc的值解：(1)deab，dea90.在rtaed中，cos a，即.ad10.根據勾股定理得de8.又deab，dcbc，bd平分abc，dcde8.(2)acaddc10818，在rtabc中，cos a，即，ab30.根據勾股定理得bc24.在rtbcd中，tandbc.方法總結 解這類問題主要是綜合運用勾股定理、銳角三角函數定義、直角三角形的兩個銳角互為余角解題時應盡量使用原始數據，能用乘法運算就盡量不用除法運算觸類旁通3 如圖是教學用的直角三角板，邊ac30 cm，c90，tanbac，則邊bc的長為()a30cm b20cmc10cm d5cm考點四、解直角三角形在實際中的應用【例4】某興趣小組用高為1.2米的儀器測量建筑物cd的高度如圖所示，由距cd一定距離的a處用儀器觀察建筑物頂部d的仰角為，在a和c之間選一點b，由b處用儀器觀察建筑物頂部d的仰角為.測得a，b之間的距離為4米，tan 1.6，tan 1.2，試求建筑物cd的高度分析：求建筑物cd的高度關鍵是求dg的長度，先利用三角函數用dg表示出gf，ge的長，利用efgegf構建方程求解解：設建筑物cd與ef的延長線交于點g，dgx米在rtdgf中，tan ，即tan .在rtdge中，tan ，即tan .gf，ge.ef.4.解方程，得x19.2.cddggc19.21.220.4(米)答：建筑物cd高為20.4米方法總結 利用解直角三角形的知識解決實際問題的關鍵是轉化和構造，即把實際問題轉化為數學問題，并構造直角三角形，利用解直角三角形的知識去解決，解題時要認真審題，讀懂題意，弄清仰角、俯角、方向角、坡角、坡度的含義，然后再作圖解題1(2012四川樂山)如圖，在rtabc中，c90，ab2bc，則sin b的值為()a b c d12(2012浙江舟山)如圖，a，b兩點在河的兩岸，要測量這兩點之間的距離，測量者在與a同側的河岸邊選定一點c，測出aca米，bac90，acb40，則ab等于()米aasin 40 bacos 40 catan 40 d3(2012福建福州)如圖，從熱氣球c處測得地面上a，b兩點的俯角分別為30，45，如果此時熱氣球c處的高度cd為100米，點a，d，b在同一直線上，則ab兩點的距離是()a200米 b200米c220米 d100(1)米4(2012山東濟寧)在abc中，若a，b滿足20，則c_.5(2012湖南株洲)數學實踐探究課中，老師布置同學們測量學校旗桿的高度小民所在的學習小組在距離旗桿底部10米的地方，用測角儀測得旗桿頂端的仰角為60，則旗桿的高度是_米6(2012湖南衡陽)如圖，一段河壩的橫斷面為梯形abcd，試根據圖中的數據，求出壩底寬ad.(ice:ed，單位：m)7(2012山東濰坊)校車安全是近幾年社會關注的重大問題，安全隱患主要是超速和超載某中學數學活動小組設計了如下檢測公路上行駛的汽車速度的實驗：先在公路旁邊選取一點c，再在筆直的車道l上確定點d，使cd與l垂直，測得cd的長等于21米，在l上點d的同側取點a，b，使cad30，cbd60.(1)求ab的長(精確到0.1米，參考數據：1.73，1.41)；(2)已知本路段對校車限速為40千米/時，若測得某輛校車從a到b用時2秒，這輛校車是否超速？說明理由1如圖，在rtabc中，acb90，cdab，垂足為d.若ac，bc2，則sinacd的值為()a b c d2如圖，在rtabc中，c90，把a的鄰邊與對邊的比叫做a的余切，記作cot a.則下列關系式中不成立的是()atan acot a1bsin atan acos accos acot asin adtan2acot2a13如圖，某游樂場一山頂滑梯的高為h，滑梯的坡角為，那么滑梯長l為()(第3題圖)a b c dhsin 4如圖所示，河堤橫斷面迎水坡ab的坡比是1:，堤高bc5 m，則坡面ab的長度是()a10 m b10m c15 m d5m(第4題圖)5在一次夏令營活動中，小明同學從營地a出發，要到a地的北偏東60方向的c地，他先沿正東方向走了200 m到達b地，再沿北偏東30方向走，恰能到達目的地c(如圖)，那么，由此可知，b，c兩地相距_m.6如圖所示，邊長為1的小正方形構成的網格中，半徑為1的o的圓心o在格點上，則aed的正切值等于_7如圖所示，在abc中，c90，a30，bd是abc的平分線，cd5 cm，求ab的長8綜合實踐課上，小明所在的小組要測量護城河的寬度如圖所示是護城河的一段，兩岸abcd，河岸ab上有一排大樹，相鄰兩棵大樹之間的距離均為10米小明先用測角儀在河岸cd的m處測得36，然后沿河岸走50米到達n點，測得72.請你根據這些數據幫小明他們算出河寬fr(結果保留兩位有效數字)(參考數據：sin 360.59.cos 360.81，tan 360.73，sin 720.95，cos 720.31，tan 723.08)參考答案導學必備知識自主測試1d2b3解：sin(15)，45，原式241133.探究考點方法觸類旁通1c由折疊過程可知，cfbc5，根據勾股定理得df3，所以afaddf2，設aex，則efbe4x，在rtaef中，(4x)222x2，解得x，所以tanafe.觸類旁通2解：原式223111.觸類旁通3c因為tanbac，所以bcactanbac3010(cm)品鑒經典考題1c在rtabc中，c90，ab2bc，sin a.a30，b60，sin b，故選c.2c在rtabc中，aca米，bac90，acb40，tan 40，abatan 40.3d由題意得a30，b45.ad100(米)，bd100(米)，則abadbd100100100(1)(米)故選d.475由題意得：cos a0，sin b0，cos a，sin b，a60，b45，c75.510在直角三角形中，tan 60，所以旗桿的高度10(米)6解：如圖所示，過點b作bfad，可得矩形bcef.efbc4，bfce4.在rtabf中，ab5，bf4.由勾股定理可得：af3(m)又在rtced中，i，ed2ce248(m)adaffeed34815(m)7解：(1)由題意得，在rtadc中，ad2136.33；在rtbdc中，bd712.11，所以abadbd36.3312.1124.2224.2(米)(2)校車從a到b用時2秒，所以速度為24.2212.1(米/秒)，因為12.13 60043 560，所以該車速度為43.56千米/時，大于40千米/時，所